资源描述
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圆的知识点复习
知识点1 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
题型
1. 在直径为1000mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，
若油面宽AB＝800mm，则油的最大深度为 mm.
2. 如图，在△ABC中，∠C是直角，AC=12，BC=16，以C为圆心，AC为半径的圆交斜边AB于D，求
AD的长。
C
B
D
A
3. 如图，弦AB垂直于⊙O的直径CD，OA=5，AB=6，求BC长。
4. 如图所示，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于M，CD=15cm，OM：OC=3：5，求弦AB的长。
知识点2 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
弦心距：过圆心作弦的垂线，圆心与垂足之间的距离叫弦心距。
定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角度数相等，所对的弦相等。
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角度数相等，所对的弧相等。
题型
1. 如果两条弦相等，那么（ ）
A．这两条弦所对的弧相等 B．这两条弦所对的圆心角相等
C．这两条弦的弦心距相等 D．以上答案都不对
2.下列说法正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等 B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等
C．相等的弦所对的圆心到弦的距离相等 D．圆心到弦的距离相等，则弦相等
3. 线段AB是弧AB 所对的弦，AB的垂直平分线CD分别交 弧AB、AC于C、D，AD的垂直平分线EF分别 交弧AB、AB于E、F，DB的垂直平分线GH分别交弧AB、AB于G、H，则下面结论不正确的是（ ）
A．弧AC=弧CB B.弧EC=弧CG C.EF=FH D.弧AE=弧EC
4. 弦心距是弦的一半时，弦与直径的比是________，弦所对的圆心角是_____.
5. 如图，AB为⊙O直径，E是中点，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，则AC=_____.
6. 如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE=3，则弦CE=________．
7. 如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，弧AD=弧BC, 求证：AB=CD。
8. 如图，BC为⊙O的直径，OA是⊙O的半径，弦BE∥OA, 求证：AC=AE。
第5题图 第6题图 第7题图 第8题图
知识点3 圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
推论
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径。
圆内接四边形性质：
圆内接四边形的对角互补。
题型
1. 下列说法正确的是（ ）
A．顶点在圆上的角是圆周角 B．两边都和圆相交的角是圆周角
C．圆心角是圆周角的2倍 D．圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半
2．下列说法错误的是（ ）
A．等弧所对圆周角相等 B．同弧所对圆周角相等
C．同圆中，相等的圆周角所对弧也相等． D．同圆中，等弦所对的圆周角相等
3. 已知⊙O是△ABC的外接圆，若∠A=80，则∠BOC的度数为（ ）
A．40 B．80 C．160 D．120
4. 在半径为R的圆中有一条长度为R的弦，则该弦所对的圆周角的度数是( )
A.30 B.30或150 C.60 D.60或120
5. △ABC三个顶点A、B、C都在⊙O上,点D是AB延长线上一点,∠AOC=140, ∠CBD 的度数是( )
A.40 B.50 C.70 D.110
第8题图
6.等边三角形ABC的三个顶点都在⊙O上,D是弧AC上任一点(不与A、C重合),则∠ADC的度数是 ________。
7. ⊙O中，若弦AB长2cm，弦心距为cm，
则此弦所对的圆周角等于 。
8. 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上， 若∠B=60，
则∠A等于_________。
9. 如图,在⊙O中,AB是直径,CD是弦,AB⊥CD.
(1)P是弧CAD上一点(不与C、D重合),试判断
∠CPD与∠COB的大小关系, 并说明理由.
