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-! 初中圆复习 一、圆的概念 集合形式的概念: 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合; 2、圆的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念: 1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆; 2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫中垂线); 3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线; 4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线; 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系 1、点在圆内 点在圆内; 2、点在圆上 点在圆上; 3、点在圆外 点在圆外; 三、直线与圆的位置关系 1、直线与圆相离 无交点; 2、直线与圆相切 有一个交点; 3、直线与圆相交 有两个交点; 四、圆与圆的位置关系 外离(图1) 无交点 ; 外切(图2) 有一个交点 ; 相交(图3) 有两个交点 ; 内切(图4) 有一个交点 ; 内含(图5) 无交点 ; 五、垂径定理 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。 推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧; (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即: ①是直径 ② ③ ④ 弧弧 ⑤ 弧弧中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即:在⊙中,∵∥ ∴弧弧 六、圆心角定理 圆心角定理:同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等。 此定理也称1推3定理,即上述四个结论中, 只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论, 即:①;②; ③;④ 弧弧 七、圆周角定理 1、圆周角定理:同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即:∵和是弧所对的圆心角和圆周角 ∴ 2、圆周角定理的推论: 推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧; 即:在⊙中,∵、都是所对的圆周角 ∴ 推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径。 即:在⊙中,∵是直径 或∵ ∴ ∴是直径 推论3:若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 即:在△中,∵ ∴△是直角三角形或 注意:此推论实是初二年级几何中矩形的推论:在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。 八、圆内接四边形 圆的内接四边形定理:圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。 即:在⊙中, ∵四边是内接四边形 ∴ 九、切线的性质与判定定理 1、切线的判定定理:过半径外端且垂直于半径的直线是切线; 两个条件:过半径外端且垂直半径,二者缺一不可 即:∵且过半径外端 ∴是⊙的切线 2、性质定理:切线垂直于过切点的半径(如上图) 推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。 以上三个定理及推论也称二推一定理: 即:①过圆心;②过切点;③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。 十、切线长定理 切线长定理: 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即:∵、是的两条切线 ∴;平分 十一、圆幂定理 1、相交弦定理:圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等。 即:在⊙中,∵弦、相交于点, ∴ 推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。 即:在⊙中,∵直径, ∴ 2、切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 即:在⊙中,∵是切线,是割线 ∴ 3、割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(如右图)。 即:在⊙中,∵、是割线 ∴ 十二、两圆公共弦定理 圆公共弦定理:两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。 如图:垂直平分。 即:∵⊙、⊙相交于、两点 ∴垂直平分 十三、圆的公切线 两圆公切线长的计算公式: (1)公切线长:中,; (2)外公切线长:是半径之差; 内公切线长:是半径之和 十四、圆内正多边形的计算 (1)正三角形 在⊙中△是正三角形,有关计算在中进行:; (2)正四边形 同理,四边形的有关计算在中进行,: (3)正六边形 同理,六边形的有关计算在中进行,. 