资源描述
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数学建模
摘要
本文用层次分析法，得出了解决交通堵塞应采用建立人行天桥的方案。先建立层次结构模型，分三层，第一层为目标层( O) ,第二层为准则层( C) ,第三层为方案层( P)，根据层次结构模型构造判断矩阵。用MATLAB求出第2层对第一层的权向量W1，第三层对第二层的组合权向量W2，组合权项量 W=W1*W2，最后得出W= 0.4587 0.2984 0.2429可知第一方案为最优方案。
一、问题的重述
某市中心有一商场，由于附近的行人和车辆流量过大，经常造成交通堵塞，政府组织了专家会商研究拟定了五个评价标准和三个方案，评价标准为：B1：通车能力；B2：方便群众；B3：费用不宜过高B4：交通安全；B5：市容美观；方案为：C1:在商场附近建一人行天桥；C2：在商场附近建一地下人行通道；C3：搬迁商场；我们需根据这五个评价标准和三个方案，用层次分析法以改善市中心的交通环境为目标，进行模型的建立与分析，选出最优的解决方案。
二、模型假设
1. 假设只根据所提的五个评价准则，不考虑其他条件。
2. 假设题中的三个方案是合理的，不考虑其他方案。
3. 假设评价准则的重要性判断是合理的。
符号的定义：
1. B1：通车能力成对比较矩阵
2. B2：方便群众成对比较矩阵
3. B3：费用不宜过高成对比较矩阵
4. B4：交通安全成对比较矩阵
5. B5：市容美观对比较矩阵
6. P：总体比较矩阵
7. CIx：一致性指标 (x=1…5)
8. RIx: 随机一致性指标 (x=1…5)
9. CRx:总体一致性比率 (x=1…5)
10. ZB:总体一致性比率矩阵
11. W1：权向量（特征向量）
12. W2：第2层对第一层的权向量
13. ZC: 一致性指标矩阵
14. ZR：随机一致性指标矩阵
三、模型的建立与求解
(一)建立层次结构模型
问题的层次结构共分三层:
第一层为目标层( O) ,第二层为准则层( C) ,第三层为方案层( P) 。
方案层
准则层
目标层DQWOOOOOOO
C2
C1
C3
方便群众
通车能力
交通安全
费用不宜过高
市容美观
改善市中心的交通环境
（二）构造成对比较矩阵
按照层次结构，将每一层元素以相邻上一层元素为准则，进行成对比较并按1-9的标度方法构造判断矩阵。
准则层对目标层的成对比较矩阵 P=
通车能力B1=115446521
方便群众B2=1251/2121/51/21
费用不宜过高B3=1581/5131/83/81
交通安全B4=11/21211111
市容美观B5=11/31/5311/2521
（三）求组合权向量W
1、先求出第2层对第一层的权向量W1
因为一致性指标公式为
CI =λmax – n/n - 1
其中n和λ分别为矩阵的阶数和最大特征值
N=5 用MATLAB求P的最大特征值λmax [S,T]=eig(p),pmax=T(1,1)
得出λmax= 5.2538
用MATLAB求,CI=(pmax-5)/(5-1) 得CI = 0.0634
随机一致性指标RI查表得RI=1.12
用MATLAB求CR=CI/RI CR = 0.0566
用MATLAB求W1 W1=[S(:,1)/sum(S(:,1))]得
W1 = 0.2353 0.2353 0.0590 0.3294 0.1412
2、求第三层对第二层的组合权向量W2
第三层对第二层计算结果
K
1 2 3 4 5
WK
0.7393 0.5954 0.7393 0.2599 0.1095
0.1831 0.2764 0.1831 0.4126 0.3090
0.0775 0.1283 0.0775 0.3275 0.5816
λK
3.0037 3.0055 3.0776 3.0536 3.0037
CIK
0.0018 0.0028 0.0388 0.0268 0.0018
用MATLAB求W2
W2=[S1(:,1)/sum(S1(:,1)),S2(:,1)/sum(S2(:,1)),S3(:,1)/sum(S3(:,1)),S4(:,1)/sum(S4(:,1)),S5(:,1)/sum(S5(:,1))]
W2 =0.7393 0.5954 0.7393 0.2599 0.1095
0.1831 0.2764 0.1831 0.4126 0.3090
0.0775 0.1283 0.0775 0.3275 0.5816
3、组合权项量 W=W1*W2
用MATLAB求的
W=
0.4587
0.2984
0.2429
第一项的组合权向量最大，故选择第一方案。
(四)单项一致性检验
用MATLAB进行检验
p=[1 1 5 5/7 5/3;1 1 5 5/7 5/3;1/3 1/3 1 1/7 1/3;7/5 7/5 7 1 7/3;3/5 3/5 3 3/7 1]
>> [S,T]=eig(p),pmax=T(1,1),CI=(pmax-5)/(5-1),RI=1.12,CR=CI/RI
CR =0.0566
B1=[1 1 5;1 1 6;1/5 1/6 1]
B2=[1 2 5;1/2 1 2;1/5 1/2 1]