(2)点P′在劣弧CD上(不与C、D重合时),
∠CP′D与∠COB有什么数量关系?请证明你的结论。
9. 如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4），M是圆上一点
∠BMO=120。
（1）求证：AB为⊙C直径。
（2）求⊙C的半径及圆心C的坐标。
第9题图
11. 如图，⊙O的直径AB=8cm，∠CBD=30，求弦DC的长。
第10题图 第11题图 第12题图
12. 如图，A、B、C、D四点都在⊙O上，AD是⊙O的直径，且AD=6cm，若∠ABC=∠CAD，
求弦AC的长。
24.2 点、直线、圆和圆的位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系
知识点1 点和圆的位置关系
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则：
（1）点P在圆外 d>r
（2）点P在圆上 d=r
（3）点P在圆外 dr
题型
1. 在平面直角坐标系中，以点（2,1）为圆心，1为半径的圆，必与（ ）
A. x轴相交 B. y轴相交 C. x轴相切 D. y轴相切
2. 已知⊙O的半径为5 cm,直线l上有一点Q且OQ =5cm,则直线l与⊙O的位置关系是( )
A、相离 B、相切 C、相交 D、相切或相交
3. 已知圆的半径等于10厘米，直线和圆只有一个公共点，则圆心到直线的距离是________。
4. 等边三角形ABC的边长为2，则以A为圆心，半径为1.73的圆与直线BC的位置关系是________；以A为圆心，__________为半径的圆与直线BC相切。
5. 已知⊙O的直径为10cm。
（1）若直线l与⊙O相交，则圆心O到直线l的距离为______；
（2）若直线l与⊙O相切，则圆心O到直线l的距离为______；
（3）若直线l与⊙O相离，则圆心O到直线l的距离为______。
6.. 如图，⊙M与x轴相交于点A（2，0），
B（8，0），与y轴相切于点C，
求圆心M的坐标．
知识点3
切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
题型
1．命题：“圆的切线垂直于经过切点的半径”的逆命题是（ ）
A.经过半径的外端点的直线是圆的切线 B.垂直于经过切点的半径的直线是圆的切线
C.垂直于半径的直线是圆的切线 D.经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
2. 如图，BC是⊙O直径，P是CB延长线上一点，PA切⊙O于A，若PA＝，OB＝1，则∠APC等于（ ）
A. 150 B.300 C.450 D.600
3. 如图，线段AB过圆心O，交⊙O于点A、C，∠B＝300，直线BD与⊙O切于点D，则∠ADB的度数是（ ）
A.1500 B.1350 C.1200 D.1000
4.如图，⊙的直径与弦的夹角为，切线与的延长线交于点，若⊙的半径为3， 则的长为（ ）
A.6 B. C.3 D.
5. PA是⊙O的切线，切点为A，PA=，∠APO=30，则⊙O的半径长为_______．
6. 如图，直线AB与⊙O相切于点B，BC是⊙O的直径，AC交⊙O于点D，连结BD，则图中直角三角形有 ______个．
第2题图 第3题图 第4题图 第6题图
7. 如图，∠PAQ是直角，⊙O 与AP相切于点T，与AQ交于B、C两点.
（1）BT是否平分∠OBA？说明你的理由；
（2） 若已知AT＝4，弦BC＝6，试求⊙O 的半径R.
8. 如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，点C在圆上，∠CAB=30，
求证：DC是⊙O的切线。
9. 在Rt△ABC中，∠B=90，∠A的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D。
试说明：C是⊙D的切线。
E
F
B
O
C
A
.
A
B
D
C
O
第7题图 第8题图 第9题图 第10题图
10. 已知直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，以腰DC的中点 E 为圆心的圆与 AB 相切，梯形的上底 AD与底 BC 是方程 －10x + 16 = 0的两根，求 ⊙E 的半径 r 。
11. 如图，△ABC内接于⊙O ，直线EF经过 B 点，∠CBF ＝∠A。
求证：EF 是⊙O 的切线。
第11题图
O
A
B
E
D
C
12. 如图，Rt△ABC中，∠B＝90，O是AB上的一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E， 交AC于点D，其中DE∥OC。
（1）求证：AC为⊙O的切线。
（2）若AD＝2，且AB、AE的长是关于x的
方程x2－8x＋k＝0的两个实数根，求⊙O的半径、CD的长。
A
B
C
O
G
F
D
E
13. 如图，等腰△ABC中，AC＝BC＝10，AB＝12，以BC为 第12题图
直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为
F，交CB的延长线于点E。
（1）求证：直线EF是⊙O的切线。 第13题图
（2）求DF、DE的长。.
