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1、专题三 导数及其应用第七讲 导数的几何意义、定积分与微积分基本定理答案部分2019年 1.解析：因为，所以，所以当时，所以在点处的切线斜率，又所以切线方程为，即2.解析 的导数为，又函数在点处的切线方程为，可得，解得，又切点为，可得，即故选D2010-2018年 1D【解析】通解 因为函数为奇函数，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以曲线在点处的切线方程为故选D优解一 因为函数为奇函数，所以，所以，解得，所以，所以，所以，所以曲线在点处的切线方程为故选D优解二 易知，因为为奇函数，所以函数为偶函数，所以，解得，所以，所以，所以，所以曲线在点处的切线方程为故选D2A【解析】不妨设
2、，由于，所以，则又切线：，于是，所以，联立，解得，所以，因为，所以，所以的取值范围是，故选A3A【解析】设函数的图象上两点，则由导数的几何意义可知，点P，Q处切线的斜率分别为，若函数具有T性质,则=1对于A选项，显然=1有无数组解，所以该函数具有T性质；对于B选项，显然=1无解，故该函数不具有T性质；对于C选项，0，显然=1无解，故该函数不具有T性质；对于D选项，0，显然=1无解，故该函数不具有T性质故选A4C 【解析】 取满足题意得函数，若取，则，所以排除A若取，则，所以排除D；取满足题意的函数，若取，则，所以排除B，故结论一定错误的是C5D【解析】，由题意得，即6D【解析】由得，、或（舍去
3、），直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积7B【解析】，显然，故选B8C【解析】,正方形的面积为1，=9C【解析】用定积分求解，选C10C【解析】，选C11D【解析】，=12A【解析】点处的切线斜率为，由点斜式可得切线方程为A13D【解析】因为，即tan 1，所以14【解析】，当时，曲线在点处的切线方程为，即15【解析】，由曲线在点处的切线的斜率为，得，所以16【解析】设与和的切点分别为 和则切线分别为，化简得，依题意，解得，从而17【解析】由题意可得当时,，则，则在点处的切线方程为，即180【解析】19【解析】因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，设的坐标为（），则，因为，所以，所以曲
4、线在点处的切线的斜率，因为，所以，即，解得，因为，所以，所以，即的坐标是，所以答案应填：20【解析】由已知得阴影部分面积为所以此点取自阴影部分的概率等于21【解析】，在点处的切线的斜率为，切线方程为，即22【解析】根据对称性，两个阴影部分面积相等，由几何概型的概率计算公式，得所求的概率为233【解析】由题意可得 又，过点的切线的斜率 ，由解得，所以24【解析】 对于，所以是曲线在点 处的切线，画图可知曲线在点附近位于直线的两侧，正确；对于，因为，所以不是曲线：在点处的切线，错误；对于，在点处的切线为，画图可知曲线：在点附近位于直线的两侧，正确；对于，在点处的切线为，画图可知曲线：在点附近位于直
5、线的两侧，正确；对于，在点处的切线为，令，可得，所以，故，可知曲线：在点附近位于直线的下侧，错误252【解析】，则，故切线方程过点解得263【解析】27【解析】 由两边同时积分得：从而得到如下等式：=28【解析】29【解析】，解得30【解析】，切线斜率为4，则切线方程为：.311【解析】因为，所以，又因为，所以，所以，32【解析】由题意可知得，故积分的近似值为3321【解析】在点处的切线方程为：当时，解得，所以34【解析】（）因为，所以又因为，所以曲线在点处的切线方程为（）设，则当时，所以在区间上单调递减所以对任意有，即所以函数在区间上单调递减因此在区间上的最大值为，最小值为35【解析】（I）
6、，曲线在点处的切线方程为，即 由解得：，（II）由（I）可知：， 令，极小值的最小值是的最小值为即对恒成立在上单调递增，无减区间36【解析】（）对求导得因为在处取得极值，所以即当时，=故从而在点（1，）处的切线方程为化简得（）由（）知令，由解得，当时，即，故为减函数；当时，即，故为增函数；当时，即，故为减函数；由在上为减函数，知解得故的取值范围为37【解析】（）设曲线与轴相切于点，则，即，解得因此，当时，轴是曲线的切线（）当时，从而，在无零点当=1时，若，则，,故=1是的零点；若，则，,故=1不是的零点当时，所以只需考虑在的零点个数()若或，则在无零点，故在单调，而，所以当时，在有一个零点；当
7、0时，在无零点.()若，则在（0，）单调递减，在（，1）单调递增，故当=时，取的最小值，最小值为=若0，即0，在无零点若=0，即，则在有唯一零点；若0，即，由于，所以当时，在有两个零点；当时，在有一个零点综上，当或时，由一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点38【解析】(1)函数的定义域为，由题意可得，(2)由(1)知，从而等价于设函数，则所以当时，；当时，故在单调递减，在单调递增，从而子啊的最小值为设函数，则所以当时；当时，故在单调递增，在单调递减，从而在的最大值为39【解析】()因为, x=0是的极值点，所以，解得，所以函数=-ln(x+1)，其定义域为，因为=，设，则，所以在上是
8、增函数，又因为，所以当时，即；当时，所以在上是减函数；在，上是增函数（）当，时，故只需证明当时，当时，函数在单调递增又，故在有唯一实根，且当时，；当时，从而当时，取得最小值由得，故综上，当时，40【解析】（1）由的图像过点，代入得，由在处的切线斜率为，又，得(2)(证法一)由均值不等式，当时，故记，则，令，则当时，因此在内是减函数，又由，得，所以因此在内是减函数，又由，得，于是当时， （证法二）由（1）知，由均值不等式，当时，故令，则，故，即，由此得，当时，记，则当时，=因此在内是减函数，又由，得，即41【解析】（1）（i）由得=，当和时，；当时，因此，的单调递增区间为和，单调递减区间为（ii）曲线C与其在点处的切线方程为得，即，解得，进而有，用代替，重复上述计算过程，可得和，又，所以因此有（）记函数的图象为曲线，类似于（）（ii）的正确命题为：若对任意不等式的实数，曲线与其在点处的切线交于另一点，曲线C与其在点处的切线交于另一点，线段与曲线所围成封闭图形的面积分别记为，则为定值证明如下：因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线的对称中心平移至坐标原点，因而不妨设，类似（i）（ii）的计算可得，故