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1、前 言 本书旨在使读者理解经济模型化思想以及如何运用数学模型化的方法和技巧，解决经济问题。 数学模型化（Mathematical Modelling）是指提出、设计、建立、求解、论证及使用数学模型的整个过程。其目的在于研究开发数学模型在经济领域中分析问题、逻辑思维和辅助决策的作用和功能。 本书共由四个模块构成: 第一模块为经济数学模型化过程的基础理论部分，主要包括数学模型基本理论、数学模型化一般程序、以及为实现模型化必须进行的信息收集与评价等内容。这部分由三章组成：第一章在给出各种简单数学模型的基础上，讨论了数学模型的基本概念和性质，阐明了模型与原型及其逻辑关系。第二章在明确信息的数量化是建造
2、模型的前提下，讨论了数量化与量纲的问题，然后对数学模型的特性、应用条件及应用的评判准则进行了说明，最后详细论述了模型化过程的问题。第三章介绍了模型化信息的收集方法和模型化信息的处理方法。 第二模块为微观经济数量决策分析模型的讨论与研究，主要内容包括运筹学模型化过程中如何表述目标，确定环境因素，选择标准数学模型，最优性条件的确定及最优解（或满意解）的求出。这部分内容由第四章、第五章组成：第四章论述了销售机理模型化过程，主要由销售机理分析、成本机理分析、风险机理分析、时间机理分析、约束问题分析等部分构成；第五章在第四章销售机理模型化过程的基础上，给出了多目标多指标模型的一般形式。并对单目标最优解的
3、性质进行了分析。指出了各种经济量对数量决策的影响。此外研究了非线性共轭对偶理论的应用。 第三模块内容由两部分构成：第一部分介绍了系统论的思想与方法，第二部分为计量经济模型化过程。 本模型块由第六章、第七章组成： 第六章主要讨论经济控制论模型，首先阐述了系统论的方法和规律，最后给出了一个具体宏观经济控制模型。 第七章为计量经济模型分析，计量模型的特点在于首先提出经济假说，然后确立变量之间的因果关系，在收集统计资料的基础上，估计模型参数，并对其结果进行检验。最后运用模型估计进行经济预测和政策评价。本章包括计量模型分析的基础和建立计量模型的一些基本方法。首先讨论构成计量分析基础的最小二乘法，然后指出
4、在实证分析中运用计量模型应注意的几个问题，最后探讨计量分析的一些新发展。 第四模块为本书的最后一章，作为经济模型化过程的应用实例，在本章中给出了几个案例，主要涉及到宏观经济周期变化、投资模型的最优条件、宏观经济增长模型以及经济学中的效用等问题。 第八章主要内容如下： 首先讨论卡莱斯基商业循环模型和最优外资规模的决定模型，然后对马克思的扩大再生产图式与哈罗多多马模型进行比较，最后讨论市场经济中消费者经济行为的数学模型描述以及企业的行为表征。 本书作者之一杨健博士自1986年在中国人民大学开设全校研究生选修课程经济数学模型化。此后，龚德恩教授、任朝佐教授、严守权副教授、赵国庆副教授等都曾讲授此课程
5、，他们的贡献推动了经济数学模型化的研究。十年后的今天此书终于在同行们的关心下问世。 此外，中国人民大学的魏权龄教授、英国兰卡斯特大学的Graham K.Rand教授、日本国京都大学的森栋公夫教授，都曾对本书提出许多非常有益的建议，在此一并向他们表示衷心的谢意。 特别要提到的是王戈、周国栋、崔惠军、尹明玉，他们在本书的打印输入及校对公式中付出了艰辛的劳动。中国人民大学出版社潘旭燕女士作为本书的责任编辑付出了辛勤劳动，在此谨表谢意。 本书中的一些研究成果为国家211工程项目 中国宏观经济运行模拟和分析系统 的一部分，本书的部分章节构成北京市普通高等学校教育教学改革试点立项研究的基础。 本书作为经济
