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第二十一章 《一元二次方程》
一、知识结构：
一元二次方程
二、考点精析
考点一、概念
(1)定义：①只含有一个未知数，并且②未知数的最高次数是2，这样的③整式方程就是一元二次方程。
(2)一般表达式：
⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”：
①该项系数不为“0”；
②未知数指数为“2”；
③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
典型例题：
例1下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A B
C D
变式：当k 时，关于x的方程是一元二次方程。
例2方程是关于x的一元二次方程，则m的值为 。
针对练习：
★1、方程的一次项系数是 ，常数项是 。
★2、若方程是关于x的一元一次方程，
⑴求m的值；⑵写出关于x的一元一次方程。
★★3、若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 。
★★★4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ）
A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1
考点二、方程的解
⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用：利用根的概念求代数式的值；
典型例题：
例1、已知的值为2，则的值为 。
例2、关于x的一元二次方程的一个根为0，则a的值为 。
例3、已知关于x的一元二次方程的系数满足，则此方程
必有一根为 。
例4、已知是方程的两个根，是方程的两个根，
则m的值为 。
针对练习：
★1、已知方程的一根是2，则k为 ，另一根是 。
★2、已知关于x的方程的一个解与方程的解相同。
⑴求k的值； ⑵方程的另一个解。
★3、已知m是方程的一个根，则代数式 。
★★4、已知是的根，则 。
★★5、方程的一个根为（ ）
A B 1 C D
★★★6、若 。
考点三、解法
⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法
⑵关键点：降次
类型一、直接开方法：
※※对于，等形式均适用直接开方法
典型例题：
例1、解方程： =0;
例2、若，则x的值为 。
针对练习：下列方程无解的是（ ）
A. B. C. D.
类型二、因式分解法:
※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，
※方程形式：如， ，
典型例题：
例1、的根为（ ）
A B C D
例2、若，则4x+y的值为 。
变式1： 。
变式2：若，则x+y的值为 。
变式3：若，，则x+y的值为 。
例3、方程的解为（ ）
A. B. C. D.
针对练习：
★1、下列说法中：
①方程的二根为，，则
② . ③
④
⑤方程可变形为
正确的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
★2、以与为根的一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
★★3、⑴写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数：
⑵写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数：
★★4、若实数x、y满足，则x+y的值为（ ）
A、-1或-2 B、-1或2 C、1或-2 D、1或2
5、方程：的解是 。
类型三、配方法
※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式
的值或极值之类的问题。
典型例题：
例1、 试用配方法说明的值恒大于0。
例2、 已知x、y为实数，求代数式的最小值。
例3、 已知为实数，求的值。
例4、 分解因式：
针对练习：
★★1、试用配方法说明的值恒小于0。
★★2、已知，则 .
★★★3、若，则t的最大值为 ，最小值为 。
类型四、公式法
⑴条件：
⑵公式： ,
典型例题：
例1、选择适当方法解下列方程：
⑴ ⑵ ⑶
⑷ ⑸
例2、在实数范围内分解因式：
（1）； （2）. ⑶
说明：①对于二次三项式的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，
一般情况要用求根公式，这种方法首先令=0，求出两根，再写成
=.
②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.
类型五、 “降次思想”的应用
⑴求代数式的值； ⑵解二元二次方程组。
典型例题：
例1、 已知，求代数式的值。
例2、如果，那么代数式的值。
例3、已知是一元二次方程的一根，求的值。
例4、用两种不同的方法解方程组
说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：①先消元，再降次；②先降次，再
消元。但都体现了一种共同的数学思想——化归思想，即把新问题转化归结为我们已
知的问题.
考点四、根的判别式
根的判别式的作用：
①定根的个数；
②求待定系数的值；
③应用于其它。
典型例题：
例1、若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 。
例2、关于x的方程有实数根，则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
例3、已知关于x的方程
(1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根；
(2)若等腰ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC的周长。
例4、已知二次三项式是一个完全平方式，试求的值.
例5、为何值时，方程组有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？
针对练习：
★1、当k 时，关于x的二次三项式是完全平方式。
★2、当取何值时，多项式是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？
★3、已知方程有两个不相等的实数根，则m的值是 .
★★4、为何值时，方程组
（1）有两组相等的实数解，并求此解；
（2）有两组不相等的实数解；
（3）没有实数解.
★ ★★5、当取何值时，方程的根与均为有理数？
考点五、方程类问题中的“分类讨论”
典型例题：
例1、关于x的方程
⑴有两个实数根，则m为 ,
⑵只有一个根，则m为 。
例2、 不解方程，判断关于x的方程根的情况。
例3、如果关于x的方程及方程均有实数根，问这两方程
是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k的值；若没有，请说明理由。
考点六、应用解答题
⑴“碰面”问题；⑵“复利率”问题；⑶“几何”问题；
⑷“最值”型问题；⑸“图表”类问题
典型例题：
1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯990次，问晚宴共有多少人出席？
2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了90张，那么这个小组共多少人？
3、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场，根据计划，第一年投入资金600万元，第二年比第一年减少，第三年比第二年减少，该产品第一年收入资金约400万元，公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收回，还要盈利，要实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多少？（结果精确到0.1，）
4、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对此回答：
（1）当销售价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。
（2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，
销售单价应定为多少？
5、将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。
（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？
（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不
能，请说明理由。
（3）两个正方形的面积之和最小为多少？
6、A、B两地间的路程为36千米.甲从A地，乙从B地同时出发相向而行，两人相遇后，甲再走2小时30分到达B地，乙再走1小时36分到达A地，求两人的速度.
考点七、根与系数的关系
⑴前提：对于而言，当满足①、②时，
才能用韦达定理。
⑵主要内容：
⑶应用：整体代入求值。
典型例题：
例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程的两根，则这个直角三
角形的斜边是（ ）
A. B.3 C.6 D.
例2、已知关于x的方程有两个不相等的实数根，
（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不
存在，请说明理由。
例3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错
常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。你知道
原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？
例4、已知，，，求 。
变式：若，，则的值为 。
例5、已知是方程的两个根，那么 .
针对练习：
1、解方程组
2．已知，，求的值。
3、已知是方程的两实数根，求的值。
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