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1、湖南省株洲市2019-2020学年高二数学上学期期中试题 理考试时间：120分钟 总分：150分一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。每小题只有一个选项最符合题意。）1.复数在复平面内，z所对应的点在（ ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.如图是导函数的图象，那么函数在下面哪个区间是减函数( )A. B. C. D. 3.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以，是函数的极值点.以上推理中 （ ） A大前提错误 B小前提错误 C推理形式错误 D结论正确4. 9件产品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等
2、品，现在要从中抽出4件产品来检查，至少有两件一等品的种数是（ ）A. B. C. D.5. 的展开式中，含的项的系数（ ）A.9 B.121 C.-74 D.-1216.函数在处有极值10, 则点为 （ ）A. B. C. 或 D.不存在7随机变量服从二项分布，且则等于（ ）A. B. C. 1 D. 0 8. （ ） A.1 B.2 C.3 D.49、函数若函数上有3个零点，则m的取值范围为 （ ）A B C D 10.从5名志愿者中选出4人分别到A、B、C、D四个部门工作，其中甲、乙两名志愿者不能到A、B二个部门工作，其他三人能到四个部门工作，则选派方案共有（ ） A.120种B.24种
3、C.18种 D.36种11曲线， 和直线围成的图形面积是 （ ）A B C D12已知在区间上是减函数，那么（ ） A有最大值 B有最大值 C有最小值 D有最小值二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请将答案填在答题纸的对应位置上。）13已知随机变量服从正态分布，若，则 。14曲线上的点到直线的最短距离是 。15甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是_ _(写出所有正确结
4、论的编号)P(B)； P(B|A1)； 事件B与事件A1相互独立；A1，A2，A3是两两互斥的事件；P(B)的值不能确定，因为不知道它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关16一同学在电脑中打出如下图形（表示空心圆，表示实心圆） 若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前2019个圆中有实心圆的个数为三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17（10分）已知，（1）求：，的值； （2）猜想的通项公式，并用数学归纳法证明。 18（12分）用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数。（1）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；（2）在组成
5、的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如，等都是“凹数”，试求“凹数”的个数；（3）在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数。19.（12分）在某校组织的高二女子排球比赛中，有A、B两个球队进入决赛，决赛采用7局4胜制假设A、B两队在每场比赛中获胜的概率都是并记需要比赛的场数为（）求大于4的概率； （）求的分布列与数学期望。20.（12分）已知函数（1）求的单调区间； （2）求曲线在点（1，）处的切线方程；（3）求证：对任意的正数与，恒有 。21（12分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场
6、价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物产量(kg)300500概率0.50.5作物市场价格(元/kg)610概率0.40.6（1）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；（2）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率。22.（12分）已知函数(1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求a的取值范围。1.复数在复平面内，z所对应的点在（ B ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.如图是导函数的图象，那么函数在下面哪个区间是减函数( B )A. B. C. D. 3.有一段“三段论”推理是这样
7、的：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以，是函数的极值点.以上推理中 （ A ） A大前提错误 B小前提错误 C推理形式错误 D结论正确4. 9件产品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，现在要从中抽出4件产品来检查，至少有两件一等品的种数是（ D ）A. B. C. D.5. 的展开式中，含的项的系数（ A ）A.9 B.121 C.-74 D.-1216.函数在处有极值10, 则点为 （B ）A. B. C. 或 D.不存在7随机变量服从二项分布，且则等于（ B ）A. B. C. 1 D. 0 8. （ A ） A.1 B.2 C.3 D.49、函数若函
8、数上有3个零点，则m的取值范围为 （ D ）A B C D 10.从5名志愿者中选出4人分别到A、B、C、D四个部门工作，其中甲、乙两名志愿者不能到A、B二个部门工作，其他三人能到四个部门工作，则选派方案共有（ D ） A.120种B.24种 C.18种 D.36种11曲线， 和直线围成的图形面积是 （D ）A B C D12已知在区间上是减函数，那么（ B ） A有最大值 B有最大值 C有最小值 D有最小值二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请将答案填在答题纸的对应位置上。）13已知随机变量服从正态分布，若，则 0.6 。14曲线上的点到直线的最短距离是 。15甲罐中有5个红球
