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全等三角形的提高拓展训练
知识点睛
全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．
寻找对应边和对应角，常用到以下方法：
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．
(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．
(3)有公共边的，公共边常是对应边．
(4)有公共角的，公共角常是对应角．
(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．
(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．
要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．
全等三角形的判定方法：
(1) 边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．
(2) 角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．
(3) 边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．
(4) 角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
(5) 斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．
拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．
例题精讲
板块一、截长补短
【例1】 已知中，，、分别平分和，、交于点，试判断、、的数量关系，并加以证明．
【例2】 如图，点为正三角形的边所在直线上的任意一点(点除外)，作，射线与外角的平分线交于点，与有怎样的数量关系?
【变式拓展训练】
_
N
_
C
_
D
_
E
_
B
_
M
_
A
如图，点为正方形的边上任意一点，且与外角的平分线交于点，与有怎样的数量关系？
【例3】 已知：如图，ABCD是正方形，∠FAD=∠FAE. 求证：BE+DF=AE.
_
F
_
E
_
D
_
C
_
B
_
A
【例4】 以的、为边向三角形外作等边、，连结、相交于点．求证：平分．
【例5】 如图所示，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长．
【例6】 五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180，
求证：AD平分∠CDE
板块二、全等与角度
【例7】如图，在中，，是的平分线，且，求的度数.
【例8】在等腰中，，顶角，在边上取点，使，
求.
【例9】 如图所示，在中，，，又在上，在上，且满足，，求.
【例10】 在四边形中，已知，，，，求的度数.
【例11】 如图所示，在四边形中，，，，，求的度数.
【例12】 在正内取一点，使，在外取一点，使，且，求.
【例13】 如图所示，在中，，为内一点，使得，，求的度数.
全等三角形证明经典50题（含答案）
A
D
B
C
1. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD
延长AD到E,使DE=AD,
则三角形ADC全等于三角形EBD
D
A
B
C
即BE=AC=2 在三角形ABE中,AB-BE
BC时，E点是射线AB,DC的交点）。
则：
△AED是等腰三角形。
所以：AE=DE
而AB=CD
所以：BE=CE (等量加等量，或等量减等量）
所以：△BEC是等腰三角形
所以：角B=角C.
P
D
A
C
B
15. P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PB三角形ADC全等于三角形ABC.
所以BC等于DC，角3等于角4,EC=EC
三角形DEC全等于三角形BEC
所以∠5=∠6
34．已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD＝CF，求证：△ABC≌△DEF．
因为D,C在AF上且AD=CF
所以AC=DF
又因为AB平行DE，BC平行EF
所以角A+角EDF，角BCA=角F（两直线平行，内错角相等）
然后SSA（角角边）三角形全等
A
C
B
D
E
F
35．已知：如图，AB=AC，BD^AC，CE^AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CD．
证明：因为 AB=AC，
所以 ∠EBC=∠DCB
因为 BD⊥AC，CE⊥AB
所以 ∠BEC=∠CDB
BC=CB (公共边)
则有 三角形EBC全等于三角形DCB
所以 BE＝CD
A
E
B
D
C
F
36、 如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。
求证：DE=DF．
AAS证△ＡＤＥ≌△ADF
37.已知：如图, ACBC于C , DEAC于E , ADAB于A , BC =AE．若AB = 5 ,求AD 的长？
D
C
B
A
E
角C=角E=90度
角B=角EAD=90度-角BAC
BC=AE
△ABC≌△DAE
AD=AB=5
38．如图：AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E、F，ME=MF。求证：MB=MC
证明∵AB=AC
∴△ABC是等腰三角形
∴∠B=∠C
又∵ME=MF，△BEM和△CEM是直角三角形
∴△BEM全等于△CEM
∴MB=MC
40．在△ABC中，，，直线经过点，且于，于.(1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证： ①≌；②；
(2)当直线绕点旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.
