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八年级数学上册期末复习讲义
三角形：1.今年暑假，学校安排全校师生的假期社会实践活动，将每班分成三个组，每组派1名教师作为指导教师，为了加强同学间的联系，学校要求该班每两人之间（包括指导教师）每周至少通一次电话，现知该校七（1）班共有50名学生，那么该班师生之间每周至少要通几次电话？为了解决这一问题，小明把该班师生人数n与每周至少通话次数s之间的关系用下列模型表示，如图.请你根据小明设计的模型，求出该班每周师生间至少共要通的电话次数.
2.一个多边形截取一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620，则原来多边形的边数是（ ）
A.10 B.11 C.12 D.以上都有可能
全等三角形：利用三角形全等证明角相等和线段相等.
三角形全等的基本思路：（题目中找，图形中看）
1.如图，已知D为△ABC边BC的中点，DE⊥DF，则BE+CF与EF有何大小关系？
2．如图所示，已知∠1=∠2,P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB+BC=2BD,求证：∠BAP+∠BCP=180.
注：（1）角平分线辅助线的作法技巧：遇到证明有关角平分线时，可引角两边的垂线，证明垂线段相等.
（2）有线段的和差关系，常用截长补短法作辅助线，化和差关系为相等关系.
（3）运用角平分线的判定时，若无垂线段需添加辅助线.
（4）角平分线的性质是证明线段相等的常见方法，也是证明两个三角形全等的条件的方法.
3．如图，在△ABC中，AD是△ABC的外角平分线，P是AD上异于点A的任一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由.
4.如图，已知∠MON=40,P为∠MON内一定点，A为OM上的点，B为ON上的点，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为 .
注：1.题目中出现角平分线，可以构造轴对称图形.
2. 遇到垂直平分线，通常考虑连接线段垂直平分线上的点和线段的端点.
1.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45，则这个等腰三角形的顶角度数为 .
2.如图，在△ABC中，AB=AC,D为BC上一点，BF=CD,CE=BD,那么∠EDF=( ).
A. 90-∠A B. 90-∠A C. 180-∠A D. 45-∠A
2
3. 已知：∠ABC=3∠C，∠1=∠2，且BD⊥AD.求证：AC－AB=2BD．
注：等腰三角形的分类讨论：
（1）在等腰三角形中求边或周长：在等腰三角形中，若给出的边没有明确是腰或底边，则要进行分类讨论，且需要验证三边能否围成三角形.
(2) 在等腰三角形中求角：在等腰三角形中，若给出的角没有明确是底角或顶角，则必须分情况讨论.
2.等腰三角形“三线合一”的应用.
(1)当题目中出现等腰三角形和“三线”之一时，可以直接得到其余两线的性质.应用“三线合一基本图形”是一个重要的解题策略，可以证明线段相等的问题、角相等的问题、线段垂直等问题.
4.如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A，C不重合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D.
（1） 当∠BQD=30时，求AP的长.
（2）在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果发生改变，请说明理由.
5.如图，已知等边△ABC的边长为1，D是△ABC外一点且∠BDC=120，BD=CD，∠MDN=60．求证：△AMN的周长等于2．
注：1.做辅助线的口诀：
图中角有平分线，可向两边作垂线，有时也可以去翻折，对称以后关系现.
线段垂直平分线，常与两端把线连. 角平分线平行线，等腰三角形来添.
角平分线加垂线，“三线合一”试一试. 要证线段倍与半，延长缩短可试验.
2.含30角的直角三角形性质的妙用：
（1） 求线段的长度；（2） 证明线段的倍分关系.
整式乘除
1.已知+x-1=0，那么+2--2x+2014的值为（ ）
A．2011 B. 2012 C. 2013 D. 2014
2.已知（x+p）（x+q）=x2+mx+16，p，q，m均为整数，求m的值．
观察下列算式：
①13﹣22=3﹣4=-1；②24﹣32=8﹣9=﹣1；③35﹣42=15﹣16=﹣1；
④ ；……
（1） 请你按以上规律写出第4个算式；
（2） 把这个规律用含字母的式子表示出来；
（3） 你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由.
注：1.在运用幂的运算性质时，注意公式的逆用.
（1）aman= ； （2）（am）n=；（3）（ab）n=.
2.多项式乘多项式，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0．
3.化简求值问题：一般先化简，再代入求值。注意利用整体思想求代数式的值.
1.阅读下列解法：
计算：（2+1）（+1）（+1）（+1）…（+1）
解：原式 =（2-1）（2+1）（+1）（+1）（+1）…（+1）
=（-1）（+1）（+1）（+1）…（+1）
=…=(-1)( +1)
= -1.
请仿照上面的解法中的一种或自己另外寻找一种解法解答下列问题.
计算：（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）+（1+）
2．已知a+b+c=0,a+b+c=4,那么++的值等于_______
3（1）若x满足（210-x）（x-200）=-204，试求（210-x）2+（x-200）2的值；
（2） 若x满足（2013-x）2+（2011-x）2=4028，试求（2013-x）（2011-x）的值．
4.分解因式：
（1）16-72m+81； (2)64xy-(x+16y)； (3)16m-31mn-2n；
(4)x-4xy+4y-3x+6y+2； (5)4x-4x-y+4y-3.
5.若=2014, =2015, =2016,且abc=24.求的值.
6.先化简，再求值：，其中x是不等式组的整数解.
7.解方程：
8.关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是（ ）
A.a＞-1 B.a＞-1且a≠0 C.a＜-1 D.a＜-1且a≠-2
9.（1）当a为何值时，关于x的方程有增根？
（2）当a为何值时，关于x的方程无解？
注：1. 求解与增根相关的问题时，先把分式方程化为整式方程，再把分母为零的根代入求待定字母的值.
2.分式方程无解的情况有两种：
①分式方程化为整式方程后，整式方程无解；
②分式方程化为整式方程后，整式方程的根为分式方程的增根.
分式方程：
1.在某市某一美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标.经测算：甲队单独完成这项工程需要60天，若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合作24天可完成.
（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？
（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元.若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？
2.某学校后勤人员到一家文具店给九年级的同学购买考试用文具包，文具店规定一次购买400个以上，可享受8折优惠.若给九年级学生每人购买一个，不能享受8折优惠，需付款1936元；若多买88个，就可享受8折优惠，同样只需付款1936元.请问该学校九年级学生有多少人.
3.“六一”儿童节前，某玩具商店根据市场调查，用2500元购进一批儿童玩具，上市后很快脱销，接着又用4500元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了10元.
（1）求第一批玩具每套的进价是多少元？
（2）如果这两批玩具每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%，那么每套售价至少是多少元？
注：列分式方程解应用题的一般步骤：
审：审清题意，分清题中的已知量、未知量.
设：设未知数，设其中的某个未知量x，并注意单位.
列：根据题意寻找等量关系列方程.
解：解方程.
验：先检验是不是原方程的解，再检验是否符合实际问题.
答：写出答案（包括单位）.
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