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全等三角形问题中常见的辅助线的作法
常见辅助线的作法有以下几种：
1) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．
2) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法
适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．
3) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．
4) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．
5) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”
特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．
一、 倍长中线（线段）造全等
例1.已知：如图3所示，AD为 △ABC的中线，
求证：AB+AC>2AD。
分析：要证AB+AC>2AD，由图形想到： AB+BD>AD,AC+CD>AD，所以有：AB+AC+ BD+CD > AD +AD=2AD，
但它的左边比要证结论多BD+CD，故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。
证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CE。
3图
例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.
因为BD=DC=AC，所以AC=1/2BC
因为E是DC中点，所以EC=1/2DC=1/2AC
∠ACE=∠BCA，所以△BCA∽△ACE
所以∠ABC=∠CAE
因为DC=AC，所以∠ADC=∠DAC
∠ADC=∠ABC+∠BAD
所以∠ABC+∠BAD=∠DAE+∠CAE
所以∠BAD=∠DAE
即AD平分∠BAE
应用：
二、截长补短
例1.已知：如图1所示， AD为△ABC的中线，且∠1=∠2,∠3=∠4。
求证：BE+CF>EF。
分析：要证BE+CF>EF ，可利用三角形三 边关系定理证明，须把BE，CF，EF移到同一个三角形中，而由已知∠1=∠2， ∠3=∠4，可在角的两边截取相等的线段，利用全等三角形的对应边相等，把EN，FN，EF移到同个三角形中。
证明：在DN上截取DN=DB，连接NE，NF。 延长FD到G , 使DG=FD, 再连结EG,BG
1、如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：CD⊥AC
证明：
取AB中点E，连接DE
∵AD=BD
∴DE⊥AB，即∠AED=90【等腰三角形三线合一】
∵AB=2AC
∴AE=AC
又∵∠EAD=∠CAD【AD平分∠BAC】
AD=AD
∴⊿AED≌⊿ACD（SAS）
∴∠C=∠AED=90
∴CD⊥AC
2、如图，AC∥BD，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD过点E，求证;AB＝AC+BD
在AB上取点N ,使得AN=AC
∠CAE=∠EAN ,AE为公共边,所以三角形CAE全等三角形EAN
所以∠ANE=∠ACE
又AC平行BD
所以∠ACE+∠BDE=180
而∠ANE+∠ENB=180
所以∠ENB=∠BDE
∠NBE=∠EBN
BE为公共边,所以三角形EBN全等三角形EBD
所以BD=BN
所以AB=AN+BN=AC+BD
3、如图，已知在内，，，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP
证明：
做辅助线PM‖BQ，与QC相交与M。
（首先算清各角的度数）
∵∠APB=180—∠BAP—∠ABP=180—30—80=70
且∠APM=180—∠APB—∠MPC=180—70—∠QBC（同位角相等）=180—70—40=70
∴∠APB=∠APM
又∵AP是BAC的角平分线，
∴∠BAP=∠MAP
AP是公共边
∴△ABP≌△AMP(角边角）
∴AB=AM，BP=MP
在△MPC中，∠MCP=∠MPC=40
∴MP=MC
∴AB+BP=AM+MP=AM+MC=AC
在△QBC中
∵∠QBC=QCB=40
∴BQ=QC
∴BQ+AQ=AQ+QC=AC
∴BQ+AQ=AB+BP
赞同
4、角平分线如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，
求证：
延长BA,作DF⊥BA的延长线，作DE⊥BC
∵∠1=∠2
∴DE=DF（角分线上的点到角的两边距离相等）
∴在Rt△DFA与Rt△DEC中
｛AD=DC,DF=DE}
∴Rt△DFA≌Rt△DEC（HL)
∴∠3=∠C
因为∠4+∠3=180
∴∠4+∠C=180
即∠A+∠C=180♢
5、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC
延长AC至E，使AE=AB，连结PE。
然后证明一下△ABP≌AEP得到PB=PE备用（角边角证很容易吧~）
△PCE中，EC>PE-PC
∵EC=AE-AC，AE=AB
∴EC=AB-AC
又PB=PE
∴PE-PC=PB-PC
∴AB-AC>PB-PC
应用：
三、平移变换
例1 AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为，△EBC周长记为.求证＞.
例2 如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE.
四、借助角平分线造全等
1、如图，已知在△ABC中，∠B=60，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD
在AC上取点F，使AF=AE
∵AD是角A的平分线
∴角EAO＝角FAE/
∵AO=AO
∴三角形AEO与AFO全等（两边夹角相等）
∴EO=FO ，角AOE＝角AOF
∵CE是角C的平分线
∴角DCO＝角FCO
∵角B＝60
∴角A+角C＝180－60＝120
∴角COD=角CAO＋角OCA＝角A/2＋角C/2＝60度
∴角OCF＝180－角AOF-角COD＝180－60－60＝60
∴角OCF＝角COD
∵OC=OC
∴三角形OCD与CFO全等 （两边夹角相等）
∴CF=CD
∴AC=AF+CF＝AE+CD
即：AE+CD=AC
2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的长.
证明：连接BD,CD
DG⊥BC于G且平分BC
所以GD为BC垂直平分线
垂直平分线上的点到线段两端点距离相等
BD=CD
角平分线上的点到角两边距离相等
,AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC的延长线于F
所以DE=DF
在RT△BED,RT△CFD中
DE=DF
BD=CD
RT△BED≌RT△CFD(HL)
BE=CF
应用：
五、旋转
例1 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.
将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度，至三角形ABG
则GE=GB+BE=DF+BE=EF
又AE=AE，AF=AG，
所以三角形AEF全等于AEG
所以∠EAF=∠GAE=∠BAE+∠GAB=∠BAE+∠DAF
又∠EAF+∠BAE+∠DAF=90
所以∠EAF=45度
例2 D为等腰斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。
（1） 当绕点D转动时，求证DE=DF。
（2） 若AB=2，求四边形DECF的面积。
做DP⊥BC，垂足为P，做DQ⊥AC，垂足为Q
∵D为中点，且△ABC为等腰RT△ABC
∴DP=DQ=BC=AC
又∵∠FDQ=∠PDE(旋转）∠DQF=∠DPE=90
∴△DQF≌△DPE
∴S△DQF=S△DPE
又∵S四边形DECF=S四边形DFCP+S△DPE
∴S四边形DECF=S四边形DFCP+S△DQF=BC*AC=AC（AC=BC=定值）
∴四边形DECF面积不会改变
例3 如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以D为顶点做一个角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则的周长为 ；
我简单说一下
过D点做DE⊥AB的延长线
然后证明DMN≌DME
（注意△DBE实际上是△DCN旋转后得来的）
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