6、数学模型化过程分析的一个尝试还存在着不少不足之处，恳切希望广大读者指正。 著 者 1998年8月 第一章 数学模型概论 1.1 引言 任何模型都是原型的一种表现形式，而原型则指我们所研究的对象。我们所讨论的模型是依据原型，由人来构造的模型，它是人对客观世界的一种理解。广义而言，由于世间的事物皆有同一性，故任何事物都可能成为另一事物的模型；但对千差万别的具体事物而言，模型又是有条件的。 构造模型是研究和解释客观世界的一种手段。它使人们在比原型现存条件更为有利的条件下研究原型。模型可以是实体，也可以是理论；既可以定性，也可以定量；可以具体，亦可抽象。借助模型，人们可以从不同的侧面、不同的层次，去认
7、识原型。尤其是在现实世界里，有一些研究工作无法在原型上直接进行，因此人们需要构造模型来解决理论和实践中的问题。模型是对原型的一种近似，它们之间存在着某种因果关系。抽象地说，模型是原型的映象。 模型的性质 作为一个模型，应具备以下三个性质： 1.近似性：模型是原型若干特征或内在联系的模仿或近似。 2.主观性：模型基于构模者对原型以及模型空间的理解。 3.能动性：模型可以能动地反映原型，乃至在时空上超越原型的现状。 正是模型的这些性质，使得人们愈来愈多地利用模型，重视模型，并开始探索建模的方法。建立模型不仅需要对原型的深刻理解，而且需要一定的技巧、抽象和想象力。模型化方法是学习建模的基础，抽象与想
8、象则需在实践中培养。就如作画需要对景物的敏锐观察，训练有素的技巧和艺术的抽象与想象。当然，不断地钻研、探索、创新，是步入科学殿堂的必由之路。 对于同一原型，可以有不同的模型。如何评价模型的优劣是模型化关心的问题之一。模型的价值应取决于模型化的目的。换言之，模型的优劣应由其解决问题的优劣而定。如果一个模型突出了原型的主要矛盾和主要特征，从而有助于我们分析和解决问题，它就是一个好模型。 模型的种类甚多。依据不同的准则，有以下几类主要的模型： 1.按照相似程度划分： 有同构模型(Isomorphic Model)和同态模型(Homomorphic Model)。前者与其原型之间存在着一一对应的关系，
9、即同构关系；后者与其原型的部分相对应，依其相似程度可细分为精确的(Acurate)、适度的(Adequate)、和粗略的(Coarse)三种同态模型。 2.按照结构性态划分： 有形象模型(Iconic Model)和抽象模型(Abstract Model)之分。前者是由改变现实原型的度量、尺度或维数而得到的，其构造多为依据P定理（见第二章）和相似性原理，故又称比例模型(Scale Model)；后者是用抽象的符号、图表、语辞等表述的模型。抽象模型又可细分为3类： 1）比拟模型(Analog Model)：它建立在不同的事物之间，模型与原型存在着同构 或同态的关系。例如用一组可控的条件来表征真实
10、原型，通过模拟性实验研究原型的 变化规律，这组可控条件就是比拟模型。 2）概念模型(Concept Model)：它是凭借现有的知识，提出的关于原型的结构与特 性的表述。概念模型往往是抽象的、原始的。 3）数学模型(Mothematical Model)：它是用数学语言表达原型结构、特征、及内在 联系的模型。例如，用字母、数字或其它有特别含意的数学符号建立起来的等式、不 等式、图象、以及框图等，都是数学结构，当它们表征一个特定原型时，就是数学 模型。 3.按照对原型的了解程度划分： 有白箱模型(White Box Model)、黑箱模型(Black Box Model)和灰箱模型(Grey B