A
B
C
D
E
M
14. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90，CD⊥AB于D，以
CD为半径作⊙C与AE切于点E，过点B作BM∥AE。
（1）求证：BM是⊙C的切线。 第14题图
A
B
D
E
C
O
（2）作DF⊥BC于F，若AB＝16，∠DBM＝60，求EF的长。
15. 如图，AB为⊙O的直径，D为的中点，DC⊥AE
交AE的延长线于C。
（1）求证：CD是⊙O的切线。
（2）若CE＝1，CD＝2，求⊙O的半径。 第15题图
O
B
A
C
D
E
16. 如图，钝角△ABC，CD⊥AC，BE平分∠ABC交
AC于E，且∠CEB＝45，以AD为直径作⊙O。
（1）求证：BC是⊙O的切线。
(2）若⊙O直径为10，AC＝BC，求△ABC的周长。 第16题图
17. 如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，
若∠MAC＝∠ABC．
（1）求证：MN是半圆的切线。
（2）设D是弧AC的中点，连结BD交AC 于G，
过D作DE⊥AB于E，交AC于F．求证：FD＝FG。 第17题图
知识点4
切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
题型
1. 如图，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，OP交⊙O于C，下列结论错误的是（ ）
A. ∠1=∠2 B.PA＝PB C.AB⊥OP D.
2. 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点是A、B. 如果OP＝4，，那么∠AOB等于（ ）
A. 90 B. 100 C. 110 D. 120
3. 从圆外一点向半径为9的圆作切线，已知切线长为18，从这点到圆的最短距离为（ ）
A．9 B．9（-1） C．9（-1） D．9
4. 有圆外一点P，PA、PB分别切⊙O于A、B，C为优弧AB上一点，若∠ACB=a，则∠APB=（ ）
A．180- B．90- C．90+ D．180-2
5. 一个钢管放在V形架内，如图是其截面图，O为钢管的圆心．如果钢管的半径为25cm，∠MPN＝60，则OP＝( )
A．50cm B．25cm C．cm D．50cm
第1题图 第2题图 第5题图 第6题图
6. 如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，并与⊙O的切线分别相交于C、D，已知PA=7cm，则△PCD的周长等于_________。
7. 如图，已知为的直径，是的切线，为切点，.
（1）求的大小。（2）若，求的长（结果保留根号）。
第7题图 第8题图
8. 如图，的直径和是它的两条切线，切于E，交AM于D，交BN于C。设。
（1）求证： （2）求关于的关系式
9.如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（-3，-2），⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则当PQ最小时，求P点的坐标是多少？
第9题图 第10题图
10. 如图，△ABC中，∠C＝90，AC＝8cm，AB＝10cm，点P由点C出发以每秒2cm的速度沿CA向点A运动（不运动至A点），⊙O的圆心在BP上，且⊙O分别与AB、AC相切，当点P运动2秒钟时，求⊙O的半径。
11. 已知：∠MAN=30，O为边AN上一点，以O为圆心、2为半径作⊙O ，交AN于D、E两点，设AD=.
