资源描述
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全等三角形
一.选择题
1．（2015•四川资阳,第10题3分）如图6，在△ABC中，∠ACB=90，AC=BC=1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF=45，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：①AB=；②当点E与点B重合时，MH=；③AF+BE=EF；④MG•MH=，其中正确结论为
A．①②③ B．①③④
C．①②④ D．①②③④
考点：相似形综合题．
分析：①由题意知，△ABC是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形即可作出判断；
②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，可得MG∥BC，四边形MGCB是矩形，进一步得到FG是△ACB的中位线，从而作出判断；
③如图2所示，SAS可证△ECF≌△ECD，根据全等三角形的性质和勾股定理即可作出判断；
④根据AA可证△ACE∽△BFC，根据相似三角形的性质可得AF•BF=AC•BC=1，由题意知四边形CHMG是矩形，再根据平行线的性质和等量代换得到MG•MH=AEBF=AE•BF=AC•BC=，依此即可作出判断．
解答：解：①由题意知，△ABC是等腰直角三角形，
∴AB==，故①正确；
②如图1，当点E与点B重合时，点H与点B重合，
∴MB⊥BC，∠MBC=90，
∵MG⊥AC，
∴∠MGC=90=∠C=∠MBC，
∴MG∥BC，四边形MGCB是矩形，
∴MH=MB=CG，
∵∠FCE=45=∠ABC，∠A=∠ACF=45，
∴CE=AF=BF，
∴FG是△ACB的中位线，
∴GC=AC=MH，故②正确；
③如图2所示，
∵AC=BC，∠ACB=90，
∴∠A=∠5=45．
将△ACF顺时针旋转90至△BCD，
则CF=CD，∠1=∠4，∠A=∠6=45；BD=AF；
∵∠2=45，
∴∠1+∠3=∠3+∠4=45，
∴∠DCE=∠2．
在△ECF和△ECD中，
，
∴△ECF≌△ECD（SAS），
∴EF=DE．
∵∠5=45，
∴∠BDE=90，
∴DE2=BD2+BE2，即E2=AF2+BE2，故③错误；
④∵∠7=∠1+∠A=∠1+45=∠1+∠2=∠ACE，
∵∠A=∠5=45，
∴△ACE∽△BFC，
∴=，
∴AF•BF=AC•BC=1，
由题意知四边形CHMG是矩形，
∴MG∥BC，MH=CG，
MG∥BC，MH∥AC，
∴=；=，
即=；=，
∴MG=AE；MH=BF，
∴MG•MH=AEBF=AE•BF=AC•BC=，
故④正确．
故选：C．
点评：考查了相似形综合题，涉及的知识点有：等腰直角三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度．
2. （2015•浙江金华，第9题3分）以下四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线，互相平行的是【 】
A. 如图1，展开后，测得∠1=∠2
B. 如图2，展开后，测得∠1=∠2，且∠3=∠4
C. 如图3，测得∠1=∠2
D. 如图4，展开后，再沿CD折叠，两条折痕的交点为O，测得OA=OB，OC=OD
【答案】C.
【考点】折叠问题；平行的判定；对顶角的性质；全等三角形的判定和性质.
【分析】根据平行的判定逐一分析作出判断：
A. 如图1，由∠1=∠2，根据“内错角相等，两直线平行”的判定可判定纸带两条边线，互相平行；
B. 如图2，由∠1=∠2和∠3=∠4，根据平角定义可得∠1=∠2=∠3=∠4=90，从而根据“内错角相等，两直线平行”或“同旁内角互补，两直线平行”的判定可判定纸带两条边线，互相平行；
C. 如图3，由∠1=∠2不一定得到内错角相等或同位角相等或同旁内角互补，故不一定能判定纸带两条边线，互相平行；
D. 如图4，由OA=OB，OC=OD，得到，从而得到，进而根据“内错角相等，两直线平行”的判定可判定纸带两条边线，互相平行.
故选C.
