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1、热点专题9 函数综合问题有关函数的综合题是每年中考数学的压轴大戏，几乎全国各大城市的压轴题都与函数有关所以函数综合问题既是每年的热点，也是重点，更是难点导致几乎所有学生见到函数综合题就害怕，函数综合题对学生的知识掌握程度及分析问题的综合能力的要求都非常高，再加上这种题目多与动点或最值相关，这就使得难度又升级了所以要想处理好这种类型的问题，关键是对几种函数的性质和图象要熟悉，基础知识要牢固，另外平时多做练习，多总结处理这种问题的一些常见策略和方法，熟能生巧中考要求熟练掌握一次函数、二次函数、反比例函数的性质学会用运动的观点分析和解决有关函数问题会利用数形结合的思想解决有关的数学问题考向1 函数图
2、象共存问题1. (2019 山东省德州市)若函数与的图象如图所示，则函数的大致图象为ABCD【答案】C【解析】根据反比例函数的图象位于二、四象限知k0， 根据二次函数的图象确知a0，b0， 函数y=kx+b的大致图象经过二、三、四象限， 故选：C2 (2019 山东省青岛市)已知反比例函数y的图象如图所示，则二次函数yax22x和一次函数ybx+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）ABCD【答案】C【解析】当x0时，yax22x0，即抛物线yax22x经过原点，故A错误；反比例函数y的图象在第一、三象限，ab0，即a、b同号，当a0时，抛物线yax22x的对称轴x0，对称轴在y轴左边，故D
3、错误；当a0时，b0，直线ybx+a经过第一、二、三象限，故B错误，C正确故选：C考向2 函数与不等式问题1. (2019 山东省德州市)在下列函数图象上任取不同两点，、，一定能使成立的是ABCD【答案】D【解析】A、k=30y随x的增大而增大，即当x1x2时，必有y1y2当x0时，0，故A选项不符合；B、对称轴为直线x=1，当0x1时y随x的增大而增大，当x1时y随x的增大而减小，当0x1时：当x1x2时，必有y1y2此时0，故B选项不符合；C、当x0时，y随x的增大而增大，即当x1x2时，必有y1y2此时0，故C选项不符合；D、对称轴为直线x=2，当x0时y随x的增大而减小，即当x1x2时
4、，必有y1y2此时0，故D选项符合；故选：D2. (2019 山东省潍坊市)抛物线yx2+bx+3的对称轴为直线x1若关于x的一元二次方程x2+bx+3t0（t为实数）在1x4的范围内有实数根，则t的取值范围是（）A2t11Bt2C6t11D2t6【答案】D【解析】yx2+bx+3的对称轴为直线x1，b2，yx22x+3，一元二次方程x2+bx+3t0的实数根可以看做yx22x+3与函数yt的有交点，方程在1x4的范围内有实数根，当x1时，y6；当x4时，y11；函数yx22x+3在x1时有最小值2；2t6；故选：D3. (2019 山东省济宁市)如图，抛物线yax2+c与直线ymx+n交于A
5、（1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+cn的解集是 【答案】x3或x1【解析】抛物线yax2+c与直线ymx+n交于A（1，p），B（3，q）两点，m+np，3m+nq，抛物线yax2+c与直线ymx+n交于P（1，p），Q（3，q）两点，观察函数图象可知：当x3或x1时，直线ymx+n在抛物线yax2+bx+c的下方，不等式ax2+mx+cn的解集为x3或x1故答案为：x3或x1考向3 函数与方程问题1. (2019 山东省泰安市)若二次函数yx2+bx5的对称轴为直线x2，则关于x的方程x2+bx52x13的解为 【答案】x12，x24【解析】二次函数yx2bx5的对称轴为直
6、线x2，得b4，则x2bx52x13可化为：x24x52x13，解得，x12，x24故意答案为：x12，x24考向4 二次函数与动点最值问题1. (2019 山东省滨州市)如图，抛物线yx2x4与y轴交于点A，与x轴交于点B，C，将直线AB绕点A逆时针旋转90，所得直线与x轴交于点D（1）求直线AD的函数解析式；（2）如图，若点P是直线AD上方抛物线上的一个动点当点P到直线AD的距离最大时，求点P的坐标和最大距离；当点P到直线AD的距离为时，求sinPAD的值【解析】（1）当x0时，y4，则点A的坐标为（0，4），当y0时，0x2x4，解得，x14，x28，则点B的坐标为（4，0），点C的坐标
