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1、精品名师归纳总结线性代数学问点总结第一章行列式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11a12a21a22列式 Dan1an2a12 a22a1n a2 na1n a2 nt p pp可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. n 阶行11 2n aaa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结annp1 p2pn1 p12 p 2npn2. 特殊行列式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11 0D1t 12na11a22anna11a22ann可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结00ann1
2、11n n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结212n ,2212n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结nn3. 行列式的性质a11a12a1 na11a 21a n1定义记 Da21a22a2 n ,TDa12a 22a n 2,行列式D T 称为行列式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an 1D 的转置行列式。an 2anna1 na 2 na nn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结性质 1行列式与它的转置行列式相等。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结性质 2互换行列式的两行rirj或列 cicj, 行列式变号 。可编辑
3、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推论假如行列式有两行（列）完全相同（成比例）,就此行列式为零。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结性质 3行列式某一行（列）中全部的元素都乘以同一数kr jk ,等于用数 k 乘此行列式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推论 1D 的某一行（列）中全部元素的公因子可以提到D 的外面 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推论 2D 中某一行（列）全部元素为零,就D =0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结性质 4如行列式的某一列（行）的元素都是两数之和,就a11 a21Da12 a22a1i a2
4、ia1i a2i a1n a2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an1an2a11a12a1ia1na11a12a1 ia1na21a22a2ia2na21a22a2ia2 nan1an 2aniannan1an2aniannaniani ann可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结性质 6把行列式的某一列 （行）的各元素乘以同一数然后加到另一列行对应的元素上去, 行列式的值不变。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结运算行列式常用方法：利用定义。利用运算rikrj 把行列式化为上三角形行列式,从可编辑资料 -
5、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结而算得行列式的值。4. 行列式按行（列）绽开可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结余子式在 n 阶行列式中,把元素aij所在的第 i 行和第 j 列划去后,留下来的n1 阶行列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结式叫做元素aij的余子式,记作M ij 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结代数余子式记Aijij1M ij,叫做元素aij的代数余子式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
6、名师归纳总结引理一个 n 阶行列式,假如其中第i 行全部元素除（ i,j） i ,j) 元外aij都为零,那么这可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结行列式等于aij与它的代数余子式的乘积,即Daij Aij 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（高阶行列式运算第一把行列上的元素尽可能多的化成0,保留一个非零元素,降阶）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理n 阶行列式Da11 a21a12 a22a1n a2 n等于它的任意一行（列）的各元素与其对应可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料
7、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an1an 2ann可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的代数余子式的乘积之和,即Dai 1Ai1ai 2 Ai 2ain Ain, i1,2, n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结或Da1j A1 ja2 j A2 janj Anj , j1,2, n 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结其次章矩阵1. 矩阵可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a11 a21Aam1a12 a22am1a1n a2 namn行
8、列式是数值,矩阵是数表,各个元素组成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方阵 ： 行数与列数都等于 n 的矩阵 A。 记作： An。行列 矩阵： 只有一行 列的矩阵。也称行 列向量。同型矩阵： 两矩阵的行数相等,列数也相等。相等矩阵： AB 同型 ,且对应元素相等。记作：A B 零矩阵： 元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同） 对角阵： 不在主对角线上的元素都是零。单位阵： 主对角线上元素都是1 ,其它元素都是 0,记作： E留意矩阵与行列式有本质的区分,行列式是一个算式, 一个数字行列式经过运算可求得其值,而矩阵仅仅是一个数表,它的行数和列数可以不同。2. 矩阵的运算可编辑资料
9、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结矩阵的加法ABa11 a21b11 b21a12 a22b12 b22a1n a2nb1n b2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结am1bm1am2bm2amnbmn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结说明只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算。矩阵加法的运算规律1 ABBA 。 2ABCABC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 设矩阵,m nAaij记Aaij m na11 a21am1a12 a22am1a1n a2 namn, A 称为矩阵 A可编辑资料
10、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结的 负矩阵可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4 AA0, ABAB 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数与矩阵相乘数 与矩阵A的乘积记作A或A, 规定为 AAa11 a21a12 a22a1n a2 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结am1am1amn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数乘矩阵的运算规律（设A、B 为 m n矩阵,为数）1AA 。 2AAA。 3ABAB 。矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师
11、归纳总结矩阵与矩阵相乘设 Bbij 是一个 ms矩阵, Bbij 是一个 sn 矩阵,那么规定矩可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结阵A与 矩阵B的 乘积 是 一个m n矩 阵 C ijc,其 中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ai1ai 2aisb1 jb2 jbsjai1b1 jai 2 b2 jais bsjsaik bkj , ik 11,2,m; j1,2, n ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结并把此乘积记作CAB留意1。A 与 B 能相乘的条
