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指数函数与对数函数
一、实数指数幂
1、实数指数幂：如果xn=a（n∈N且n＞1），则称x 为a 的n次方根。当n为奇数时，正数a的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数。这时，a的n次方根只有一个，记作。当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，它们互为相反数，分别记作，－。它们可以写成的形式。负数没有 （填“奇”或“偶”）次方根。
例：填空：
（1）、（）3= ；（）3= 。
（2）= ；= 。
（3）、= ；= 。
巩固练习：
1、将下列各分数指数幂写成根式的形式：
（1） （2）（b≠0）
2、将下列各根式写成分数指数幂的形式：
（1） （2）（a≠0）
3、求下列幂的值：
（1）、（-5）0； （2）、（a-b）0； (3)、2-1； （4）、（）4。
2、 实数指数幂的运算法则
①、＝ ②、＝
③、＝ ④、＝ ⑤、＝
例1：求下列各式的值：
⑴、 ⑵、 ⑶
例2：化简下列各式：
⑴、 ⑵、
巩固练习：1、求下列各式的值：
⑴、
⑵、
⑶
2、化简下列各式：
⑴
⑵
⑶（a≠0）
二、幂函数
1、幂函数：形如（α∈Ｒ，α≠0）的函数叫做幂函数，其中x为自变量，α为常数。
例1、判断下列函数是否是幂函数：
⑴、y＝ ⑵、y＝ ⑶、y＝
⑷、y＝ ⑸、s＝4t ⑹、y＝ ⑺、y＝+2x+1
巩固练习：观察下列幂函数在同一坐标系中的图象，指出它们的定义域：
⑴、y＝x；⑵、y＝；⑶y＝；
⑷y＝；⑸y＝。
o
x
1
1
y
y＝x
y=x-1
y=x2
三、指数函数
1、指数函数：形如y＝ （a＞0,且a≠1）的函数叫做指数函数，其中x为自变量，a为常数，指数函数的定义域为R。
例1：判断下列函数是不是指数函数？
(1) (2) （3）
（4） (5) y＝ (6) y＝
2、指数函数性质归纳
函数
y＝（a＞1）
y＝（0＜a＜1）
图
象
0
y=1
y
x
y＝
（a＞1）
0
x
y
y=1
y＝
（0＜a＜1）
性
质
定义域
R
值域
(0，＋∞)
过定点
（０,１）
单调性
是R上的增函数
是R上的减函数
例1：已知指数函数y=ax的图像过点（2，16）。
①求函数的解析式及函数的值域。 ②分别求当x=1，3时的函数值。
例2：判断下列函数在（﹣∞，﹢∞）上的单调性
①y=0.5x ②y=
四、对数
1、对数：如果＝N(a＞0，a≠1),那么b叫做以a为底N对数，记作㏒aN＝b，其中，a叫做对数的底数，简称底；N叫做真数。㏒aN读作:“以a为底N的对数”。
我们把＝N叫做指数式，把㏒aN＝b叫做对数式。
2、对数式与指数式关系：
对数
底数
指数
＝N
㏒a N＝ b
真数
幂
例1：将下列对数式改写成指数式：
（1）㏒381=4； （2）㏒5125=3；
例2：将下列指数式改写成对数式：
（1）、=125，
（2）、=2
3、常用对数：把以10为底的对数叫做常用对数。N(N＞0)的常用对数㏒10N可简记为lg N。
例如：㏒107可简记为 lg7
4、自然对数：以e为底的对数，这里e=2.718281…是一个无理数。N（N＞0）的自然对数㏒eN可简记为㏑N。
例如：㏒e5可简记为㏑5
5、零和负数没有对数。
6、根据对数定义，可以证明：㏒a1=0；㏒aa=1（a＞0,且a≠1）
7、对数的运算性质：
（1）积的对数：两个正数的积的对数，等于同一底数的这两个数的对数的和，即
㏒a（MN）=㏒aM＋㏒aN
（２）商的对数：两个正数的商的对数，等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数，即
㏒a=㏒aM-㏒aN
（３）幂的对数：一个正数的幂的对数，等于幂指数乘以这个数的对数，即
㏒a＝b㏒aM 其中，a＞0，a≠1，M＞0，N＞0
例：求出下列各式的值：
1、㏒2（48） 2、㏒3（927） 3、㏒2 4、㏒5 5、3㏒24 6、㏒3
五、对数函数
1、对数函数：函数（且）就是对数函数。是指数函数（且）的反函数。
2、对数函数的图象和性质
Ｙ
Ｏ Ｘ
性质
对数函数
性质1.对数函数的图像都在Ｙ轴的右方.
性质2.对数函数的图像都经过点（1，0）
性质3.当时，； 当时，；
当时，. 当时，.
性质4.对数函数在上是增函数. 对数函数在上是减函数.
例1：求下列函数的定义域：
；（2）；（3）
例2：利用对数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：
（1）和; (2) 和； （3）和，其中
综合练习
1、下列各式中正确的是( )
A. B. C. D.
2、下列等式中能够成立的是（ ）
A. B.
C. D.
3、设，化简式子的结果是（ ）
A. B. C. D.
4、在式子中，的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5、幂函数必经过点（ ）
A. B. 和 C. D.
6、幂函数的奇偶性为（ ）
A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 减函数
7、下列函数中，为指数函数的是（ ）
A. B. C. D.
8、计算的结果是
9、 ,
10、比较下列各题中两个实数的大小
（1） （2）
课后练习
一、选择题
1、函数的定义域是 （ ）
A. B. C. D.
2、定义在R上的偶函数，在上是增函数，则 （ ）
A． B．
C． D．
3、式子的值为 （ ）
A．-2 B．2 C．4 D．-4
4、式子的值为 （ ）
A． 6 B．4 C．3 D．1
5、已知(x∈R,x≠),则的值为 ( )
A. B. C. D.
6、已知的图象过点，则 （ ）
A． B． C． D．
7、若，则的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
8、对于,给出下列四个不等式:
① ②
③ ④
其中成立的是 ( )
A.①与③ B.①与④ C.②与③ D.②与④
9、已知，，，则下列正确的是 （ ）
A． B． C． D．
10、已知lg2=a，lg3=b，则等于 （ ）
A． B． C． D．
11、当时，函数是 （ ）
奇函数 偶函数 既奇又偶函数 非奇非偶函数
12、的值是 （ ）
A． B．1 C． D．2
13、若 （ ）
A. 2 B．4 C．8 D．16
14、函数的定义域为 （ ）
A．(，＋∞) B．［1，＋∞ C．( ，1 D．(－∞，1)
15、，那么 （ ）
A．27 B．18 C．9 D．
二、填空题
16、二次函数，则的图像的对称轴是直线
17、函数且的图像必经过点
18、函数的反函数是
19、的解集是
20、，则
三、解答题
21、计算
（1） （2）
22、解不等式与方程
（1）解不等式： （2）解方程：
23、已知函数的图象过点，其反函数的图象过，求函数的解析式。
24、函数的定义域为R,求的取值范围。
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