7、为（8，0），OAOB4，OBAOAB45，将直线AB绕点A逆时针旋转90得到直线AD，BAD90，OAD45，ODA45，OAOD，点D的坐标为（4，0），设直线AD的函数解析式为ykx+b，得，即直线AD的函数解析式为yx+4；（2）作PNx轴交直线AD于点N，如右图所示，设点P的坐标为（t，t2+t+4），则点N的坐标为（t，t+4），PN（t2+t+4）（t+4）t2+t，PNx轴，PNy轴，OADPNH45，作PHAD于点H，则PHN90，PH（t2+t）t（t6）2+，当t6时，PH取得最大值，此时点P的坐标为（6，），即当点P到直线AD的距离最大时，点P的坐标是（6，），最大距离
8、是；当点P到直线AD的距离为时，如右图所示，则t，解得，t12，t210，则P1的坐标为（2，），P2的坐标为（10，），当P1的坐标为（2，），则P1A，sinP1AD；当P2的坐标为（10，），则P2A，sinP2AD；由上可得，sinPAD的值是或 2. (2019 山东省东营市)已知抛物线yax2+bx4经过点A（2，0）、B（4，0），与y轴交于点C（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使CMG的周
9、长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由【解析】（1）抛物线yax+bx4经过点A（2，0），B（4，0），解得，抛物线解析式为yx2x4；（2）如图1，连接OP，设点P（x，），其中4x0，四边形ABPC的面积为S，由题意得C（0，4），SSAOC+SOCP+SOBP+，42xx22x+8x24x+12（x+2）2+1610，开口向下，S有最大值，当x2时，四边形ABPC的面积最大，此时，y4，即P（2，4）因此当四边形ABPC的面积最大时，点P的坐标为（2，4）（3），顶点M（1，）如图2，连接AM交直线DE于点G，此时，CMG的周长最小设直线AM的解析式为ykx+b，且过点A
10、（2，0），M（1，），直线AM的解析式为y3在RtAOC中，2D为AC的中点，ADEAOC，AE5，OEAEAO523，E（3，0），由图可知D（1，2）设直线DE的函数解析式为ymx+n，解得：，直线DE的解析式为y，解得：，G（）3. (2019 山东省聊城市)如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+c与x轴交于点A（2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，8），连接BC，又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E（1）求抛物线的表达式；（2）连接AC，AP，当直线l运动时，求使得PE
11、A和AOC相似的点P的坐标；（3）作PFBC，垂足为F，当直线l运动时，求RtPFD面积的最大值【解析】（1）将点A、B、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：yx2+2x+8；（2）点A（2，0）、C（0，8），OA2，OC8，lx轴，PEAAOC90，PAECAO，只有当PEAAOC时，PEAAOC，此时，即：，AE4PE，设点P的纵坐标为k，则PEk，AE4k，OE4k2，将点P坐标（4k2，k）代入二次函数表达式并解得：k0或（舍去0），则点P（，）；（3）在RtPFD中，PFDCOB90，ly轴，PDFCOB，RtPFDRtBOC，SPDFSBOC，而SBOCOBOC16，BC4，SPDFSBOCPD2，即当PD取得最大值时，SPDF最大，将B、C坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y2x+8，设点P（m，m2+2m+8），则点D（m，2m+8），则PDm2+2m+8+2m8（m2）2+4，当m2时，PD的最大值为4，故当PD4时，SPDFPD2