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初中数学培优阶梯训练
第二章 轴对称
1．观察下列中国传统工艺品的花纹，其中的轴对称图形是（ A ）.
A B C D
2．如图1，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则得到的图形是（ C ）
3．一只小狗在平面镜前欣赏自己的全身像（如图2），此时，它所看到的全身像是（ A ）
4．如图3，已知在Rt△ABC中，∠C＝90，∠A＝30，在直线BC或AC上取一点P，使得；查PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有（ 6 ）
5．如图4，若AB＝AC，BG＝BH，AK＝KG，则∠BAC的度数是 36 。
6．如图5，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝10，BC＝15，MN＝3，则△ABC的周长等于 41 。
7．如图6，已知正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN＋MN的最小值是 10 。
8．在图7的方格纸中，画出了一个“小猪”的图案，已知每个小正方形的边长为1。
（1）“小猪”所占的面积为多少？＝32.5
（2）在上面的方格纸中作出“小猪”关于直线DE对称的图案（只画图，不写作法）；
（3）以G为原点，GE所在直线为x轴，GB所在直线为y轴，小正方形的边长为单位长度建立直角坐标系，可得点A的坐标是（__－4__，___1__）。
9．如图8，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝AD＝1，∠B＝60，直线MN是梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点，那么PC＋PD的最小值为 。
10．请在图9中的一组图形符号中找出它们所蕴含的规律，然后在横线上填上恰当的图形。
11．如图10，DE是△ABC的AB边的垂直平分线，分别交AB、BC于D、E，AE平分∠BAC。若∠B＝30，求∠C＝ 90 。
12．如图11，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC交于点G。
（1）如果M为CD边的中点，求证：DE：DM：EM＝3：4：5。
（2）如果M为CD边上的任意一点，设AB＝2a，问：△CMG的周长是否与点M的位置有关？若有关，请把△CMG的周长用含CM的长的代数式表示；若无关，请说明理由。
证明：（1）由题意知：
DM＝AB ①，DE＋EM＝AB ②，DE2＋DM2＝EM2 ③
由②得：EM＝AB－DE ④
将①、④代入③得：DE2＋（AB） 2＝（AB－DE） 2
整理得：DE＝AB
代入④得：EM＝AB
则DE：DM：EM＝AB：AB：AB＝3：4：5。
（2）
13．小强和小勇利用课本上学过的知识来进行台球比赛。
（1）小强把白球放在如图12所示的位置，想通过击打白球撞击黑球，使黑球撞击AC边后反弹进F洞。想一想，小强这样击打，黑球能进F洞吗？请用画图的方法验证你的判断，并说明理由。
（2）小勇想通过击打白球撞击黑球，使黑球至多撞台球桌边一次后进A洞，请你猜测小勇有几种方案？并分别在下面的台球桌上画出示意图，解释你的理由。（图13给出相应的图形，供画图和设计用）
14．如图14，△ABC是边长蒌1的等边三角形，△BDC是顶角为120的等腰三角形，以D为顶点作一个60角，角的两边分别交AB于M，交AC于N，连接MN，形成一个三角形，求证：△AMN的周长等于2。
15．已知、均为正数，且，求的最小值。
16．以下四个图形中，对称轴条数最多的一个图形是（ ）
17．如图15是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔。如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是 。
18．如图，我国主要银行的商标设计基本上都融入了中国古代钱币的图案，下列我国四大银行的商标图案中是轴对称图形而不是中心通称图形的是（ ）
19．将一张正方形的纸片两次对折，然后剪下一个角，如图16所示，则这个角展开后图形是（ ）
20．如图17是跳棋棋盘，其中格点上的黑色点为棋子，剩余的格点上没有棋子。我们约定跳棋游戏规则是：把跳棋棋子在棋盘内沿直线隔着棋子对称跳行，跳行一次称为一步。已知点A为已方一枚棋子，欲将棋子A跳进对方区域（阴影部分的格点），则跳行的最少步数为（ ）
A. 2步 B. 3步 C. 4步 D. 5步
21．如图18，在下列三角形中，若AB＝AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④
22．小芳要画一个有两边长分别为5cm和6cm的等腰三角形，则这个等腰三角形的周长是 。
23．如图19，在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为米，此时梯子的倾斜角为75，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的距离NB为米，梯子的倾斜角为45，这间房子的宽AB是 米。
24．如图21，正方形ABCD的边长为6cm，M、N分别为AD、BC边的中点，将点C折至MN上，落在点P处，折痕BQ交MN于点E，则BE的长等于 cm.