3. （2015•四川省宜宾市，第8题，3分）在平面直角坐标系中，任意两点A (x1,y1)，B (x2,y2)规定运算：
①AB=( x1+ x2, y1+ y2)；②AB= x1 x2+y1 y2
③当x1= x2且y1= y2时A=B有下列四个命题：
（1）若A(1，2)，B(2，–1)，则AB=(3,1)，AB=0；
（2）若AB=BC，则A=C；
（3）若AB=BC，则A=C；
（4）对任意点A、B、C，均有（AB )C=A( BC )成立.其中正确命题的个数为（ C ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.4个
4. （2015•浙江省绍兴市，第7题，4分） 如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线。此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE。则说明这两个三角形全等的依据是
A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS
考点：全等三角形的应用．.
分析：在△ADC和△ABC中，由于AC为公共边，AB=AD，BC=DC，利用SSS定理可判定△ADC≌△ABC，进而得到∠DAC=∠BAC，即∠QAE=∠PAE．
解答：解：在△ADC和△ABC中，
，
∴△ADC≌△ABC（SSS），
∴∠DAC=∠BAC，
即∠QAE=∠PAE．
故选：D．
点评：本题考查了全等三角形的应用；这种设计，用SSS判断全等，再运用性质，是全等三角形判定及性质的综合运用，做题时要认真读题，充分理解题意．
5．(2015贵州六盘水，第9题3分)如图4，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ）
A．∠A＝∠D B．AB＝DC
C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD
考点：全等三角形的判定．.
分析：本题要判定△ABC≌△DCB，已知∠ABC=∠DCB，BC是公共边，具备了一组边对应相等，一组角对应相等，故添加AB=CD、∠ACB=∠DBC、∠A=∠D后可分别根据SAS、ASA、AAS能判定△ABC≌△DCB，而添加AC=BD后则不能．
解答：解：A、可利用AAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
B、可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
C、利用ASA判定△ABC≌△DCB，故此选项不符合题意；
D、SSA不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；
故选：D．
点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6.（2015•江苏泰州,第6题3分）如图，△中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交 AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等的三角形的对数是
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
【答案】D．
【解析】
试题分析：根据已知条件“AB=AC，D为BC中点”，得出△ABD≌△ACD，然后再由AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，推出△AOE≌△EOC，从而根据“SSS”或“SAS”找到更多的全等三角形，要由易到难，不重不漏．
试题解析：∵AB=AC，D为BC中点，
∴CD=BD，∠BDO=∠CDO=90，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD；
7.（2015•山东东营,第9题3分）如图，在△ABC中，AB＞AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F在BC边上，连接DE，DF，EF．则添加下列哪一个条件后，仍无法判定△FCE与△EDF全等（ ）．
A．∠A=∠DFE B．BF=CF C．DF∥AC D．∠C=∠EDF
【答案】A
考点：三角形全等的判定.
8.（2015•山东东营,第10题3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90，AB=BC．点D是线段AB上的一点，连结CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连结DF．给出以下四个结论：①；②若点D是AB的中点，则AF=AB；③当B、C、F、D四点在同一个圆上时，DF=DB；④若，则．其中正确的结论序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
考点：１.相似三角形的判定和性质；２.圆周角定理；３.三角形全等的判定与性质.
二.填空题
1． (2015黑龙江绥化，第18题 分)如图正方形ABCD的对角线相交于点O ，△CEF是正三角形，则∠CEF=__________．
考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；正方形的性质．．
分析：根据正方形、等边三角形的性质，可得AO=BO，OE=OF，根据SSS可得△AOE≌△BOF，根据全等三角形的性质，可得对应角相等，根据角的和差，可得答案．
解答：解：∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，∠AOB=90．
∵△OEF是正三角形，
∴OE=OF，∠EOF=60．
在△AOE和△BOF中，
，
∴△AOE≌△BOF（SSS），
∴∠AOE=∠BOF，
∴∠AOE=（∠AOB﹣∠EOF）2
=（90﹣60）2
=15，
故答案为15．
点评：本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形、等边三角形的性质，利用SSS证明三角形全等得出∠AOE=∠BOF是解题的关键．
2. （2015•四川泸州,第16题3分）如图，在矩形ABCD中，，∠ADC的平分线交边BC于点E，AH⊥DE于点H，连接CH并延长交边AB于点F，连接AE交CF于点O，给出下列命题：
①∠AEB=∠AEH ②DH=
③ ④
其中正确命题的序号是 （填上所有正确命题的序号）.
考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形；矩形的性质．.