9、，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是_(写出所有正确结论的编号)P(B)； P(B|A1)； 事件B与事件A1相互独立；A1，A2，A3是两两互斥的事件；P(B)的值不能确定，因为不知道它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关16一同学在电脑中打出如下图形（表示空心圆，表示实心圆） 若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前2019个圆中有实心圆的个数为62三、解答题(本大题共6个小题
10、，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17（10分）已知，（1）求：，的值； （2）猜想的通项公式，并用数学归纳法证明 解：（1）， 3分（2）猜 5分证明：下面用数学归纳法证明。 时，易证 6分 假设时，（k1，kN*），即： 则 9分由，可知，对任意，都成立。 10分18（12分）用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数（1）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；（2）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如，等都是“凹数”，试求“凹数”的个数；（3）在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数
11、的个数解：（1）偶数分为二类：若个位数是0，则共有个； 若个位数是2或4，则共有个； 所以，共有30个符合题意的三位偶数。 4分（2）“凹数”分三类：若十位是0，则有个；若十位是1，则有个；若十位是2，则有个；所以，共有20个符合题意的“凹数”。 8分（3）符合题意的五位数分为三类： 若两个奇数数字在一、三位置：共有个；若两个奇数数字在二、四位置：共有个；若两个奇数数字在三、五位置：共有个；所以，共有28个符合题意的五位数。 12分19.（12分）在某校组织的高二女子排球比赛中，有A、B两个球队进入决赛，决赛采用7局4胜制假设A、B两队在每场比赛中获胜的概率都是并记需要比赛的场数为（）求大于4
12、的概率； （）求的分布列与数学期望解：（）依题意可知，的可能取值最小为4当4时，整个比赛只需比赛4场即结束，这意味着A连胜4场，或B连胜4场，于是，由互斥事件的概率计算公式，可得P（4）2 P（4）1P（4）1即4的概率为 4分（）的可能取值为4，5，6，7，可得P（4）2 P（5）2P（6）2 P（7）28分的分布列为：4567P10分 的数学期望为：E4567 12分20.（12分）已知函数（1）求的单调区间； （2）求曲线在点（1，）处的切线方程；（3）求证：对任意的正数与，恒有解：（1）单调增区间 ，单调减区间 4分 （2）切线方程为 8分（3）所证不等式等价为 9分而，设则，由（1）
13、结论可得，由此，所以即，记代入得证。 12分21（12分）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物产量(kg)300500概率0.50.5作物市场价格(元/kg)610概率0.40.6（1）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；（2）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率解：（1）设A表示事件“作物产量为300 kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，由题设知P(A)0.5，P(B)0.4，利润产量市场价格成本，X所有可能的取值为5001
14、010004000，500610002000，3001010002000，30061000800 2分，X的分布列为X40002000800P0.30.50.26分（2）设Ci表示事件“第i季利润不少于2000元”(i1，2，3)，由题意知C1，C2，C3相互独立，由（1）知，P(Ci)P(X4000)P(X2000)0.30.50.8(i1，2，3)，3季的利润均不少于2000元的概率为P(C1C2C3)P(C1)P(C2)P(C3)0.830.512；8分3季中有2季的利润不少于2000元的概率为， 10分这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为0.5120.3840.896 12
15、分22.（12分）22.（12分）已知函数(1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求a的取值范围。 解：(1)f(x)(x1)ex2a(x1)(x1)(ex2a) 1分设a0，则当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0.所以f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增 3分 设a0，由f(x)0得x1或xln(2a)若a，则f(x)(x1)(exe)， 所以f(x)在(，)上单调递增 4分若a，则ln(2a)1，故当x(，ln(2a)(1，)时，f(x)0；当x(ln(2a)，1)时，f(x)0.所以f(x)在(，ln(2a)，(1，)上单调递增，在(ln(2a)，1)上
16、单调递减 5分若a，则ln(2a)1，故当x(，1)(ln(2a)，)时，f(x)0；当x(1，ln(2a)时，f(x)0.所以f(x)在(，1)，(ln(2a)，)上单调递增， 在(1，ln(2a)上单调递减 6分(2)设a0，则由(1)知，f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增又f(1)e，f(2)a，取b满足b0且bln ，则f(b)(b2)a(b1)2a0，所以f(x)有两个零点 8分设a0，则f(x)(x2)ex，所以f(x)只有一个零点 9分设a0，若a，则由(1)知，f(x)在(1，)上单调递增又当x1时，f(x)0，故f(x)不存在两个零点；若a，则由(1)知，f(x)在(1，ln(2a)上单调递减，在(ln(2a)，)上单调递增又当x1时，f(x)0，故f(x)不存在两个零点 11分 综上，a的取值范围为(0，) 12分