25．如图23，在△ABC中，∠BAC＝120，AD⊥BC于D，且AB＋BD＝DC，那么∠C的度数是 。
26．如图24，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为 。
27．如图25，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE＋PB的最小值是 。
28．正三角形给人以“稳如泰山”的美感，它具有独特的对称性，请你用三种不同的分割方法，将图26中的三个正三角形分别分割成四个等腰三角形（在图中画出分割线，并标出必要的角的度数）。
29．如图27，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD是对角线，将△ABD沿AB向下翻折到△ABE的位置，试判定四边形AEBC的形状，并证明你的结论。
30．如图28，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”。如图（1）中四边形ABCD就是一个“格点多边形”。
（1） 求图（1）中四边形ABCD的面积；
（2） 在图（2）方格纸中画一个格点三角形EFG，使△EFG的面积等于四边形ABCD的面积且为轴对称图形。
31．如图，已知在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120，BC∥轴，点B的坐标是（－3，1）。
（1）画出△ABC关于轴对称的△ABC；
（2）求以点A、B、B、A为顶点的四边形的面积。
32．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
x
A．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
33．中央电视台“开心辞典”栏目有这么一道题：小兰从镜子中看到挂在她背后墙上的四个时钟如下图所示，其中时间最接近四点钟的是（ ）
34．下面有4个汽车标志图案，其中是轴对称图形的是（ ）
35．在天气预报图上，有各种各样表示天气的符号，下列表示天气符号的图形中，不是轴对称图形的是（ ）
晴
（A）
冰雹
（B）
雷阵雨
（C）
大雪
（D）
36．小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图30所示，实际时间是 。
37．已知点P1（a，3）和P2（4，b）关于轴对称，则的值为 。
38．如图31，在方格纸中，有一平行四边形ABCD，则它关于轴对称图形的顶点坐标是（2，－1），（4，－1），（6，－3）和 。
39．一串数字，在镜子中的像是是 ，这串数字是 。
40．如图32，从镜子中看到一钟表的时针和分针，此时的实际时刻是 。
41．如图33①，凸四边形 ABCD ，如果点P满足∠APD ＝∠APB =α。且∠B P C ＝∠CPD ＝β，则称点P为四边形 ABCD的一个半等角点．
( l ）在图（ 3 ）正方形 ABCD 内画一个半等角点P，且满足α≠β。
( 2 ）在图（ 4 ）四边形 ABCD 中画出一个半等角点P，保留画图痕迹（不需写出画法） .
( 3 ）若四边形 ABCD 有两个半等角点P1 、P2（如图（ 2 ) ) ，证明线段P1 P2上任一点也是它的半等角点 。
42．下列图案中是轴对称图形的是（ ）
43．在直角坐标系中，△ABC的三个顶点的位置如图所示。（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′（其中A′、B′、C′分别是A、B、C的对应点，不写作法）；（2）直接写出A′、B′、C′三点的坐标：A′（ ）、B′（ ）、C′（ ）。
44．如图35，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM＋PN的最小值是 。
45．如图36，在43的网格上，由个数相同的白色方块和黑色方块组成一幅图案，请仿照此图案，在下列网格中分别设计出符合要求的图案（注：①不得与原图案相同；②黑、白方块的个数要相同）。
（1）是轴对称图形，又是中心对称图形
（2）是轴对称图形，但不是中心对称图形
（3）是中心对称图形，但不是轴对称图形
图36
（1）
（2）
（3）
(2)
O
(1)
图14
46．如图37是夹文件用的铁（塑料）夹子在常态下的侧面示意图。表示铁夹的两个面，点是轴，于．已知，，．已知文件夹是轴对称图形，试利用图14（2），求图14（1）中两点的距离（）
47．如图38，△ABC是等边三角形，且BM＝CN，AM与BN相交于点P，则∠APN＝ 。
48．如图39，在等边△ABC中，BD＝2DC，DE⊥BE，CE、AD相交于点P，则（ ）
A. AP＞AE＞EP B. AE＞AP＞EP C. AP＞EP＞AE D. EP＞AE＞AP
49．如图40，已知AG⊥BD，AF⊥CE，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，若BF＝2，ED＝3，GC＝4，则△ABC的周长为 。