分析：根据矩形的性质得到AD=BC=AB=，由DE平分∠ADC，得到△ADH是等腰直角三角形，△DEC是等腰直角三角形，得到DE=CD，得到等腰三角形求出∠AED=67.5，∠AEB=180﹣45﹣67.5=67.5，得到①正确；设DH=1，则AH=DH=1，AD=DE=，求出HE=，得到2HE=≠1，故②错误；通过角的度数求出△AOH和△OEH是等腰三角形，从而得到③正确；由△AFH≌△CHE，到AF=EH，由△ABE≌△AHE，得到BE=EH，于是得到BC﹣BF=（BE+CE）﹣（AB=AF）=（CD+EH）﹣（CD﹣EH）=2EH，从而得到④错误．
解答：解：在矩形ABCD中，AD=BC=AB=，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE=45，
∵AD⊥DE，
∴△ADH是等腰直角三角形，
∴AD=AB，
∴AH=AB=CD，
∵△DEC是等腰直角三角形，
∴DE=CD，
∴AD=DE，
∴∠AED=67.5，
∴∠AEB=180﹣45﹣67.5=67.5，
∴∠AED=∠AEB，
故①正确；
设DH=1，
则AH=DH=1，AD=DE=，
∴HE=，
∴2HE=≠1，
故②错误；
∵∠AEH=67.5，
∴∠EAH=22.5，
∵DH=CH，∠EDC=45，
∴∠DHC=67.5，
∴∠OHA=22.5，
∴∠OAH=∠OHA，
∴OA=OH，
∴∠AEH=∠OHE=67.5，
∴OH=OE，
∴OH=AE，
故③正确；
∵AH=DH，CD=CE，
在△AFH与△CHE中，
，
∴△AFH≌△CHE，
∴AF=EH，
在△ABE与△AHE中，
，
∴△ABE≌△AHE，
∴BE=EH，
∴BC﹣BF=（BE+CE）﹣（AB=AF）=（CD+EH）﹣（CD﹣EH）=2EH，
故④错误，
故答案为：①③．
点评：本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．
3. （2015•四川眉山，第18题3分）如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB=AC，∠BAC=120时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是 ①② ．（请写出正确结论的番号）．
考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；平行四边形的判定；正方形的判定．.
专题： 计算题．
分析： 由三角形ABE与三角形BCF都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，∠ABE=∠CBF=60，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形EBF与三角形DFC全等，利用全等三角形对应边相等得到EF=AC，再由三角形ADC为等边三角形得到三边相等，等量代换得到EF=AD，AE=DF，利用对边相等的四边形为平行四边形得到AEFD为平行四边形，若AB=AC，∠BAC=120，只能得到AEFD为菱形，不能为正方形，即可得到正确的选项．
解答： 解：∵△ABE、△BCF为等边三角形，
∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60，
∴∠ABE﹣∠ABF=∠FBC﹣∠ABF，即∠CBA=∠FBE，
在△ABC和△EBF中，
，
∴△ABC≌△EBF（SAS），选项①正确；
∴EF=AC，
又∵△ADC为等边三角形，
∴CD=AD=AC，
∴EF=AD，
同理可得AE=DF，
∴四边形AEFD是平行四边形，选项②正确；
若AB=AC，∠BAC=120，则有AE=AD，∠EAD=120，此时AEFD为菱形，选项③错误，
故答案为：①②．
点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定，以及正方形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
4．(2015•江苏南昌,第9题3分)如图，OP平分∠MON , PE⊥OM于E, PF⊥ON于F,OA=OB, 则图中有 对全等三角形.
答案：解析：∵∠POE=∠POF, ∠PEO=∠PFO=90OP=OP,∴△POE≌△POF(AAS),
又OA=OB,∠POA=∠POB,OP=OP,∴△POA≌△POB(AAS), ∴PA=PB,∵PE=PF,
∴Rt△PAE≌Rt△PBF(HL). ∴图中共有3对全的三角形.