11、ox Model)三种。构模者对原型内部的结构与特性的了解程度分别是完全了解、完全不了解和部分了解。 关于模型的划分，不同的准则划分的类型也不同。例如有人认为能真正划分的模型只有两类：实物模型(Physical or Material Model)和符号模型(Symbolic or Formal Model)。实物模型是有形的、可触知的、实体的模型化表达，模型的元素由物质或硬件构成。如形象模型、硬件比例模型、和比拟计算机模型等。符号模型是理论的、符号的、抽象的模型化表达，模型元素由原型的特定结构或行为的若干方面的符号表述。如图样、语词表达、逻辑模型、数学模型以及计算机程序等等。关于模型的性质及
12、其分类将在第二章进行详细地讨论。 在一切模型之中，数学模型是用途最广泛的一种。多少世纪以来，数学以其高深玄妙而被誉为自然科学的皇后。然而在科学技术突飞猛进的今天，多学科相互交融，边缘学科不断涌现。皇后屈尊降为各学科的侍女，应运而生的交叉学科举不胜举。如生物数学、数理医药学、计量经济学、计量地理学、数量经济学等等，犹如群芳争春，竞相绽放。虽然新学科各有异彩，人们注意到一个事实：它们的共同之处就是都借助数学模型研究各自的原型世界！这些新兴学科的成功无一不是得益于数学模型的利用。尤其是在这个计算机时代，往日只有数学家才能完成的计算工作，如今一般人也能完成，这一切使得数学模型的应用成为可能，因此，模型
13、化工作日益受到人们的重视。 应当看到，即使在今天，人们对数学模型的本质仍有许多误解。例如有人认为数学模型是一种语言，很容易予以文字解释。这恰恰与实际情况相左，数学模型的一般性常常使人不知所云。还有人认为数学模型及其结果总是正确的，科学的，这也是荒谬的。虽然基于一组自封闭的公理系统的数学本身，在前提正确和推理无误的条件下，结果必然正确。但是数学模型毕竟不是数学理论，它基于关于原型的假说，因此数学推证充其量是一个佐证。假说必须用事实验证，换言之，不论是前提还是结果都必须以事实为依据。最后需要指出的错误观点是认为数学模型没有用处。我们且不赘举数学模型的辉煌成就，仅以质与量是构成事物属性的两个方面，缺
14、少量的刻划则无法全面地认识事物，就足以反驳这种观点。 本书着重探讨经济数学模型化方法以及模型化理论与程序。在经济工作中利用数学模型进行分析、预测、研究和决策，往往可以增加收益，降低消耗、减免风险、缩短时间、合理地利用有限的资源以获得最佳的效益。随着计算机的普及和计算机技术的发展，数学模型在经济领域将有更广泛的应用。 1.2 数学模型基本概念 数学模型是相对于一定的概念、系统、或过程而存在的。E.A.本德5在他的数学模型引论中这样写道：数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的数学结构。具体地讲，数学结构就是由若干字母、数字、及含有特定意义的符号建立起的等式、不等式、序关
15、系、逻辑式、图表、图象和框图。数学模型和原型是一对范畴，相互依存、相互对立。孤立的数学结构不是严格意义下的数学模型。数学模型化的概念与数学模型不同，它是指建立数学模型和利用数学模型的全过程。可以断言，从研究数学模型转到研究数学模型化是一个必然的趋势。模型化研究具有广阔前景。 在此我们介绍几个简单的模型，使我们形成对数学模型的直观认识。 【例1.2.1】资源的配置 资源短缺是全世界共同面临的问题。如何有效地利用现有的资源，使经济单位自身的经济效益最大，乃是许多经济学家研究的课题。虽然原型的差异甚多，我们仍可抽象地假设原型问题是利用m种有限资源生产n种商品的最佳决策。如果已知第i种商品的单位创利额
16、是ci,(i=1,n）；生产单位商品i需消耗aij单位的资源j,(i=1,n j=1,m)；现有资源j的总量为bj，(j=1,m)；待决策的商品i的数量为xi，(i=1,n)。则可得出决策的选择范围是满足下列约束条件的x=(x1,xn)T j=1,m xi 3 0 判别决策优劣的目标是创利额 我们记x=(x1,xn) A=(aij)nm C=(c1,cn)T b=(b1,bn)T 就得到一个数学模型 max cTx (1-2-1) s.t. Ax b x3 0 这个数学结构称为线性规划，与其相应的有完整的理论与算法。 【例1.2.2】 人口的预测 人口问题困扰着许多发展中国家，经济学家对人口预