50．已知点I是锐角三角形ABC的内心，A1，B1，C1分别是点I关于边BC，CA，AB的对称点，若B在△A1B1C1的外接圆上，则∠ABC＝ 度。
51．如图41，有一块矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6。将纸片折叠，使得AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，则△CEF的面积为 。
52．若等腰三角形的两个内角之和为140，则项角的度数为 。
53．如图42，点A、B的坐标分别为（－1,1）、（3,2），P为轴上一点，且P到A、B的距离之和最小，则P的坐标为 。
54．函数的最小值为 。
55．已知等腰三角形的底边长为10㎝，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长4㎝，那么三角形的腰长为 ㎝。
56．、、为△ABC的三边，且，则△ABC的形状为 。
57．如图43，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，AD是它一条内角平分线，AD的垂直平分线EF与AD相交于E，与BC的延长线相交于F，那么AF＝ 。
58．如图44，∠AOB＝45，其内部一点P，OP＝10，在∠AOB的两边上有点Q、R（不同于O点），则△PQR周长的最小值为 。
59．如图45所示，在△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝60，则∠EDC＝ 度。
60．如图46，AA、BB分别是∠EAB、∠DBC的平分线，若AA＝BB＝AB，则∠BAC的度数为 。
61．如图47，在△ABC中，AC＝BC＝5，∠ACB＝80，O为△ABC内一点，∠OAB＝10，∠OBA＝30，求线段AO的长。
62．如图48，在△ABC中，∠C＝90，∠CAD＝30，AC＝BC＝AD。求证：CD＝BD。
63．如图49，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于E，且AE＝BD。求证：BD是∠ABC的角平分线。
64．如图50，在△ABC内，∠BAC＝60，∠ACB＝40，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别为∠BAC、∠ABC的角平分线，求证：BQ＋AQ＝AB＋BP。
65．公园内有两条河OM、ON在点O处汇合（如图51），∠MON＝60。两河形成的半岛上有一处古迹P。现计划在两条小河上各建一座小桥Q和R，并在半岛上修三段小路分别连接两座小桥Q、R和古迹P，若古迹P到两条小河的距离都是米，则这三段小路长度之和的最小值为 米。
66．如图52，在△ABC中，已知∠B＝40，∠BAD＝30，若AB＝CD，则∠ACD的大小为 。
67．一壁钟（有刻度，无数字）显示时间是十点半。如图53，如果从一个垂直的反射镜面去看，时间将是 。
68．在游戏中，必须把计数的黑点（ ）从开始位置移动到目的地（⊙所示），要求以最少的移动次数完成。每一次移动，都必须以图中15条线中的一条作为镜面把计数点移到镜子中现在所在位置的反射点去。把该点移到所指定的位置最少需要移动 次。
69．如图55，三种图形X，Y，Z，一张A4的纸（297㎜210㎜）被折叠一次并平放在桌子上，可以得到的形状是（ ）
70．从反射镜子中看，下面是UKMT的镜像为 。
71．按图56中左边的虚线折叠纸页（折叠可向里或向外）。折叠后所得的折页形状如图中的右边所示。在一个有6个页码的折页中每页都印上不同的颜色，无论怎样折叠这张纸，外面总能看见两页。通过不同方式折叠纸页，可以得到 对不同的封面和封底。
72．如图57所示，有一横幅贴在比阿特丽克斯的墙上，当比阿特丽克斯倒立着看横幅对面墙上镜子里的横幅时，横幅中有 个字母还可以按正常方式读出。
73．将一1616的正方形纸片对折两次后成一小正方形。然后剪去其中一部分，剩下如图58所示的形状。问把纸片打开后，会有 方孔留在纸片上。
折线
折线
折线
折线
图58
74．英文单词MATHEMATICS中有 个字母是没有对称轴的。
75．如图59所示，对称图形的周长是由2个半径为4㎝的半圆和4个半径为2㎝的半圆构成。以这个周长为界的封闭曲线面积为 。
76．如图60，一个等边三角形被分成了若干全等的小等边三角形。请问：要涂黑小三角形构成有对称轴的图形，最少应涂黑 个小三角形。
77．如图61是一个22的正方形和一个31的长方形。正方形的一个顶点位于长方形的一条边上。长方形的边平行于正方形的对角线。则阴影部分的面积是 。
78．如图62中，一张三角形的纸被折叠一次后，形成一个五边形。如果一张长方形的纸折叠一次后，形成边形，在6、7、8、9、10几个数字当中， 是不可能产生的边形的最小值（＞4）。
79．画一条直线穿过一个44的格栅（如棋盘），最多有 个11的方格能被线条分成两部分？
80．将一张纸折叠两次后，再剪去两个等边三角形。那么，将纸张打开后的样子是 。
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