三角函数的图像与性质课程教案.doc

^` 三角函数的图像与性质 二.教学目标： 了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin（ωx+φ）的简图，理解A、ω、φ的物理意义。 三.知识要点： 1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 2.三角函数的单调区间： 的递增区间是， 递减区间是； 的递增区间是， 递减区间是 的递增区间是， 3.函数 最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。 4.由y＝sinx的图象变换出y＝sin（ωx＋）的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活地进行图象变换。 利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现.无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。 途径一：先平移变换再周期变换（伸缩变换） 先将y＝sinx的图象向左（＞0）或向右（＜0＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍（ω＞0），便得到y＝sin（ωx＋）的图象。 途径二：先周期变换（伸缩变换）再平移变换。 先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍（ω＞0），再沿x轴向左（＞0）或向右（＜0，平移个单位，便得到y＝sin（ωx＋）的图象。 5.对称轴与对称中心： 的对称轴为，对称中心为； 的对称轴为，对称中心为； 对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点相联系。 6.五点法作y=Asin（ωx+）的简图： 五点法是设X=ωx+，由X取0、、π、、2π来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。 【典型例题】 例1.把函数y=cos（x+）的图象向左平移个单位，所得的函数为偶函数，则的最小值是（） A. B. C. D. 解：先写出向左平移4个单位后的解析式，再利用偶函数的性质求解。 向左平移个单位后的解析式为y=cos（x++） 则cos（－x++）=cos（x++）， cosxcos（+）+sinxsin（+）=cosxcos（+）－sinxsin（+） ∴sinxsin（+）=0，x∈R. ∴+=kπ，∴=kπ－＞0 ∴k＞，∴k=2，∴= 答案：B 例2.试述如何由y=sin（2x+）的图象得到y=sinx的图象。 解：y=sin（2x+） 另法答案： （1）先将y=sin（2x+）的图象向右平移个单位，得y=sin2x的图象； （2）再将y=sin2x上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得y=sinx的图象； （3）再将y=sinx图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可得到y=sinx的图象。 例3.求函数y=sin4x+2sinxcosx－cos4x的最小正周期和最小值；并写出该函数在［0，π］上的单调递增区间。 解：y=sin4x+2sinxcosx－cos4x =（sin2x+cos2x）（sin2x－cos2x）+sin2x =sin2x－cos2x =2sin（2x－）. 故该函数的最小正周期是π；最小值是－2；单调递增区间是［0，］，［，π］ 点评：把三角函数式化简为y=Asin（ωx+）+k（ω＞0）是解决周期、最值、单调区间问题的常用方法。 例4.已知电流I与时间t的关系式为。 （1）下图是（ω＞0，） 在一个周期内的图象，根据图中数据求 的解析式； （2）如果t在任意一段秒的时间内，电流都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？ 解：本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力。 （１）由图可知A＝300 设t1＝－，t2＝ 则周期T＝2（t2－t1）＝2（＋）＝ ∴ω＝＝150π 将点代入 ∴＝ 故所求的解析式为 （2）依题意，周期T≤，即≤，（ω>0） ∴ω≥300π＞942，又ω∈N* 故最小正整数ω＝943． 点评：本题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言．其中，读图、识图、用图是形数结合的有效途径。 【模拟试题】 1.在（0，2π）内，使sinx＞cosx成立的x的取值范围是（） A.（，）∪（π，） B.（，π） C.（，） D.（，π）∪（，） 2.如果函数f（x）=sin（πx+θ）（0＜θ＜2π＝的最小正周期是T，且当x=2时取得最大值，那么（） A.T=2，θ= B.T=1，θ=π C.T=2，θ=π D.T=1，θ= 3.设函数f（x）=A+Bsinx，若B＜0时，f（x）的最大值是，最小值是－，则A=_______，B=_______。 4.已知函数y=tan（2x+）的图象过点（，0），则可以是（） A.－ B. C.－ D. 5.函数y=sin（－2x）+sin2x的最小正周期是（） A. 2π B.π C. D. 4π 6.若f（x）sinx是周期为π的奇函数，则f（x）可以是（） A. sinxB. cosxC. sin2xD. cos2x 7.函数y=2sin（－2x）（x∈［0，π］）为增函数的区间是（） A.［0，］ B.［，］ C.［，］ D.［，π］ 8.把y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数__________的图象；再把所得图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，得到函数__________的图象。 9.函数y=lg（cosx－sinx）的定义域是_______. 10.f（x）=2cos2x+sin2x+a（a为实常数）在区间［0，］上的最小值为－4，那么a的值等于（） A. 4 B.－6 C.－4 D.－3 【试题答案】 1.答案：C 2.解析：T==2，又当x=2时，sin（π2+θ）=sin（2π+θ）=sinθ，要使上式取得最大值，可取θ=。 答案：A 3.解析：根据题意，由可得结论 答案：－1 4.解析：将（，0）代入原函数可得，tan（+）=0，再将A、B、C、D代入检验即可。 答案：A 5.解析：y=cos2x－sin2x+sin2x=cos2x+sin2x=sin（+2x），T=π. 答案：B 6.答案：B 7.解析：对于y=2sin（－2x）=－2sin（2x－），其增区间可由y=2sin（2x－）的减区间得到，即2kπ+≤2x－≤2kπ+，k∈Z。 ∴kπ+≤x≤kπ+，k∈Z.令k=0，故选C. 答案：C 8.解析：向左平移个单位，即以x+代x，得到函数y=sin（x+），再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，即以x代x，得到函数：y=sin（x+）。 答案：y=sin（x+）y=sin（x+） 9.解析：由cosx－sinx＞0cosx＞sinx.由图象观察，知2kπ－＜x＜2kπ+（k∈Z） 答案：2kπ－＜x＜2kπ+（k∈Z） 10.解析：f（x）=1+cos2x+sin2x+a=2sin（2x+）+a+1. ∵x∈［0，］，∴2x+∈［，］. ∴f（x）的最小值为2（－）+a+1=－4 ∴a=－4.