十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 1、扇形:(1)弧长公式:; (2)扇形面积公式: :圆心角 :扇形多对应的圆的半径 :扇形弧长 :扇形面积 2、圆柱: (1)圆柱侧面展开图 = (2)圆柱的体积: 3、圆锥侧面展开图 (1)= (2)圆锥的体积: 十六、内切圆及有关计算。 (1)三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点,它到三边的距离相等。 (2)△ABC中,∠C=90,AC=b,BC=a,AB=c,则内切圆的半径r= 。 B O A D (3)S△ABC=,其中a,b,c是边长,r是内切圆的半径。 (4)弦切角:角的顶点在圆周上,角的一边是圆的切线,另一边是圆的弦。 如图,BC切⊙O于点B,AB为弦,∠ABC叫弦切角,∠ABC=∠D。 C 练习题 1.若⊙O的半径为4cm,点A到圆心O的距离为3cm,那么点A与⊙O的位置关系是( ) A.点A在圆内 B.点A在圆上 c.点A在圆外 D.不能确定 2.已知⊙O的半径为5,弦AB的弦心距为3,则AB的长是 3.如图,MN是半径为1的⊙O的直径,点A在⊙O上,∠AMN=30,B为AN弧的中点,点P是直径MN上一个动点,则求PA+PB的最小值 _ N _ M _ B _ A _ _ P _ O 4如图2,已知BD是⊙O的直径,⊙O的弦AC⊥BD于点E,若∠AOD=60,则∠DBC的度数为 5.与直线L相切于已知点的圆的圆心的轨迹是______. 6.已知直角三角形的两直角边长分别为5和12,则它的外接圆半径R=______,内切圆半径r=______. 7.⊙O的半径为6,⊙O的一条弦AB为6,以3为半径的同心圆与直线AB的位置关系是 . 8.PA、 PB是⊙O的切线,切点是A 、B,∠APB=50,过A作⊙O直径AC,连接CB,则∠PBC=______. 9.如图4,AB是⊙O的直径,弦AC、BD相交于P,则CD∶AB等于 A.sinBPC B.cosBPC C.tanBPC D.cotBPC 图4        图5  10.如图5,点P为弦AB上一点,连结OP,过PC作PC⊥OP,PC交⊙O于C,若AP=4, PB=2,则PC的长是 A. B.2 C.2 D.3 11.圆的最大的弦长为12 cm,如果直线与圆相交,且直线与圆心的距离为d,那么 A.d<6 cm B.6 cm12 cm 12.如图6,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB是小圆的切线,P为切点,设AB=12,则两圆构成圆环面积为______.          图6          图7 13.如图7,PE是⊙O的切线,E为切点,PAB、PCD是割线,AB=35,CD=50,AC∶DB=1∶2,则PA=______. 14.如图8,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,且BD=OB,点C在⊙O上,∠CAB=30,求证:DC是⊙O的切线. 图8 15.如图,AB既是⊙C的切线也是⊙D的切线,⊙C与⊙D相外切,⊙C的半径r=2,⊙D的半径R=6,求四边形ABCD的面积。 16.如图10,BC是⊙O的直径,A是弦BD延长线上一点,切线DE平分AC于E,求证: (1) AC是⊙O的切线.(2)若AD∶DB=3∶2,AC=15,求⊙O的直径.(12分) 图10 17.如图11,AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,弦CD⊥AB,垂足为E,且PC2=PEPO.(1)求证:PC是⊙O的切线;(2)若OE∶EA=1∶2, PA=6,求⊙O的半径;(3)求sinPCA的值.(12分) 图11 18.如图,⊙O的两条割线AB、AC分别交圆O于 D、B、E、C,弦DF//AC交 BC于C. (1)求证:; (2)若CF=AE.求证:△ABC为等腰三角形. 19.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB与点E,点P在⊙O上,∠1=∠C, (1)求证:CB∥PD; (2)若BC=3,sinP=,求⊙O的直径。 20.如图,△ABC内接于⊙O,AB是⊙O的直径,PA是过A点的直线,∠PAC=∠B. (l)求证:PA是⊙O的切线; (2)如果弦CD交AB于E,CD的延长线交 PA于F,AC=8,CE:ED=6:5,AE:EB=2:3, 求AB的长和∠ECB的正切值. 21.如图,在Rt△ABC中,∠B=90,∠A的平分线交BC于点D,E为AB上的一点,DE=DC,以D为圆心,DB长为半径作⊙D, 求证:(l)AC是⊙D的切线; (2)AB+EB=AC. 22.如图,AB是⊙O的直径,以OA为直径的⊙;与⊙O的弦AC相交于D, DE⊥OC,垂足为E. (l)求证: AD=DC; (2)求证: DE是⊙的切线; (3)如果OE=EC,请判断四边形OED是什么四边形,并证明你的结论. 考点一:与圆相关概念的应用 利用与圆相关的概念来解决一些问题是必考的内容,在复习中准确理解与圆有关的概念,注意分清它们之间的区别和联系. 1.运用圆与角(圆心角,圆周角),弦,弦心距,弧之间的关系进行解题 【例1】 已知:如图所示,在△ABO中,∠AOB=90,∠B=25,以O为圆心,OA长为半径的圆交AB于D,求弧AD的度数. 【例2】 如图,A、B、C是⊙O上的三点,∠AOC=100,则∠ABC的度数为( ). A. 30B. 45 C. 50D. 60 2.利用圆的定义判断点与圆,直线与圆、圆与圆的位置关系 【例3】 已知⊙O的半径为3cm,A为线段OM的中点,当OA满足: (1)当OA=1cm时,点M与⊙O的位置关系是 . (2)当OA=1.5cm时,点M与⊙O的位置关系是 . (3)当OA=3cm时,点M与⊙O的位置关系是 . 【例4】 ⊙O的半径为4,圆心O到直线l的距离为3,则直线l与⊙O的位置关系是( ). A. 相交B. 相切C. 相离D. 无法确定 【例5】 两圆的半径分别为3cm和4cm,圆心距为2cm,那么两圆的位置关系是______________. 