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八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球
文：付雨楼、段永建
今天给大家带来8个求解立体几何内切球与外接球半径的模型，本文最开始源自付雨楼老师分享的模型，教研QQ群(群号：545423319)成员段永建老师进一步作图编辑优化分享。
类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）
方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式，即，求出
例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为，体积为，则这个球的表面积是（ C ）
A． B． C． D．
（2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是
解：（1），，，，选C；
（2），
（3）在正三棱锥中，分别是棱的中点，且,若侧棱,则正三棱锥外接球的表面积是 。
解：引理：正三棱锥的对棱互垂直。证明如下：
如图（3）-1，取的中点，连接，交于，连接，则是底面正三角形的中心，平面，，
，，，平面，
，同理：，，即正三棱锥的对棱互垂直，
本题图如图（3）-2， ，，
，，平面，
，，，，
平面，，
故三棱锥的三棱条侧棱两两互相垂直，
，即，
正三棱锥外接球的表面积是
（4）在四面体中，，则该四面体的外接球的表面积为（ D ）
（5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为、、，那么它的外接球的表面积是
（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为的等腰直角三角形和边长为的正方形，则该几何体外接球的体积为
解析：（4）在中，，
，的外接球直径为，
，，选D
（5）三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为（），则
，，，，，，，
（6），，
，
类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）
1．题设：如图5，平面
解题步骤：
第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直
径，连接，则必过球心；
第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半
径（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得
），；
第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①；
②
2．题设：如图6，7，8，的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点
解题步骤：
第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；
第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；
第三步：勾股定理：，解出
方法二：小圆直径参与构造大圆。
例2 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为( )C
A． B． C． D．以上都不对
解：选C，,, ,
,
类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）
1．题设：如图9-1，平面平面，且（即为小圆的直径）
第一步：易知球心必是的外心，即的外接圆是大圆，先求出小圆的直径；
第二步：在中，可根据正弦定理，求出
2．如图9-2，平面平面，且（即为小圆的直径）
3．如图9-3，平面平面，且（即为小圆的直径），且的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点
解题步骤：
第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；
第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；
第三步：勾股定理：，解出
4．如图9-3，平面平面，且（即为小圆的直径），且，则
利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①；
②
例3 （1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为，则该球的表面积为 。
（2）正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为
解：（1）由正弦定理或找球心都可得，，
（2）方法一：找球心的位置，易知，，，故球心在正方形的中心处，，
方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是的外接圆，此处特殊，的斜边是球半径，，，
（3）在三棱锥中，,侧棱与底面所成的角为，则该三棱锥外接球的体积为（ ）
A． B. C. 4 D.
解：选D，圆锥在以的圆上，
（4）已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上,是边长为的正三角形,为球的直径,且，则此棱锥的体积为（ ）A
A． B． C． D．
解：，，
类型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）
题设：如图10-1，图10-2，图10-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）
第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；
第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；
第三步：勾股定理：，解出
例4 （1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为，则这个球的体积为
解：设正六边形边长为，正六棱柱的高为，底面外接圆的关径为，则，
底面积为，，，，
，球的体积为
（2）直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于 。
解：，，，，
（3）已知所在的平面与矩形所在的平面互相垂直，，则多面体的外接球的表面积为 。
解析：折叠型，法一：的外接圆半径为，，
；法二：，，，，
（4）在直三棱柱中，则直三棱柱的外接球的表面积为 。
解析：，，，，
，
类型五、折叠模型
题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图11)
第一步：先画出如图所示的图形，将画在小圆上，找出和的外心和；
第二步：过和分别作平面和平面的垂线，两垂线的交点即为球心，连接；
第三步：解，算出，在中，勾股定理：
例5三棱锥中，平面平面，△和△均为边长为的正三角形，则三棱锥外接球的半径为 .
解析：，，，
，；
法二：，，，
，
类型六、对棱相等模型（补形为长方体）
题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，）
第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；
第二步：设出长方体的长宽高分别为，，，，列方程组，
，
补充：
第三步：根据墙角模型，，
，，求出，
例如，正四面体的外接球半径可用此法。
例6（1）棱长为的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一
个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 .
（2）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为的球面上，其中底面的三个顶点
在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）
A． B． C． D．
解：（1）截面为，面积是；
（2）高，底面外接圆的半径为，直径为，
设底面边长为，则，，，
三棱锥的体积为
（3）在三棱锥中，则三棱锥外接球的表面积为 。
解析：如图12，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为，则，
，，，
，，
（4）如图所示三棱锥，其中则该三棱锥外接球的表面积为 .
解析：同上，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为，，，，
【55；对称几何体；放到长方体中】
（5）正四面体的各条棱长都为，则该正面体外接球的体积为
解析：这是特殊情况，但也是对棱相等的模式，放入长方体中，，
，，
类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型
题设：，求三棱锥外接球半径（分析：取公共的斜边的中点，连接
，则，为三棱锥外接球球心，然后在中求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值。
例7（1）在矩形中，，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
解：（1），，，选C
（2）在矩形中，，，沿将矩形折叠，连接，所得三棱锥的外接球的表面积为 ．
解析：（2）的中点是球心，，；
类型八、锥体的内切球问题
1．题设：如图14，三棱锥上正三棱锥，求其外接球的半径。
第一步：先现出内切球的截面图，分别是两个三角形的外心；
第二步：求，，是侧面的高；
第三步：由相似于，建立等式：，解出
2．题设：如图15，四棱锥上正四棱锥，求其外接球的半径
第一步：先现出内切球的截面图，三点共线；
第二步：求，，是侧面的高；
第三步：由相似于，建立等式：，解出
3．题设：三棱锥是任意三棱锥，求其的内切球半径
方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等
第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；
第二步：设内切球的半径为，建立等式：
第三步：解出
习题：
1．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，，则该三棱锥的外接球半径为（ ）
A. B. C. D.
解：【A】，
【三棱锥有一侧棱垂直于底面，且底面是直角三角形】【共两种】
2． 三棱锥中，侧棱平面，底面是边长为的正三角形，，则该三棱锥的外接球体积等于 .
解析：，，，，外接球体积
【外心法（加中垂线）找球心；正弦定理求球小圆半径】
3．正三棱锥中，底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则该三棱锥的外接球体积等于 .
解析：外接圆的半径为 ，三棱锥的直径为，外接球半径，
或，，外接球体积，
4．三棱锥中，平面平面，△边长为的正三角形，，则三棱锥外接球的半径为 .
解析：的外接圆是大圆，，，
5． 三棱锥中，平面平面，，，，则三棱锥外接球的半径为 .
解析：，，，
，
6． 三棱锥中，平面平面，，，，则三棱锥外接球的半径为 .
解：是公共的斜边，的中点是球心，球半径为
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