5．(2015•江苏无锡,第15题2分)命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是____命题．（填入“真”或“假”）
考点：
命题与定理．
分析：
把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推结论，如果能就是真命题．
解答：
解：“全等三角形的面积相等”的逆命题是“面积相等的三角形是全等三角形”，根据全等三角形的定义，不符合要求，因此是假命题．
点评：
本题考查了互逆命题的知识，两个命题，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其一个命题称为另一个命题的逆命题．
6.（2015•山东聊城,第15题3分）如图，在△ABC中，∠C=90，∠A=30，BD是∠ABC的平分线．若AB=6，则点D到AB的距离是 ．
考点： 角平分线的性质．.
分析： 求出∠ABC，求出∠DBC，根据含30度角的直角三角形性质求出BC，CD，问题即可求出．
解答： 解：∵∠C=90，∠A=30，
∴∠ABC=180﹣30﹣90=60，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠DBC=∠ABC=30，
∴BC=AB=3，
∴CD=BC•tan30=3=，
∵BD是∠ABC的平分线，
又∵角平线上点到角两边距离相等，
∴点D到AB的距离=CD=，
故答案为：．
点评： 本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
7.（2015湖南邵阳第12题3分）如图，在▱ABCD中，E、F为对角线AC上两点，且BE∥DF，请从图中找出一对全等三角形： △ADF≌△BEC ．
考点： 全等三角形的判定；平行四边形的性质．.
专题： 开放型．
分析： 由平行四边形的性质，可得到等边或等角，从而判定全等的三角形．
解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠DAC=∠BCA，
∵BE∥DF，
∴∠DFC=∠BEA，
∴∠AFD=∠BEC，
在△ADF与△CEB中，
，
∴△ADF≌△BEC（AAS），
故答案为：△ADF≌△BEC．
点评： 本题考查了三角形全等的判定，平行四边形的性质，平行线的性质，根据平行四边形的性质对边平行和角相等从而得到三角形全等的条件是解题的关键．
三.解答题
1.（2015•江苏泰州,第25题12分）如图，正方形ABCD的边长为8cm，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA 上的动点，且AE=BF=CG=DH.
（1）求证：四边形EFGH是正方形；
（2）判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由；
（3）求四边形EFGH面积的最小值。
【答案】(1)证明见解析；（2）直线EG经过一个定点，这个定点为正方形的中心（AC、BD的交点）；理由见解析；（3）32cm2.
【解析】
（2）解：直线EG经过一个定点，这个定点为正方形的中心（AC、BD的交点）；理由如下：
连接AC、EG，交点为O；如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴∠OAE=∠OCG，
在△AOE和△COG中，
，
∴△AOE≌△COG（AAS），
∴OA=OC，即O为AC的中点，
∵正方形的对角线互相平分，
∴O为对角线AC、BD的交点，即O为正方形的中心；
（3）解：设四边形EFGH面积为S，设BE=xcm，则BF=（8－x）cm，
根据勾股定理得：EF2=BE2+BF2=x2+（8－x）2，
∴S=x2+（8－x）2=2（x－4）2+32，
∵2＞0，
∴S有最小值，
当x=4时，S的最小值=32，
∴四边形EFGH面积的最小值为32cm2．
考点：四边形综合题．
2.（2015•山东临沂,第25题11分）
如图1，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ADE和DCF，连接AF，BE.
（1）请判断：AF与BE的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）如图2，若将条件“两个等边三角形ADE和DCF”变为“两个等腰三角形ADE和DCF，且EA=ED=FD=FC”，第（1）问中的结论是否仍然成立?请作出判断并给予证明；
（3）若三角形ADE和DCF为一般三角形，且AE=DF，ED=FC，第（1）问中的结论都能成立吗？请直接写出你的判断.
【答案】（1）AF=BE，AF⊥BE（2）结论成立（3）结论都能成立
在△EAD和△FDC中，
∴△EAD≌△FDC.
∴∠EAD=∠FDC.
∴∠EAD+∠DAB=∠FDC+∠CDA，
即∠BAE=∠ADF.
在△BAE和△ADF中，
∴△BAE≌△ADF.
∴BE = AF，∠ABE=∠DAF.
∵∠DAF +∠BAF=90，
∴∠ABE +∠BAF=90，
∴AF⊥BE.
（3）结论都能成立.