⑴ 如图⑴当取何值时，⊙O与AM相切；
M
A
N
E
D
O
图（1）
．
M
A
N
E
D
B
C
O
图（2）
⑵ 如图⑵当为何值时，⊙O与AM相交于B、C两点，且∠BOC=90。
知识点5
内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
内心：内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。
题型
1. 已知△ABC的内切圆O与各边相切于D、E、F，那么点O是△DEF的（ ）
A．三条中线交点 B．三条高的交点
C．三条角平分线交点 D．三条边的垂直平分线的交点
2. 如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C＝900，AO的延长
线交BC于点D，AC＝4，CD＝1，则⊙O的半径等于（ ）
A. B.
C. D.
3. 如图，⊙O内切于△ABC，切点为D、E、F，
若∠B＝500，∠C＝600，连结OE、OF、DE、DF，
则∠EDF等于（ ）
A.450 B.550
C.650 D.700
4. 直角三角形有两条边是2，则其内切圆的半径是__________。
5. 某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，如图，现准备在其中建一小亭供人们小憩，使小亭中心到三
条马路的距离相等，试确定小亭的中心位置。
6. 如图，Rt△ABC 的两条直角边长分别为5和12，则△ABC 的内切圆到半径为多少？
7. 等腰三角形的腰长为13cm，底边长为10 cm，求它的内切圆的半径。
F
A
B
C
D
E
5
O
8. 如图，在Rt△ABC中，．求△ABC的内切圆半径。
第5题图 第6题图 第8题图
24.3 正多边形和圆
知识点1 正多边形和圆的关系
定理1：把圆分成n（n≥3）等份，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形。
定理2：经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正多边形。
知识点2 正多边形有关概念
正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心。
正多边形的半径：正多边形的外接圆的半径叫做正多边形的半径。
正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
正多边形的中心角：正多边形的每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。
知识点3 正多边形的有关角
1. 正多边形的中心角都相等，中心角= （n为正多边形的边数）
2. 正多边形的每个外角= （n为正多边形的边数）
题型
1. 以下有四种说法：①顺次连结对角线相等的四边形各边中点，则所得的四边形是菱形；②等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形；③顶点在圆周上的角是圆周角；④边数相同的正多边形都相似，其中正确的有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D 4个
2. 以下说法正确的是
A．每个内角都是120的六边形一定是正六边形 B．正n边形的对称轴不一定有n条
C．正n边形的每一个外角度数等于它的中心角度数
D．正多边形一定既是轴对称图形，又是中心对称图形
3. 正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是（ ）
A.互余 B.互补 C.互余或互补 D.不能确定
4. 若一个正多边形的每一个外角都等于36,那么这个正多边形的中心角为（ ）
A．36 B、 18 C．72 D．54
5. 将一个边长为a正方形硬纸片剪去四角，使它成为正n边形，那么正n边形的面积为（ ）
A.
6. 如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（ ）
A．60 B．45 C．30 D．22．5
7. ⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，弦AB的弦心距OF叫正五边形ABCDE
的________，它是正五边形ABCDE的________圆的半径。
8. 两个正六边形的边长分别是3和4，这两个正六边形的面积之比等于________。
9. 圆内接正方形的半径与边长的比值是________。
10. 圆内接正六边形的边长是8 cm，那么该正六边形的半径为________，边心距为________。
11. 圆内接正方形ABCD的边长为2，弦AE平分BC边，与BC交于F，则弦AE的长为__________。
12. 正方形的内切圆半径为r，这个正方形将它的外接圆分割出四个弓形，其中一个弓形的面积为_________。
13. 正多边形的一个内角等于它的一个外角的8倍，那么这个正多边形的边数是________。
14. 周长相等的正方形和正六边形的面积分别为和，则和的大小关系为__________。
15. 四边形ABCD为⊙O的内接梯形，AB∥CD，且CD为直径，如果⊙O的半径等于r，∠C=60，那么图中△OAB的边长AB是______，△ODA的周长是_______，∠BOC的度数是________。
16. 如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E在上，则∠BEC= 。
17. 如果正三角形的边长为a，那么它的外接圆的周长是内切圆周长的_______倍。
18. 分别求出半径为R的圆内接正三角形，正方形的边长，边心距和面积。
24.4 弧长和扇形面积
知识点1 计算公式
1. n的圆心角所对的弧长：l=
2. 扇形面积：（由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫扇形）
方法一： S扇形＝ 方法二：S扇形＝
题型
1. 如果扇形的半径是6，所含的弧长是5π，那么扇形的面积是 ( )
A.５π B.１０π
C.１５π D.３０π
2. 如果一条弧长等于，它的半径等于，这条弧所对的圆心角增加，则它的弧长增加（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
Ｑ
Ｏ
Ａ
Ｐ
Ｃ
Ｂ
3. 在半径为3的中，弦，则的长为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
4. 扇形的周长为，圆心角为，则扇形的面积是（ ）
Ａ．16 Ｂ．32 Ｃ．64 Ｄ． 第5题图
5. 如图，扇形的圆心角为，且半径为，分别以，为直径在扇形内作半圆，和分别表示两个阴影部分的面积，那么和的大小关系是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．无法确定
.