12、件是：A 的列数 B 的行数。2。矩阵的乘法不满意交换律,即在一般情形下,ABBA ,而且两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。3。对于 n 阶方阵 A 和 B,如 AB=BA,就称 A 与 B 是可交换的。矩阵乘法的运算规律1AB CA BC 。2ABA BAB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 A BCABAC , BC ABACA4Am n E nnE m mAm n Amn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5 如 A 是 n 阶方阵,就称Ak 为 A 的 k 次幂,即 AkA AA ,并且k个Am Akm k ,可
13、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AkAmAmkm, k为正整数 。规定： 0 E（只有方阵才有幂运算）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Ak留意矩阵不满意交换律,即ABBA , ABAk B k （但也有例外）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结转置矩阵把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵,叫做A 的转置矩阵,记作A ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结T1ATTA 。 2ABATBT 。 3A TAT 。 4AB TBT AT 。可编辑资
14、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方阵的行列式由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式,叫做方阵A 的行列式,记作A留意矩阵与行列式是两个不同的概念,n 阶矩阵是 n2 个数按肯定方式排成的数表,而 n阶行列式就是这些数按肯定的运算法就所确定的一个数。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 ATA 。 2An A 。 3 ABA BB ABA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对称阵设 A 为 n 阶方阵,假如满意A=AT ,那么 A 称为对称阵。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结相伴矩阵行 列 式 A的 各 个 元 素 的 代 数 余 子 式Aij
15、所 构 成 的 如 下 矩 阵可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A11 A12AA21 A22An1 An2称为矩阵 A 的相伴矩阵。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A1nA2nAnn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结性质AAA AA E （ 易忘学问点 ）总结（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算。（ 2）只有当第一个矩阵的列数等于其次个矩阵的行数时,两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满意交换律。（3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同。逆矩阵
16、：AB BA E,就说矩阵 A 是可逆的, 并把矩阵 B 称为 A 的逆矩阵。 即A 1B 。说明可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结-11 A , B 互为逆阵, A = B2 只对方阵定义逆阵。 （只有方阵才有逆矩阵）3. 如 A 是可逆矩阵,就A 的逆矩阵是唯独的。11*可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理 1矩阵 A 可逆的充分必要条件是A0 ,并且当 A 可逆时,有AA （重要 ）A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结奇特矩阵与非奇特矩阵当 A0 时, A 称为奇特矩阵,当A0 时, A 称为非奇
17、特矩可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结阵。即A可逆A为非奇特矩阵A0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 先求 | A| 并判定当*| A |0时逆阵存在。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求逆矩阵方法（2）求A 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3求 1A*| A |A 1。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结初等变换的应用：求逆矩阵： A | E 初等行变换E | A1
18、。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结逆矩阵的运算性质1111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1如A可逆 ,就A 亦可逆 ,且 AA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 如A可逆 ,数0, 就A可逆 ,且A11 A。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 如A, B为同阶方阵且均可逆, 就AB亦可逆 , 且 AB 1B 1A 1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结TT11 T4 如A可逆 ,就A 亦可逆 , 且 AA。5 如A可逆
19、 ,就有 A 1A 1 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 矩阵的初等变换初等行（列）变换可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 对调两行,记作rir j 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 以数 k0 乘以某一行的全部元素,记作rik) 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3 把某一行全部元素的k 倍加到另一行对应的元素上去,记作rikrj 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结初等列变换： 把初等行变换中的行变为列,即为
20、初等列变换, 所用记号是把 “ r”换成“ c”。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结矩阵等价假如矩阵A 经有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A 与B 等价。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结行阶梯形矩阵： 可画出一条阶梯线,线的下方全为零, 每个台阶只有一行, 台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖线 （每段竖线的长度为一行） 后面的第一个元素为非零元, 也是非零行的第一个非零元。 （非零行数及矩阵的秩）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21032031250004300000求矩阵 B的秩.RB=3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结行最简形矩
21、阵： 行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为1,且这些非零元所在的列的其他元素都为 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结标准型 ：对行最简形矩阵再施以初等列变换,可以变换为形如F ErO的矩阵,称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结OO m n为标准型。标准形矩阵是全部与矩阵A 等价的矩阵中外形最简洁的矩阵。初等变换的应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结初等行变换1A初等列变换E可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求逆矩阵： A | EE | A或 EA 1。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 矩阵的秩矩阵的秩任何矩阵 Am