考点：正方形，等边三角形，三角形全等
3. （2015山东菏泽，20，8分）如图，已知∠ABC=90，D是直线AB上的点，AD=BC．
（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明；
（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．
【答案】（1）△CDF是等腰三角形；（2）∠APD=45．
考点：全等三角形的判定与性质．
4. （2015•四川省宜宾市，第18题，6分）(注意：在试题卷上作答无效)
如图，AC=DC，BC=EC，∠ACD = ∠BCE
求证：∠A=∠D
5. （2015•浙江省绍兴市，第23题，12分）正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠DAG=α，其中0≤α≤180，连结DF，BF，如图。
（1）若α=0，则DF=BF，请加以证明；
（2）试画一个图形（即反例），说明（1）中命题的逆命题是假命题；
（3）对于（1）中命题的逆命题，如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题，请直接写出你认为需要补充的一个条件，不必说明理由。
考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；命题与定理；旋转的性质．.
分析：（1）利用正方形的性质证明△DGF≌△BEF即可；
（2）当α=180时，DF=BF．
（3）利用正方形的性质和△DGF≌△BEF的性质即可证得是真命题．
解答：（1）证明：如图1，∵四边形ABCD和四边形AEFG为正方形，
∴AG=AE，AD=AB，GF=EF，∠DGF=∠BEF=90，
∴DG=BE，
在△DGF和△BEF中，
，
∴△DGF≌△BEF（SAS），
∴DF=BF；
（2）解：图形（即反例）如图2，
（3）解：补充一个条件为：点F在正方形ABCD内；
即：若点F在正方形ABCD内，DF=BF，则旋转角α=0．
点评：本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，旋转的性质，命题和定理，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键，注意利用正方形的性质找三角形全等的条件．
6. （2015•浙江省台州市，第24题）定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点
（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM=2，MN=3求BN的长；
（2）如图2，在△ABC中，FG是中位线，点D，E是线段BC的勾股分割点，且EC>DE≥BD，连接AD，AE分别交FG于点M，N，求证：点M，N是线段FG的勾股分割点
（3）已知点C是线段AB上的一定点，其位置如图3所示，请在BC上画一点D，使C，D是线段AB的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画出一种情形即可）
（4）如图4，已知点M，N是线段AB的勾股分割点，MN>AM≥BN，△AMC，△MND
和△NBM均是等边三角形，AE分别交CM，DM，DN于点F，G，H，若H是DN的中点，试探究，和的数量关系，并说明理由
7，（2015•福建泉州第20题9分）如图，在矩形ABCD中．点O在边AB上，∠AOC=∠BOD．求证：AO=OB．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90，AD=BC，
∵∠AOC=∠BOD，
∴∠AOC﹣∠DOC=∠BOD﹣∠DOC，
∴∠AOD=∠BOC，
在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC，
∴AO=OB．
8．（2015•广东梅州,第20题，9分）如图，已知△ABC．按如下步骤作图：①以A为圆心，AB长为半径画弧；②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；③连结BD，与AC交于点E，连结AD，CD．
（1）求证：△ABC≌△ADC；
（2）若∠BAC=30，∠BCA=45，AC=4，求BE的长．
考点：全等三角形的判定与性质；作图—复杂作图．.