6. 半径为的圆中，的圆周角所对的弧的弧长为__________。
7. 半径为的圆中，长为的一条弧所对的圆心角的度数为__________。
8. 已知圆的面积为，若其圆周上一段弧长为，则这段弧所对的圆心角的度数为________。
9. 如图，是半圆的直径，以为圆心，为半径的半圆交于，两点，弦是小半圆的 切线，为切点，若，，则图中阴影部分的面积为__________。
Ｂ
Ｃ
Ａ
Ｏ
Ｅ
Ｆ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ａ
第9题图 第10题图 第11题图
10. 弯制管道时，先按中心线计算其“展直长度”，再下料．根据如图所示的图形可算得管道的展直长度为
。（单位：，精确到）
11. 如图，在Rt△中，，，，将△绕点旋转至△的位置，且使点，，三点在同一直线上，则点经过的最短路线长是 。
12. 已知：扇形的弧长为cm，面积为 cm2 ，求扇形弧所对的圆心角。
13. 有一正方形是以金属丝围成的，其边长，把此正方形的金属丝重新围成扇形的， 使，不变，问正方形面积与扇形面积谁大？大多少？由计算得出结果。
14. 如图，ACBD为夹在环形的两条半径之间的一部分，弧AD的长
为πcm，弧CB的长为2πcm，AC＝4cm，求这个图形的面积。
15. 已知如图，P是半径为R的⊙O外一点，PA切⊙O于A，PB切
⊙O于B，∠APB=60．求：夹在劣弧AB及PA，PB之间的阴影部分的面积。
16. 已知扇形OAB的面积为S，∠AOB=60．求扇形OAB的内切圆的面积。
17．若分别以线段CD的两个端点为圆心，CD长为半径的⊙C，⊙D相交于A，B．求证：分别以AB，CD为直径的两个圆的面积之和与⊙C的面积相等。
18．求证：圆心角为60的扇形的内切圆的面积，等于扇形面积的三分之二。
知识点2 圆锥
1. 圆锥的母线：连接圆锥的顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。
2. 圆锥的高：圆锥的顶点到底面圆的距离，即顶点与底面圆的圆心的连线的长是圆锥的高。
3. 圆锥的侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径为圆锥的母线，扇形弧长为底面圆的周长。
4. 圆锥的侧面积：圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长、半径为圆锥的一条母线的长的 扇形面积。
设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，扇形的圆心角为n，
5. 圆锥的全面积：圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积的和。
题型
1. 已知圆锥的高为，底面半径为2，则该圆锥侧面展开图的面积是（ ）
A．π B．2π C．π D．6π
2. 已知圆锥的底面半径为3 , 母线长为12 , 那么圆锥侧面展开图所成扇形的圆角为（ ）
A．180 B．120 C．90 D．135
3. 如果圆锥的高与底面直径相等 , 则底面面积与侧面积之比为（ ）
A．1∶ B．2∶ C．3∶2 D．2∶3
4. 边长为a的等边三角形 , 绕它一边上的高所在直线旋转180, 所得几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．π
5. 若底面直径为6cm的圆锥的侧面展开图的圆心角为216,则这个圆锥的高是（ ）cm。
A．8 B． C．6 D．4
6. 在一个边长为4cm正方形里作一个扇形(如图所示) , 再将这个扇形剪下卷成一个圆锥的侧面 , 则这 个圆锥的高为（ ）cm．
A． B． C． D．
7. 一个圆锥的高为cm，侧面展开图是一个半圆，则圆锥的全面积是（ ）
A．200πcm2 B．300πcm2 C．400π cm2 D．360πcm2
8. 一个圆锥形的烟囱帽的侧面积为2000πcm2，母线长为50cm，那么这个烟囱帽的底面直径为（ ）
A．80cm B．100cm C．40cm D．5cm
9. 圆锥的轴截面是一个等边三角形，则这个圆锥的底面积、侧面积、全面积的比是____________。
10. 一个扇形，半径为30cm，圆心角为120，用它做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的全面积为________。
11. 已知圆锥的母线长6 cm，底面半径为 3 cm，圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角是__________。
12. 一个圆锥的侧面展开图是圆心角为36的扇形，扇形面积为10 cm2，则这个圆锥的表面积是________。
13. 一个扇形，半径为30cm，圆心角为120，用它做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的全面积为________。
14. 一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm，圆心角为240的扇形，求这个圆锥的高。
15. 已知：一个圆锥的底半径 r=10cm，过轴的截面的顶角为60。求它的侧面展开图的圆心角的度数及侧面积。
16. 已知：一个圆锥的侧面展开图是半径为 20 cm，圆心角为120的扇形，求这圆锥的底半径和高。
17. 如图，一个圆柱的底面半径为40 cm，高为60 cm，从中挖去一个以圆柱上底为底、下底圆心为顶点的圆锥，得到一个几何体，求其全面积。
A
B
C
第17题
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