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1、高中一年级（上）数学必修1第三章：函数的应用3.2.2：函数模型的应用实例一：知识点讲解知识点一：函数模型求解 解与函数有关的应用题的一般步骤：1) 读：阅读并理解文字表达的意思，分清 和 ，理清数量关系。2) 建：将文字语言转化为 语言，利用数学知识建立相应的数学模型。3) 解：求解数学模型，得到数学 。4) 答：将数学问题的结论还原为 问题的结论。 拟合函数模型的应用题求解步骤收集数据画 .选择 .求函数模型用函数模型解释实际问题 .不符合实际例1：判断正误，正确的画“”，错误的画“”。1) ( )由散点图找出的拟合函数是唯一的。2) ( )若镭经过100年后剩余原来质量的95.76%，设
2、质量为1的镭经过x年后剩余质量为y，则y与x之间的函数关系式是。3) ( )某公司为了适应市场需求对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，则可选用对数函数模型。4) ( )一个湖泊的水量为a，从某年开始每年减少3%，则能反映该湖泊的水量y与年数x的函数关系式的是。5) ( )某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系式是。知识点二：幂函数模型的应用 幂函数模型，通常是一次函数（正比例函数）、二次函数、反比例函数的模型。 在幂函数模型中，二
3、次函数模型占有重要的地位，根据实际问题建立二次函数模型后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题。例2：商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。1) 求的值；2) 若该商品的成本为3元/千克，试确定当销售价格x为多少时，商品每日销售该商品所获得的利润最大。知识点三：指数函数模型的应用 在实际问题的应用中，常见的增长率问题的解析式可以表示为（其中为基础数，为增长率，为时间）的形式。 有关人口增
4、长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示。例3：目前某县有100万人，经过x年后为y万人。如果年平均增长率是1.2%，那么请回答下列问题：1) 写出y关于x的函数解析式；2) 计算10年后该县的人口总数（结果精确到0.1万人）；3) 计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万（结果精确到1年）。知识点四：对数函数模型的应用 生物繁殖、酸碱度、地震强度等问题通常用对数函数模型，解析式（、为常数，且）。例4：2003年10月15日，我国的“长征”二号F型火箭成功发射了“神舟”五号载人飞船，这标志着中国人民又迈出了具有历史意义的一步。火箭的起飞质量M是箭体（包括搭载的飞行器）的质量m
5、（吨）和燃料质量x（吨）之和。在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y（km/s）关于x（吨）的函数关系式为（其中）。当燃料质量为吨时，该火箭的最大速度为4km/s。1) 求“长征”二号系列火箭的最大速度y与燃料质量x自检的函数关系式。2) 已知“长征”二号F型火箭的起飞质量M都是479.8吨，则应装载多少吨燃料才能使火箭的最大起飞速度达到8km/s？（结果精确到0.1吨，取2.718）。知识点五：分段函数模型的应用 现实生活中有很多问题都是用分段函数表示的，如出租车计费、个人所得税等，分段函数模型是刻画现实问题的重要模型。 分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的不同规律，可以先将其看成
6、几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值。 应用分段函数模型时的三个注意点： 分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏； 分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集； 分段函数的值域求法为逐段求函数值的范围，最后下结论。例5：某市居民自来水收费标准如下：当每户每月用水量不超过4吨时，每吨1.80元；当每户每月用水量超过4吨时，超过部分每吨3.00元。某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x吨、3x吨。1) 求y关于x的函数；2) 若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费。知识点六：几何
7、中的应用问题 几何中的应用问题的解决方法： 利用几何公式求出函数解析式； 由集合元素的实际意义求出函数的定义域； 利用函数知识求解问题，并检验是否符合实际意义。例6：要在墙上开一个上部分为半圆，下部分为矩形的窗户（如图），在窗框为定长的条件下，要使窗户透光面积最大，窗户应具有怎样的尺寸？知识点七：未知函数类型的应用问题 未知函数类型的应用问题的解题步骤：1) 设：设自变量与因变量；2) 列：列出函数解析式；3) 求：求出函数的定义域；4) 解：解决函数问题；5) 答：回答实际问题。例7：商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少。把购买人数为零时的标价长为
8、无效价格，已知无效价格为每件300元。现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格（标价）出售。1) 若商场要获取最大利润，则羊毛衫的标价应定为每件多少元？2) 通常情况下，获取最大利润知识一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价应为每件多少元？二：知识点复习知识点一：幂函数模型的应用1. 某公司市场营销人员的个人月收入y（元）与其每月的销售量x（万件）成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的月收入是( )A.3 100元B.3 000元C.2 900元D.2 800元2. 某商场出售一种商品，每天可卖1 000件，
9、每件可获利4元。若这种商品每件降价0.1元，则比降价前每天可多卖出100件，为获得最好的经济效益，每件售价应降低( )A.2元B.2.5元C.1元D.1.5元3. 某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片（如图中阴影部分）备用，当截取的矩形面积最大时，矩形中相邻两边的长x、y应为( )A.x15，y12B.x12，y15C.x14，y10D.x10，y144. 某厂日产手套中成本y（元）与手套日产量x（双）的关系式为，而手套出厂价格为每双10元，则该厂为了不亏本，手套日产量至少为 双。5. 某商品经营部每天的房租，人员工资等固定成本为30