3.正多边形和圆的有关计算 【例6】 已知正六边形的周长为72cm,求正六边形的半径,边心距和面积. 4.运用弧长及扇形面积公式进行有关计算 【例7】 如图,矩形ABCD中,BC=2,DC=4,以AB为直径的半圆O与DC相切于点E,则阴影部分的面积为 (结果保留). 5.运用圆锥的侧面弧长和底面圆周长关系进行计算 【例8】 已知圆锥的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的母线长与底面半径长的比是 . 考点二:圆中计算与证明的常见类型 1.利用垂径定理解题 垂径定理及其推论中的三要素是:直径、平分、过圆心,它们在圆内常常构成圆周角、等分线段、直角三角形等,从而可以应用相关定理完成其论证或计算. 【例1】 在⊙O中,弦CD与直径AB相交于点P,夹角为30,且分直径为1∶5两部分,AB=6,则弦CD的长为 . A. 2B. 4C. 4D. 2 2.利用“直径所对的圆周角是直角”解题 “直径所对的圆周角是直角”是非常重要的定理,在解与圆有关的问题时,常常添加辅助线构成直径所对的圆周角,以便利用上面的定理. 【例2】 如图,在⊙O的内接△ABC中,CD是AB边上的高,求证:∠ACD=∠OCB. 3.利用圆内接四边形的对角关系解题 圆内接四边形的对角互补,这是圆内接四边形的重要性质,也揭示了确定四点共圆的方法. 【例3】 如图,四边形ABCD为圆内接四边形,E为DA延长线上一点,若∠C=45,AB=,则点B到AE的距离为________. 4. 判断圆的切线的方法及应用 判断圆的切线的方法有三种: (1)与圆有惟一公共点的直线是圆的切线; (2)若圆心到一条直线的距离等于圆的半径,则该直线是圆的切线; (3)经过半径外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 【例4】 如图,⊙O的直径AB=4,∠ABC=30,BC=,D是线段BC的中点. (1)试判断点D与⊙O的位置关系,并说明理由. (2)过点D作DE⊥AC,垂足为点E,求证:直线DE是⊙O的切线. 【例5】 如图,已知O为正方形ABCD对角线上一点,以O为圆心,OA的长为半径的⊙O与BC相切于M,与AB、AD分别相交于E、F,求证CD与⊙O相切. 【例6】 如图,半圆O为△ABC的外接半圆,AC为直径,D为劣弧上一动点,P在CB的延长线上,且有∠BAP=∠BDA.求证:AP是半圆O的切线. 【课堂巩固练习】 1. 选择题: 1. ⊙O的半径为R,点P到圆心O的距离为d,并且d≥R,则P点    [  ] A.在⊙O内或圆周上 B.在⊙O外 C.在圆周上 D.在⊙O外或圆周上 2. 由一已知点P到圆上各点的最大距离为5,最小距离为1,则圆的半径为[  ] A、2或3 B、3 C、4 D、2 或4 3.如图,⊙O中,ABDC是圆内接四边形,∠BOC=110,则∠BDC的度数是[  ]   A.110  B.70  C.55  D.125   4.在⊙O中,弦AB垂直并且平分一条半径,则劣弧AB的度数等于[  ]   A.30  B.120  C.150  D.60 5.直线a上有一点到圆心O的距离等于⊙O的半径,则直线a与⊙O的位置关系是[  ] A、相离    B、相切   C、相切或相交   D、相交 6、如图,PA切⊙O于A,PC交⊙O于点B、C ,若PA=5,PB=BC,则PC的长是[  ] A、10 B、5 C、 D、 7.如图,某城市公园的雕塑是由3个直径为1m的圆两两相垒立在水平的地面上,则雕塑的最高点到地面的距离为[  ] A. B. C. D. 8、已知两圆的圆心距是9,两圆的半径是方程2x2-17x+35=0的两根,则两圆有[  ]条切线。 A、 1条 B、2条 C、3条 D、4条 9、如果等腰梯形有一个内切圆并且它的中位线等于20cm,则梯形的腰长为[  ] A、10cm B、12cm C、14cm D、16cm 10、如图,⊙O1和⊙O2相交于A、B两点,且A O1、A O2分别是两圆的切线,A是切点,若⊙O1的半径r=3,⊙O2的半径R=4,则公共弦AB的长为[  ] A、2 B、4.8 C、3 D、2.4 11、水平放置的排水管(圆柱体)截面半径是1cm,水面宽也是1cm,则截面有水部分(弓形)的面积是[  ] A、 B、 C、 D、 或 二. 填空题: 12.6cm长的一条弦所对的圆周角为90,则此圆的直径为 。   13.在⊙O中,AB是直径,弦CD与AB相交于点E,若 ,则CE=DE(只需填一个适合的条件)。 14.在圆内接四边形ABCD中,∠A∶∠B∶∠C=5∶2∶1,则∠D= 。 15.若三角形的外心在它的一条边上,那么这个三角形是 。 16.如图,圆内接四边形ABCD的对角线AC,BD交于E点,AB=120,CD=70则∠AEB= 。        17.已知两个圆的半径分别为8 cm和3 cm,两个圆的圆心距为7 cm,则这两个圆的外公切线长为 。 18.如图,⊙O中,弦AB⊥弦CD于E,OF⊥AB于F,OG⊥CD于G,若AE=8cm,EB=4cm,则OG= cm。     19. 已知圆锥的母线长为5厘米,底面半径为3厘米,则它的侧面积为 。 四.解答题 20.如图在△ABC中,∠C=90,点O为AB上一点,以O为圆心的半圆切AC于E,交AB于D,AC=12,BC=9,求AD的长。 21.如图在⊙O中,C为ACB的中点,CD为直径,弦AB交CD于点P,又PE⊥CB于E,若BC=10,且CE∶EB=3∶2,求AB的长.        22.已知:如图,A是以EF为直径的半圆上的一点,作AG⊥EF交EF于G,又B为AG上一点,EB的延长线交半圆于点K, 求证:    23.已知:如图,△ABC内接于⊙O,AE是⊙O的直径,CD是△ABC中AB边上的高,  求证:ACBC=AECD  
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