17、测作过许多尝试。我们考虑一种最简单的情况。假设某个国家在时刻t=t0年的人口数目x(t0)=x0，由历年统计加权得到平均出生率h，平均死亡率d，于是对t 3 t0可以得到一个粗糙的模型 或 其中，r = hd是净生殖率，由初始条件解出 利用这个模型我们可以预测这个国家未来的人口。这个简单模型说明在外界条件不变的情况下，人中将呈指数增长。 【例1.2.3】 马克思的生产模型 马克思认为，在一定时期内社会总产品的价值是由三部分构成的：1）在此期间消耗的生产资料价值，即不变资本c；2）在此期间内用于生产过程的劳动力价值，即可变资本v；3）被资本家剥削的剩余价值m。依据生产资料的性质，马克思把国民经济
18、分为两大部类，即生产生产资料的第一部类和生产消费资料的第二部类。由定义，两部类的总价值分别为 I=c1v1m1 II=c2v2m2 总价值 TV=III 马克思指出：如果要维持简单再生产，则国民经济总处于同一水平。这时，生产资料的总需要应和第一部类的总价值相等；消费资料的需要应和第二部类的总价值相等。于是，我们得到 c1c2 =I v1m1v2m2 =II 我们注意到从前式可以推出后式，反之亦然。而且，都与数学结构 v1m1 =c2 等价。即第一部类的可变资本和剩余价值等于第二部类的不变资本。值得指出的是：虽然两个数学模型不同，但可能在数学结构上等价。 【例1.2.4】常胜的赌徒 赌场如战场，
19、有胜亦有败。但如果在自由下注的赌场，则有常胜的可能性。假如某位不贪心的赌者依据下列决策赌搏： 1.每次上赌场的目标是赢一元钱 2.一旦赢钱立刻停赌 那么他第k次的赌注为2k-1 ,总赌注: Bk = 12222k-1 =2k1 假如每次赢的概率为p，则输的概率为q=1-p。显然，连输k次的概率是qk。因此k次赌搏之中至少有一次赢的概率为1qk，不论常胜意味胜的概率P0有多大，只要p0且P0 P0 换言之，如果赌徒筹措到足够多的本钱n，则可望百战百胜。模型为 n (1-2-2) s.t. 1qk P0， 2k1 n，k为正整数 不难解出 当然，这是个数学游戏，因为输光头的概率毕竟存在！ 现在我们
20、考虑数学模型的基本概念与性质。首先给出如下定义：如果相应于某种体系的相依关系或逻辑关系，用形式化的数学语言概括地或近似地表述成为一个数学结构，则称这个数学结构为该体系的一个数学模型，记作M，称该体系为M的原型，记作P。 由定义不难得出，以下结论：一个原型可以有不同的数学模型，模型不唯一；而一个模型的数学结构则有可能是不同原型的模型，即有多个原型相对应，因此反之是有条件的。一个数学结构自身必须在数学意义下协调，不能相悖，但是对刻划同一体系的模型而言，由于假说与解释的方式不同，我们将允许相悖。正如物理学中描述物体运动的牛顿模型 和爱因斯坦模型 在数学意义下相悖。但都成功地刻划了物体运动的规律。 我
21、们把欲模型化的现象、问题、过程、体系，乃至用某种语言表示的系统，统称为原型，并记之为P。虽然原型应相对于模型而存在，我们隐含假设任何事物都存在着数学模型，只是不一定令人满意罢了。数学结构是一个有机的整体，可分性概念是有益的。如果数学结构MS可以分解为若干子结构MSa，a?L，其中L是非单点指标集，则称该数学结构是可分的。并记 。 下面我们举例说明可分性。 【例1.2.5】依据凯恩斯的经济理论，针对封闭的宏观经济体系，可建立如下模型， M： 其中主要变量有内生变量：Y（国民收入），C（消费），I（投资）和R（利率）；外生变量：G（政府开支）和M（货币供给）以及前定变量：P（价格水平）。四个方程式