22、 n ,总可以经过有限次初等变换把它变为行阶梯形,行阶梯形矩阵中非零行的行数是唯独确定的。（非零行的行数即为矩阵的秩）说明1. 矩阵 Am n,就 RAmimn,n;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. RA = RAT;3. RA r 的充分必要条件是至少有一个r 阶子式不为零 ;4. RA r 的充分必要条件是全部 r + 1 阶子式都为零 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结满秩和满秩矩阵矩阵Aaij,如m nR Am ,称 A 为行满秩矩阵。 如R An ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结称
23、A 为列满秩矩阵。如A为n阶方阵 ,且R An,就称A为满秩矩阵 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如 n阶方阵A满秩,即R A n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A0。A 1必存在。A为非奇特阵。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A必能化为单位阵En, 即A En .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结矩阵秩的求法定理 1矩阵 A 经过有限次行 列初等变换后其秩不变。即如A B,就 RA=RB。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推论如P、Q可逆,就R PAQR A可编辑资料
24、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结矩阵秩的性质总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10R Am nmin m, n 2 R AT RA 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(3) 如A B,就R AR B(4) 如P、Q可逆,就 RP AQR A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(5) max R A, R BR A, BR ARB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结特殊当Bb为非零列向量时,有
25、RAR A, bR A1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(6) 6R ABR AR B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(7) 7R ABminR A, RB.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(8) 8如Am n Bn lO,就R AR Bn.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(9) 设AB=O ,如A为列满秩矩阵,就 B=O（矩阵乘法的消去率） 。第三章1. n 维向量n 个数 a1,a2
26、, a,n 组成的一个有序数组a1,a2, a,n 称为一个 n 维向量 ,记为a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a2T列向量形式 或a , a, a （行向量形式） ,其中第 i 个数 a称为向量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.an的第 i 个重量。12ni可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结向量组如干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设矩阵A=aijm n 有 n个 m维列向量,即Aa11 a21am1a12 a22am2a1 ja 2 jamja1na2n,a mn可
27、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结向量组 a1,a2 ,an称为矩阵 A的列向量组 。同理,也可说矩阵A 有 m 个行向量组组成。向量,向量组,矩阵与方程组的关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结向量组矩阵： A 1,2,m 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结向量方程方程组：a11 a21x1a12 a22x2.a1mb1a2mb2xm,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an1an2anmbn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可简写
28、作1x12 x2n xn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结向量方程方程组矩阵形式Axb1,x1b1x2b22,m 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xnbn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结线性组合给定向量组A :1,2,m 和向量b,假如存在一组数1,2, ,m 使可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b1 12 2mm ,就向量 b 是向量组 A 的线性组合 ,这时称 b 向量能由向量组 A线性表示 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理 1向量 b 能由向量组 A:1,2
29、,m 线性表示的充分必要条件是矩阵可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Aa1, a2 ,am 的秩等于矩阵B a1, a2, am ,b的秩。即 RA=RA,b。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结向量组的线性表示设有两个向量组 A:1,2 ,m及B :1,2 ,s ,如 B 组中每可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结个向量都能由向量组A 线性表示,就称向量组B 能由向量组A 线性表示,如向量组A 与向量组 B 能相互线性表示,就称这两个向量组等价。可编辑资料 -
30、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结向量组的线性相关给定向量组A:1,2,m ,假如存在不全为零的数k1 ,k2 , km可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结使 k11k22kmm0 ,就称向量组是线性相关的,否就称它线性无关。如当且仅可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 k1k2km0 时上式成立,就称向量组A 线性无关。线性相关：可线性组合表示的,线性无关：相互独立,互不代表留意1. 对于向量组来说,不是线性无关,就是线性相关。2. 对于两个向量来说, 线性相关意味着两向量的重量对应成比例,几何含义两向量共线。可编辑资
31、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三个向量线性相关意味着三向量共面。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 向量组只有一个向量时,如0 就说线性相关 ,如0, 就说线性无关。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 包含零向量的任何向量组是线性相关的,此时总存在不为零的k,使得0 10 2k00 n0线性相关性的判定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结定理向量组1 ,2,m（当 m2 时）线性相关的充分必要条件是1 ,2 ,m 中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结至少有一个向量可由其余m-1 个向量线性表示可编辑资料 - - - 欢迎下
32、载精品名师归纳总结定理 4向 量 组A: a1, a2, am线 性 相 关 的 充 分 必 要 条 件 是 它 所 构 成 的 矩 阵可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Aa1, a2 ,am 小于向量的个数 m,向量组线性无关的充分必要条件是R（ A） =m。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结最大线性无关向量组设有向量组 A,假如在 A 中能选出 r 个向量1 ,2 ,r ,满意：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1）向量组A0 :1,2,r 线性无关 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2向量组 A 中任意 r +1 个向量 假如有的话 都线性相关。可编辑资料