分析：（1）利用SSS定理证得结论；
（2）设BE=x，利用特殊角的三角函数易得AE的长，由∠BCA=45易得CE=BE=x，解得x，得CE的长．
解答：（1）证明：在△ABC与△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS）；
（2）解：设BE=x，
∵∠BAC=30，
∴∠ABE=60，
∴AE=tan60•x=x，
∵△ABC≌△ADC，
∴CB=CD，∠BCA=∠DCA，
∵∠BCA=45，
∴∠BCA=∠DCA=90，
∴∠CBD=∠CDB=45，
∴CE=BE=x，
∴x+x=4，
∴x=2﹣2，
∴BE=2﹣2．
点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质，特殊角的三角函数，利用方程思想，综合运用全等三角形的性质和判定定理是解答此题的关键．
9．（2015•甘肃兰州,第25题，9分）如图，四边形ABCD中AB∥CD，AB≠CD，BD=AC。（1）求证：AD=BC；
【考点解剖】本题考查特殊四边形的性质，和等腰三角形性质中的相关知识点。
【知识准备】在同一个三角形中，相等的边所对的角相等；
【思路点拔】（1）要说明AD=BC，只要能说明△ACD≌△BDC，
现已有AC=BD，CD=DC，那么关键是如何说明∠1=∠2；
这里需要注意的是：由AC=BD，并不能直接得出结论∠1=∠2，因为AC和BD并非同一个三角形中的元素。
能否以某一角为媒介，使得∠1和∠2都与之相等？
结合已知条件中的AC=BD，如果能够构造出以AC和BD为其中两边的三角形，那么它们所对的角自然相等。
为此，可将AC平移，使点A到点B位置（如图），那么有∠2=∠K，而∠K=∠1，则有∠2=∠1，问题得以解决；
【解答过程】（1）延长DC至K，使CK=AB，∵ABCK，∴四边形ABKC是平行四边形，
则在□ABKC中，有ACBK，∴∠1=∠K，
∵BD=AC，AC=BK，∴BD=BK，则有∠2=∠K，
∵∠2=∠K，∠1=∠K，∴∠1=∠2 。
△ACD和△BDC中，∵， ∴△ACD≌△BDC（SAS），
∴AD=BC ；
【题目星级】★★★★
【解题策略】很多时候，在直接说明某两个量相等（如本题中需证明∠1=∠2）有困难时，我们往往可以寻找第三方媒介，分别说明目标的两个量与第三方的这个量相等，从而达到说明两个目标量相等的目的。
10. （2015•四川泸州,第18题6分）如图，AC=AE，∠1=∠2，AB=AD. 求证：BC=DE.
考点：全等三角形的判定与性质．.
专题：证明题．
分析：先证出∠CAB=∠DAE，再由SAS证明△BAC≌△DAE，得出对应边相等即可．
解答：证明：∵∠1=∠2，
∴∠CAB=∠DAE，
在△BAC和△DAE中，，
∴△BAC≌△DAE（SAS），
∴BC=DE．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
11. （2015•四川凉山州,第21题8分）如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，探究线段AF、BF、EF三者之间的数量关系，并说明理由．
【答案】AF=BF+EF，理由见试题解析．
考点：1．全等三角形的判定与性质；2．正方形的性质．
12. （2015•四川眉山，第25题9分）如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长AP交CD于F点，
（1）求证：四边形AECF为平行四边形；
（2）若△AEP是等边三角形，连结BP，求证：△APB≌△EPC；
（3）若矩形ABCD的边AB=6，BC=4，求△CPF的面积．
考点： 四边形综合题．.
专题： 综合题．
分析： （1）由折叠的性质得到BE=PE，EC与PB垂直，根据E为AB中点，得到AE=PE，利用等角对等边得到两对角相等，由∠AEP为三角形EBP的外角，利用外角性质得到∠AEP=2∠EPB，设∠EPB=x，则∠AEP=2x，表示出∠APE，由∠APE+∠EPB得到∠APB为90，进而得到AF与EC平行，再由AE与FC平行，利用两对边平行的四边形为平行四边形即可得证；
（2）根据三角形AEP为等边三角形，得到三条边相等，三内角相等，再由折叠的性质及邻补角定义得到一对角相等，根据同角的余角相等得到一对角相等，再由AP=EB，利用AAS即可得证；
（3）过P作PM⊥CD，在直角三角形EBC中，利用勾股定理求出EC的长，利用面积法求出BQ的长，根据BP=2BQ求出BP的长，在直角三角形ABP中，利用勾股定理求出AP的长，根据AF﹣AP求出PF的长，由PM与AD平行，得到三角形PMF与三角形ADF相似，由相似得比例求出PM的长，再由FC=AE=3，求出三角形CPF面积即可．
解答： （1）证明：由折叠得到BE=PE，EC⊥PB，
∵E为AB的中点，
∴AE=EB，即AE=PE，
∴∠EBP=∠EPB，∠EAP=∠EPA，
∵∠AEP为△EBP的外角，
∴∠AEP=2∠EPB，
设∠EPB=x，则∠AEP=2x，∠APE==90﹣x，
∴∠APB=∠APE+∠EPB=x+90﹣x=90，即BP⊥AF，
∴AF∥EC，
∵AE∥FC，
∴四边形AECF为平行四边形；
（2）∵△AEP为等边三角形，
∴∠BAP=∠AEP=60，AP=AE=EP=EB，
∵∠PEC=∠BEC，
∴∠PEC=∠BEC=60，
∵∠BAP+∠ABP=90，∠ABP+∠BEQ=90，
∴∠BAP=∠BEQ，
在△ABP和△EBC中，
，
∴△ABP≌△EBC（AAS），
∵△EBC≌△EPC，