22、分别是国民收入定义式、消费需求方程式、投资需求方程式和货币需求方程式。其中a，b，t，e，d，k，h则为参数。不考虑派生结构。 模型M可以分解成若干种互不相同的分结构。例如可分成 M1： M2： 连同假设一起考虑，M1中有4个内生变量和一个外生变量，故知其不唯一地确定变量的值。同理M2亦然。这些分结构可能没有合适的经济背景，所以称不上模型。对数学模型进行分解时，必须考虑假设的相应变化及经济解释。经济学家常把模型M置放在（Y，R）空间，从而得到十分重要的IS曲线和LM曲线，并成功地利用它们说明了许多经济问题。其分解如下： IS： LM：M=(kYhR)P IS曲线表示出满足国民收入定义式，消费需
23、求和投资需求的利率R与国民收入Y的组合形式；LM曲线表示货币供给等于货币需求时国民收入Y和利率R的变动轨迹。IS曲线和LM曲线的交点恰为数学模型M的唯一解。利用恰当的分解，能够得到许多意想不到的信息。如本例中，分解M=M1M2似乎难有合理的经济解释，但分解M=ISLM则是最出色的分解。然而若不分解M，则只能得到唯一的解(Y*，C*，R*)T，失去了研究各种经济力量如何影响均衡的机会。综上所述，我们看到分解就是将数学模型的若干部分孤立起来，撇开广泛的、总的联系。同时，想到原结构是一个整体结构，要考察子结构之间是如何发生联系的。 为了便于讨论，我们引入模型元的概念，如果数学模型的结构MSa是MS的
24、一个结构元或模型元，细心的读者可能注意到我们有时并没有严格地区分数学模型与数学结构。我们约定今后将在承认差异下一视同仁。 模型元并不一定是最基本的构模元素，只是具有相对独立性的小模型罢了。基本的构模元素有以下五种： 1. 数据：与原型有关的数字、图形、以及可定量化的其他信息。 2. 变量：假定属于已知值域的任何值。变量有独立与相关、内生与外生、先决与滞后等区别。 3. 参数：在特定的模型中只能假定取一固定数值的量。有固定与可变、可调与不可调之分。 4. 数学式：用以联系变量、参量的相依序关系的符号，如=、t）。套汇者对其行为有一定的估价，先从A国贷款a（单位A币），并按St换成B国货币存入B国
25、银行。到T时刻连本带利一起取出，按约定的汇率FT兑成A国货币，那么以A币为标准单位的净收益 M1： 如果p0。假设M1所给的净收益是正的，则有一等价模型 M3： 在此模型成立的情况下，套汇者一定有利可图。当众多的套汇者都这样干时，会引起rA上升和rB以及FT的下降，综合结果是使p趋于零。于是，我们得到均衡模型 M4： M4说明了汇率变化的中心趋势，FT实际上是ST的预测值。值得注意的是M3是由M1引出的，M4亦然，但M3和M4不能同时成立，它们不相容的原因是加了不同的假设条件。 我们定义两个数学结构是不相容的，如果在数学意义下两个结构不能同时成立。例如由于不存在这样的ST，FT，rA和rB使M
26、3和M4同时成立，故称M3和M4不相容。我们记之为M3M4=?。 由于模型间有一定的逻辑关系，我们引进序的概念：如果由一个数学结构MS可以得出另一个数学结构MS，则称M和M之间存在着序，记作MSf MS（读作MS导MS）。所谓序得出包括适当地增加假设条件和纯形式的推导。如果依据纯粹的数学理论及方法，从MS推导MS，则称MS和MS之间存在真序，记作MSffMS（读作MS真导MS）。根据模型化的观点，不是同一原型的模型之间无所谓序关系。今后谈到模型间的序关系时，均指同原模型。由定义我们不难证明两个命题： 命题若Mf M，则必有MM? 命题若Mff M，则必有MM? 这些证明留给读者。 既然有序的概