B3=[1 5 8;1/5 1 3;1/8 3/8 1]
B4=[1 1/2 1;2 1 1;1 1 1]
B5=[1 1/3 1/5;3 1 1/2;5 2 1]
[S1,T1]=eig(B1),B1max=T1(1,1),CI1=(B1max-3)/(3-1),RI1=0.58,CR1=CI1/RI1
[S2,T2]=eig(B2),B2max=T2(1,1),CI2=(B2max-3)/(3-1),RI2=0.58,CR2=CI2/RI2
[S3,T3]=eig(B3),B3max=T3(1,1),CI3=(B3max-3)/(3-1),RI3=0.58,CR3=CI3/RI3
[S4,T4]=eig(B4),B4max=T4(1,1),CI4=(B4max-3)/(3-1),RI4=0.58,CR4=CI4/RI4
[S5,T5]=eig(B5),B5max=T5(1,1),CI5=(B5max-3)/(3-1),RI5=0.58,CR5=CI5/RI5
ZB =
0.0032 0.0048 0.0669 0.0462 0.0032
得出所有的值小于0.1通过一致性检验
（四）总体一致性检验
>> W1=[S(:,1)/sum(S(:,1))]
>> ZC=[CI1,CI2,CI3,CI4,CI5],ZR=[RI1,RI2,RI3,RI4,RI5]
>> a=ZC*W1,b=ZR*W1,CR=a/b
CR =
0.0219
得出CR的值小于0.1，总体通过一致性检验
>> W1=[S(:,1)/sum(S(:,1))]
W2=[S1(:,1)/sum(S1(:,1)),S2(:,1)/sum(S2(:,1)),S3(:,1)/sum(S3(:,1)),S4(:,1)/sum(S4(:,1)),S5(:,1)/sum(S5(:,1))]
>> W=W2*W1
W =
0.4587
0.2984
0.2429
得出第一方案的值最大，故选第一方案。
四、模型的评价与推广
该模型利用层次分析法对三个方案进行评价，得出解决市中心交通堵塞的最佳方案应为建立人行天桥。
从该模型中我们可以了解到层次分析法对于多目标问题的决策能提供比较有效的定量依据。
模型的不足在于主观因素太强，如果能对方案的准则进行一定的数据统计，应该能得出更加准确的结果。
五、参考文献
1. 韩中庚合理分配住房的方案及模型 1997 ,27 : (2)
2. 常志勇 层次分析模型 http://www.docin.com/p-76398963.html 2011.4.19
附录：MATLAB 计算过程
MATLAB计算
单项一致性检验
p=[1 1 5 5/7 5/3;1 1 5 5/7 5/3;1/3 1/3 1 1/7 1/3;7/5 7/5 7 1 7/3;3/5 3/5 3 3/7 1]
p =
1.0000 1.0000 5.0000 0.7143 1.6667
1.0000 1.0000 5.0000 0.7143 1.6667
0.3333 0.3333 1.0000 0.1429 0.3333
1.4000 1.4000 7.0000 1.0000 2.3333
0.6000 0.6000 3.0000 0.4286 1.0000
>> [S,T]=eig(p),pmax=T(1,1),CI=(pmax-5)/(5-1),RI=1.12,CR=CI/RI
S =
-0.4777 -0.4725 -0.4453 -0.0040 0.3838
-0.4777 0.4725 -0.4453 0.0040 -0.3838
-0.1198 -0.1890 0.3788 -0.1930 0.1928
-0.6687 0.6614 -0.6234 -0.5481 -0.7801
-0.2866 0.2835 -0.2672 0.8138 -0.2440
T =
5.2538 0 0 0 0
0 0.0000 0 0 0
0 0 -0.2538 0 0
0 0 0 -0.0000 0
0 0 0 0 0.0000
pmax =
5.2538
CI =
0.0634
RI =
1.1200
CR =
0.0566
B1=[1 1 5;1 1 6;1/5 1/6 1]
B1 =
1.0000 1.0000 5.0000
1.0000 1.0000 6.0000
0.2000 0.1667 1.0000
[S1,T1]=eig(B1),B1max=T1(1,1),CI1=(B1max-3)/(3-1),RI1=0.58,CR1=CI1/RI1
S1 =
-0.6797 -0.3398 - 0.5886i -0.3398 + 0.5886i
-0.7223 0.7223 0.7223
-0.1279 -0.0640 + 0.1108i -0.0640 - 0.1108i
T1 =
3.0037 0 0
0 -0.0018 + 0.1053i 0
0 0 -0.0018 - 0.1053i
B1max =
3.0037
CI1 =
0.0018
RI1 =
0.5800
CR1 =
0.0032
B2=[1 2 5;1/2 1 2;1/5 1/2 1]
B2 =
1.0000 2.0000 5.0000
0.5000 1.0000 2.0000