∴△ABP≌△EPC；
（3）过P作PM⊥DC，交DC于点M，
在Rt△EBC中，EB=3，BC=4，
根据勾股定理得：EC==5，
∵S△EBC=EB•BC=EC•BQ，
∴BQ==，
由折叠得：BP=2BQ=，
在Rt△ABP中，AB=6，BP=，
根据勾股定理得：AP==，
∵四边形AECF为平行四边形，
∴AF=EC=5，FC=AE=3，
∴PF=5﹣=，
∵PM∥AD，
∴=，即=，
解得：PM=，
则S△PFC=FC•PM=3=．
点评： 此题属于四边形综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，折叠的性质，等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积求法，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
13. （2015•四川乐山,第20题10分）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E．
（1）求证：△DCE≌△BFE；
（2）若CD=2，∠ADB=30，求BE的长．
【答案】（1）证明见试题解析；（2）．
考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．全等三角形的判定与性质．
14. （2015•山东潍坊第23 题12分）如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．
（1）求证：DE⊥AG；
（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角（0＜α＜360）得到正方形OE′F′G′，如图2．
①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；
②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．
考点： 几何变换综合题．.
分析： （1）延长ED交交AG于点H，易证△AOG≌△DOE，得到∠AGO=∠DEO，然后运用等量代换证明∠AHE=90即可；
（2）①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有两种情况：α由0增大到90过程中，当∠OAG′=90时，α=30，α由90增大到180过程中，当∠OAG′=90时，α=150；
②当旋转到A、O、F′在一条直线上时，AF′的长最大，AF′=AO+OF′=+2，此时α=315．
解答： 解：（1）如图1，延长ED交AG于点H，
∵点O是正方形ABCD两对角线的交点，
∴OA=OD，OA⊥OD，
∵OG=OE，
在△AOG和△DOE中，
，
∴△AOG≌△DOE，
∴∠AGO=∠DEO，
∵∠AGO+∠GAO=90，
∴∠AGO+∠DEO=90，
∴∠AHE=90，
即DE⊥AG；
（2）①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有两种情况：
（Ⅰ）α由0增大到90过程中，当∠OAG′=90时，
∵OA=OD=OG=OG′，
∴在Rt△OAG′中，sin∠AG′O==，
∴∠AG′O=30，
∵OA⊥OD，OA⊥AG′，
∴OD∥AG′，
∴∠DOG′=∠AG′O=30，
即α=30；
（Ⅱ）α由90增大到180过程中，当∠OAG′=90时，
同理可求∠BOG′=30，
∴α=180﹣30=150．
综上所述，当∠OAG′=90时，α=30或150．
②如图3，当旋转到A、O、F′在一条直线上时，AF′的长最大，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴OA=OD=OC=OB=，
∵OG=2OD，
∴OG′=OG=，
∴OF′=2，
∴AF′=AO+OF′=+2，
∵∠COE′=45，
∴此时α=315．
点评： 本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数、旋转变换的性质的综合运用，有一定的综合性，分类讨论当∠OAG′是直角时，求α的度数是本题的难点．
15．（2015•山东威海，第23题10分）（1）如图1，已知∠ACB=∠DCE=90，AC=BC=6，CD=CE，AE=3，∠CAE=45，求AD的长．
（2）如图2，已知∠ACB=∠DCE=90，∠ABC=∠CED=∠CAE=30，AC=3，AE=8，求AD的长．
考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．.
分析： （1）连接BE，证明△ACD≌△BCE，得到AD=BE，在Rt△BAE中，AB=6，AE=3，求出BE，得到答案；
（2）连接BE，证明△ACD∽△BCE，得到==，求出BE的长，得到AD的长．
解答： 解：（1）如图1，连接BE，
∵∠ACB=∠DCE=90，
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，
又∵AC=BC，DC=EC，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，
∵AC﹣BC=6，
∴AB=6，
∵∠BAC=∠CAE=45，
∴∠BAE=90，
在Rt△BAE中，AB=6，AE=3，
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