（1） 证明：∵∠ACB=90，
∴∠ACD+∠BCE=90，
而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC=∠CEB=90，∠BCE+∠CBE=90，
∴∠ACD=∠CBE．
在Rt△ADC和Rt△CEB中，{∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBE AC=CB，
∴Rt△ADC≌Rt△CEB（AAS），
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=DC+CE=BE+AD；
A
E
B
M
C
F
（2）不成立，证明：在△ADC和△CEB中，{∠ADC=∠CEB=90∠ACD=∠CBE AC=CB，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=CE-CD=AD-BE；
41．如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF
（1） 证明;因为AE垂直AB
所以角EAB=角EAC+角CAB=90度
因为AF垂直AC
所以角CAF=角CAB+角BAF=90度
所以角EAC=角BAF
因为AE=AB AF=AC
所以三角形EAC和三角形FAB全等
所以EC=BF
角ECA=角F
（2） (2)延长FB与EC的延长线交于点G
因为角ECA=角F(已证）
所以角G=角CAF
因为角CAF=90度
所以EC垂直BF
42．如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。
证明：
（1）
∵BE⊥AC，CF⊥AB
∴∠ABM+∠BAC=90，∠ACN+∠BAC=90
∴∠ABM=∠ACN
∵BM=AC，CN=AB
∴△ABM≌△NAC
∴AM=AN
（2）
∵△ABM≌△NAC
∴∠BAM=∠N
∵∠N+∠BAN=90
∴∠BAM+∠BAN=90
即∠MAN=90
∴AM⊥AN
43．如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC∥EF
连接BF、CE，
证明△ABF全等于△DEC（SAS），
然后通过四边形BCEF对边相等的证得平行四边形BCEF
从而求得BC平行于EF
44．如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由
在AB上取点N ,使得AN=AC
∠CAE=∠EAN ,AE为公共边,所以三角形CAE全等三角形EAN
所以∠ANE=∠ACE
又AC平行BD
所以∠ACE+∠BDE=180
而∠ANE+∠ENB=180
所以∠ENB=∠BDE
∠NBE=∠EBN
BE为公共边,
所以三角形EBN全等三角形EBD
所以BD=BN
所以AB=AN+BN=AC+BD
45、（10分） 如图,已知: AD是BC上的中线 ,且DF=DE．求证:BE∥CF．
证明：
∵AD是中线
∴BD=CD
∵DF=DE，∠BDE=∠CDF
∴△BDE≌△CDF
∴∠BED=∠CFD
∴BE‖CF
46、(10分)已知：如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，．
A
D
E
C
B
F
求证：．
证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEC=∠AFB=90，
在Rt△DEC和Rt△BFA中，DE=BF，AB=CD，
∴Rt△DEC≌Rt△BFA，
∴∠C=∠A，
∴AB∥CD．
47、(10分)如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=CD
【待定】
A
C
E
D
B
48、 (10分)如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝BE，AE＝BD，试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并证明你的结论.
结论：CE>DE。当∠AEB越小，则DE越小。
证明：
过D作AE平行线与AC交于F，连接FB
由已知条件知AFDE为平行四边形，ABEC为矩形 ，且△DFB为等腰三角形。
RT△BAE中，∠AEB为锐角，即∠AEB<90
∵DF//AE ∴∠FDB=∠AEB<90
△DFB中 ∠DFB=∠DBF=(180-∠FDB)/2>45
RT△AFB中，∠FBA=90-∠DBF <45
∠AFB=90-∠FBA>45
∴AB>AF
∵AB=CE AF=DE
∴CE>DE
49、 (10分)如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE，求证：AE＝DE.
A
B
E
C
D
先证明△ABC≌△BDC 的出角ABC=角DCB
在证明△ABE≌△DCE
得出AE=DE
50．如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE．
A
B
C
D
E
F
图9
证明：作CG平分∠ACB交AD于G
∵∠ACB=90
∴∠ACG= ∠DCG=45
∵∠ACB=90 AC=BC
∴∠B=∠BAC=45
∴∠B=∠DCG=∠ACG
∵CF⊥AD
∴∠ACF+∠DCF=90
∵∠ACF+∠CAF=90
∴∠CAF=∠DCF
∵ AC=CB ∠ACG=∠B
∴△ACG≌△CBE
∴CG=BE
∵∠DCG=∠B CD=BD
∴△CDG ≌△BDE
∴∠ADC=∠BDE