27、念，很自然地引出数学结构的等价关系。如果两个数学模型M和M满足序关系，且Mf M，MfM则称M和M是等类的，记作MM。如果Mff M且Mff M，则称M和M等价。记作 。显然，等价必等类，反之不然。关于导序的性质，不难由定义推出。 1. 对称性：若Mf M，则Mp M； 2. 传递性：若Mf M，MfM，则必有MfM； 3. 反身性：若Mf M，Mp M，则必有M M。 一般来说，导序具有的性质，真导序也具有，反之则不一定。前面提到通过增减条件或推导可以得到不同的数学结构，但并不一定称得上新的数学模型。抽象地看，从旧的数学模型到新的数学结构是一过程，经过了一个映射。正如我们可以把从原型r到模型
28、M的过程看成一种映射一样。对于数学结构而言，封闭是一个严格的概念；但对数学模型而言并不十分严谨。我们姑且这样定义：如果模型M在一映射下所得到的数学结构仍是一个同原模型，则称该模型对映射P是封闭的。【例1.2.7】可以部分地说明封闭这个概念。 【例1.2.7】财务分析 假设某公司经销一种商品的数量为x，单位售价p元，经估算固定成本为FC元，单位可变动成本为UVC。于是，由定义有 M1： SR=px M2： C=FCUVCx M1表示销售收入，M2表示总成本。对C微分得到边际成本模型， M3： MC=UVC 将M1和M2视为一个数学模型，则利润I的模型为 M4： I=（PUVC）xFC 可以看成M
29、1和M2经过减运算得到的。利润率IR则是由M4和M2的商运算得到的， M5： 根据模型化原理，我们可以这样认为：M2对一阶微分是封闭的，但对二阶微分不封闭；数学模型M1M2对特定的商运算也是封闭的。 迄今为止，我们只是讨论了模型的一些基本概念和性质，对于这些概念的系统讨论和研究将在第二章中进 第二章 数学模型化 从第一章的讨论我们知道，数学模型是反映原型的数学结构，而本章讨论的数学模型化则指提出、设计、建立、求解、论证及使用数学模型的整个过程。本章主要论述与模型化有关的数量化度量、经济数学模型的分类、模型和模型化应用的条件和范围、模型和模型化选择的标准等问题，最后对模型化过程进行设计与讨论。
30、2.1 数量化和量纲分析 2.1.1 数量化的度量问题 经济信息数量化是构造模型的前提，经济原型总是具有质与量两方面的信息，模型所需的信息是二者的结合，即信息不仅包含经济概念而且有一种数量的度量。度量是定性与定量结合的过程。量纲是带有质的规定性的数量度量，因此，在模型化过程中是值得重视的。从理论上看，数学结构中的各种量是没有量纲的，但作为一个经济模型，模型的输入和输出的信息有量纲的问题，这是客观存在。事实上，没有量纲这个标准，则使各经济变量之间失去可比性。在商品经济存在的条件下，各种实物往往需要用货币量纲来反映价值，生产、流通、消费和分配等因素的联系需用货币量纲来体现，因此，在讨论问题时，往往
31、把量纲统一于某种货币单位，从而，使不同质的量得到统一的度量。但实际中遇到的原型不尽相同，而且并不是什么都可以用货币度量的。因此，在数学模型的构造和推导过程中要注意量纲是否合理，否则可能失去原型背景，即不再是同原模型。 不论是构造什么样的模型，总是要选择一些基本量纲或原始量纲，经过模型构造和求解后，往往生出一些新的量纲，我们称之为导出量纲。例如，在描述一段时期内的平均收入时，我们把单位时间和单位货币称为基本量纲，而把（单位货币/单位时间）称为导出量纲。我们定义一个量纲是独立量纲，如果它不能由其它量所导出，如经济上常用的货币单位、实物单位、和计量单位等等。从数学的观点看，以什么作为量纲并不重要，关