10、0元，已知该商品的进价3元/件，并规定其销售价格不低于商品进价，且不高于12元/件。该商品日均销售量y（件）与销售单价x（元）的关系如图所示。1) 试求y关于x的函数解析式；2) 当销售单价定为多少元时，该商品每天的利润最大？6. 某企业生产的新产品必须先靠广告打开销路，该产品广告效益应该是产品的销售额与广告费之间的差，如果销售额与广告费的算术平方根成正比，那么根据对市场的抽样调查发现：每投入100万元的广告费，所得的销售额是1 000万元，问：该企业投入多少广告费才能获得最大的广告效益？知识点二：指数、对数函数模型的应用7. 某工厂2015年生产某产品2万件，计划从2016年开始每年比上一年
11、增产20%，则这家工厂生产这种产品的年产量超过6万件的起始年份是( )（参考数据：，）A.2019年B.2020年C.2021年D.2022年8. 据统计，每年到潘阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y（只）与时间x（年）近似满足关系式：，观测发现2012年冬（作为第1年）有越冬白鹤3 000只，估计到2018年冬越冬白鹤有( )A.4 000只B.5 000只C.6 000只D.7 000只9. 工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系式，现已知今年1月份、2月份该产品的产量分别为1万件、1.5万件，则3月份该产品的产量为 万件。10. 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，
12、两岁燕子的飞行速度（单位：m/s）可以表示为，其中表示燕子的耗氧量。1) 求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；2) 当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？11. 某工厂生产过程中产生的废气必须经过过滤后才能排放，一只在过滤过程中，废气中的污染物含量（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：小时）之间的关系为（式中的为自然对数的底数，为污染物的初始含量）。过滤1小时后，检测发现污染物的含量减少了。1) 求函数关系式；2) 要使污染物的含量不超过初始值的，至少还需过滤几个小时？（参考数据：）知识点三：分段函数模型的应用12. 根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为（、
13、为常数）。已知该工人组装第4件产品用时30分钟，组装第件产品用时5分钟，那么和的值分别为( )A.75，25B.75，16C.60，144D.60，1613. 如图所示，点P在边长为1的正方形的边上运动，M是CD的中点。当点P沿录像A-B-C-M运动时，点P经过的路程x与APM的面积y之间的函数的图象大致是( )A.B.C.D.14. 大气温度y（）随着距地面的高度x（km）的增加而降低，到高空11km处为止，在最高的上空气温几乎不变，设地面温度为22，每上升1km大气温度大约降低6，则y与x的函数关系式为 。15. 国家规定个人稿费的纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4
14、 000元的按超过800部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿酬的11%纳税。某人出版了一本书，共纳税420元，则这个人的稿费为 元。16. 为减少空气污染，某市鼓励居民用电（减少粉尘），并采用分段计费的方法计算电费。当每个家庭月用电量不超过100千瓦时时，按每千瓦时0.57元计算；当月用电量超过100千瓦时时，其中的100千瓦时仍按原标准收费，超过的部分按每千瓦时0.5元计算。1) 设月用电x千瓦时时，应交电费y元，写出y关于x的函数关系式；2) 若某家庭一月份用电120千瓦时，则应交电费多少元？3) 若某家庭第一季度缴纳电费的情况如下表：月份1月2月3月合计交费金额（元）766345
15、.6184.6则这个家庭第一季度共用多少千瓦时点？17. 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加成本100元，已知总收益满足函数：，其中x为月产量。1) 将月利润表示为月产量x的函数；2) 当月产量为何值时，公司所获月利润最大？最大月利润为多少？三：习题（一）：选择题1. 向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t变化的函数的大致图象如图所示，则杯子的形状可能是( )A.B.C.D.2. 一种放射性元素，每年的衰减率是8%，那么a千克的这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半）t等于( )A.B.C.D.3. 拟定甲地到乙地通话m分钟的话费（单位：元）函数给出，其
16、中是不小于的最小整数，例如，那么甲地到乙地通话5.2分钟的话费为( )A.3.71元B.4.24元C.4.7元D.7.95元（二）：填空题4. 一件商品的成本为20元，售价为40元时每天能卖出500件，若售价每提高1元，每天的销量就减少10件，则商家定价为 元时，每天的利润最大。5. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，min后物体的温度，可由公式求得，且把温度是100的物体放在10的空气中冷却min后，物体的温度是40，那么的值约等于 。（参考诗句：，）（三）：解答题6. 如图，已知底角为45的等腰梯形ABCD，底边BC长为7cm，腰长为cm，当一条垂直于底边BC（垂
17、足为F）的直线从左至右移动（与梯形ABCD有公共点）时，直线把梯形分成两部分，令cm，试写出直线左边阴影部分的面积y（cm）与x（cm）的函数解析式。7. 某企业生产A、B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图（注：利润和投资单位：万元）1) 分别求出A、B两种产品的利润与投资之间的函数关系式；2) 已知该企业已筹集到18万元资金，并将其全部投入A、B两种产品的生产，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润为多少万元？8. 某市政府招商引资，为吸引外商，决定第一个月产品免税。某外资厂第一个月A型产
18、品的出厂价为每件10元，月销售量为6万件，第二个月，当地政府开始对该商品收税，税率为%（），即销售1元要征收元的税收，于是该产品的出厂价就上升到每件元，预计月销售量将减少万件。1) 将第二个月政府对该商品征收的税收y（万元）表示成的函数，并指出这个函数的定义域；2) 要使第二个月该厂的税收不少于1万元，则的范围是多少？3) 在第二小题问的前提下，要让厂家本月获得最大销售额，则应为多少？9. 经市场调查，某种商品在过去50天的销售价格（单位：元）均为销售时间（天）的函数，且销售量（单位：件）近似地满足（，），前30天价格（单位：元）为（，），后20天价格（单位：元）为（，）。1) 写出该种商品的日销售额（元）与时间（天）的函数关系式；2) 求日销售额的最大值。第 16 页 共 16 页