0.2000 0.5000 1.0000
[S2,T2]=eig(B2),B2max=T2(1,1),CI2=(B2max-3)/(3-1),RI2=0.58,CR2=CI2/RI2
S2 =
-0.8902 -0.8902 -0.8902
-0.4132 0.2066 + 0.3578i 0.2066 - 0.3578i
-0.1918 0.0959 - 0.1661i 0.0959 + 0.1661i
T2 =
3.0055 0 0
0 -0.0028 + 0.1290i 0
0 0 -0.0028 - 0.1290i
B2max =
3.0055
CI2 =
0.0028
RI2 =
0.5800
CR2 =
0.0048
>> B3=[1 5 8;1/5 1 3;1/8 3/8 1]
B3 =
1.0000 5.0000 8.0000
0.2000 1.0000 3.0000
0.1250 0.3750 1.0000
>> [S3,T3]=eig(B3),B3max=T3(1,1),CI3=(B3max-3)/(3-1),RI3=0.58,CR3=CI3/RI3
S3 =
0.9657 0.9654 0.9654
0.2392 -0.1385 + 0.2005i -0.1385 - 0.2005i
0.1013 -0.0388 - 0.0849i -0.0388 + 0.0849i
T3 =
3.0776 0 0
0 -0.0388 + 0.3350i 0
0 0 -0.0388 - 0.3350i
B3max =
3.0776
CI3 =
0.0388
RI3 =
0.5800
CR3 =
0.0669
>> B4=[1 1/2 1;2 1 1;1 1 1]
B4 =
1.0000 0.5000 1.0000
2.0000 1.0000 1.0000
1.0000 1.0000 1.0000
>> [S4,T4]=eig(B4),B4max=T4(1,1),CI4=(B4max-3)/(3-1),RI4=0.58,CR4=CI4/RI4
S4 =
0.4425 -0.2212 + 0.3832i -0.2212 - 0.3832i
0.7024 0.7024 0.7024
0.5575 -0.2788 - 0.4828i -0.2788 + 0.4828i
T4 =
3.0536 0 0
0 -0.0268 + 0.4038i 0
0 0 -0.0268 - 0.4038i
B4max =
3.0536
CI4 =
0.0268
RI4 =
0.5800
CR4 =
0.0462
>> B5=[1 1/3 1/5;3 1 1/2;5 2 1]
B5 =
1.0000 0.3333 0.2000
3.0000 1.0000 0.5000
5.0000 2.0000 1.0000
>> [S5,T5]=eig(B5),B5max=T5(1,1),CI5=(B5max-3)/(3-1),RI5=0.58,CR5=CI5/RI5
S5 =
-0.1640 0.0820 + 0.1420i 0.0820 - 0.1420i
-0.4629 0.2314 - 0.4008i 0.2314 + 0.4008i
-0.8711 -0.8711 -0.8711
T5 =
3.0037 0 0
0 -0.0018 + 0.1053i 0
0 0 -0.0018 - 0.1053i
B5max =
3.0037
CI5 =
0.0018
RI5 =
0.5800
CR5 =
0.0032
>> ZB=[CR1,CR2,CR3,CR4,CR5]
ZB =
0.0032 0.0048 0.0669 0.0462 0.0032
总体一致性检验
>> W1=[S(:,1)/sum(S(:,1))]
W1 =
0.2353
0.2353
0.0590
0.3294
0.1412
>> ZC=[CI1,CI2,CI3,CI4,CI5],ZR=[RI1,RI2,RI3,RI4,RI5]
ZC =
0.0028 0.0028 0.0388 0.0268 0.0018
ZR =
0.5800 0.5800 0.5800 0.5800 0.5800
>> a=ZC*W1,b=ZR*W1,CR=a/b
a =
0.0127
b =
0.5800
CR =
0.0219
排序
>> W1=[S(:,1)/sum(S(:,1))]
W1 =
0.2353
0.2353
0.0590
0.3294
0.1412
>> W2=[S1(:,1)/sum(S1(:,1)),S2(:,1)/sum(S2(:,1)),S3(:,1)/sum(S3(:,1)),S4(:,1)/sum(S4(:,1)),S5(:,1)/sum(S5(:,1))]
W2 =
0.7393 0.5954 0.7393 0.2599 0.1095
0.1831 0.2764 0.1831 0.4126 0.3090
0.0775 0.1283 0.0775 0.3275 0.5816
>> W=W2*W1
W =
0.4587
0.2984
0.2429
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