32、键是在构造过程中量纲必须始终是谐调的、规范的。只有这样才能保证所得的模型与结果不仅有数学意义，而且有经济解释。 无量纲的经济量（指标）在经济是经常遇到。诸如比例数、比率和指数等相对量，就可能是无量纲的。另一种较特殊的量是只起记录功能或排序功能的数量，例如，把盈利记为1，亏本记为-1，盈亏平衡记为0。这种量与有量纲的经济量有质的区别，应注意其数学处理的条件和应用范围。 模型化过程中常需直接利用已有的统计指标，这时更需注意量纲问题。按我国的惯例统计指标分为数量指标和质量指标。数量指标反映企业、部门或整个国民经济工作的直接结果，它是刻划经济规模的计划指标。质量指标反映生产资源和生产因素的利用效果，它
33、是描述经济活动的统计性指标。质量指标分技术经济指标和经济质量指标，前者表示固定资产和流动资产的利用效果，产品质量及各产品生产间的比例关系，它是编制计划的依据，后者反映经济工作的质量与管理水平。与指标密切相关的因素是统计方式，这些都是收集信息时应当注意的。鉴于我国的经济指标体系与西方不尽一致，在考虑借鉴西方模型时尤应慎重。 2.1.2 量纲分析 前一节中已经提到过量纲等概念，我们将进一步深化它们。模型化常会涉及到可度量的信息，如经济中的国民收入、产出、消费额等，既是经济概念，又是可度量的。度量单位是带有质的规定性的标准。在这种标准下，信息传递被简化了。例如两个量不经实际比较，就知道孰多孰寡。物理
34、学之所以成为严谨的科学，得益于数学模型的利用。物理学的典型方法是把物理原型用数学模型表现出来，通过对输入和输出的量的量纲比较，说明了物理学规律。量纲分析（Dimensional Analysis）就是物理学中一项模型化技术。（我们将沿用物理学中的名称予以介绍） 众所周知，一切物理量可以由若干基本单位推导出来。基本单位的体系在物理上称为单位制。例如力学单位制可由长度、质量、时间为基本单位的绝对单位制(System of Absolute Units）推导出来。除基本单位之外，任何其他物理单位均称导出单位（Derived Unit）。如果q，j，y，为基本单位，a为导出单位，根据定义或定律导出单位
35、a可以表示成 a = c q jm yn 的形式，其中c， ，m，n，是常数。则称指数 ，m，n，为a的量纲，量纲公式记作 a =q jm yn 其中 读作的量纲。对于一般的模型化问题，无法建立适用于一切原型的单位制，但是对具体的模型化问题，的确可以提供一个单位制。我们仍称被推导出的单位为导出单位，沿用一切物理学的名称。 量纲分析方法可以从单一的前提条件，对某一现象推断得出有价值的信息，而该现象可以由某些变量中的一个有量纲的、恰当的方程来描述。量纲分析可用于设计比例模型，处理如何按比例调节系统的参数，使之能根据模型预测未来。量纲分析还可以使变量按有意义的方式进行组合，从而减少变量的数目对有关数
36、据的需求。量纲分析的主要依据是白金汉(Buckingham)的P定理以及相似定律（Law of Similitude）。我们首先介绍P定理。 P定理：假设有n个物理量a1，a2，an和m个基本量的量纲单位b1，b2，bm，如果关系式 f(a1，an) = 0 的成立与基本量的单位无关，则总可以转化成为 F(P1，Pnm) = 0 其中P1，Pnm是无量纲量群，形式为 这里F为某一函数。 我们回想一下代数学中的结论：线性空间中的一组基可以将任一向量线性表出；任一组向量亦可选出基向量。P定理的使用方法与基的扩充方法相似，首先从导出量a1，an中选择能包含全部基本量纲的m个导出量。不妨设a1，am的
37、量纲中含有b1，bm，则可用剩下的nm个导出量构造无量纲量群。我们设 ，i=1,n-m 其中hij是待定参数i=1,n-m，j=1,m。由于a1，an的量纲单位是从b1，bm导出，故有 ，j=1,n 其ajk是aj的量纲，k=1,m。利用前式可得 因Pi是无量纲的，故令 ，k=1,m 如此得到的m(n-m)个方程恰好确定所有的待定系数hij，i=1,n-m，j=1,m。这个方法不仅给出了扩充的步骤，而且给出了一个构造性证明。 【例2.2.1】万有引力模型 牛顿的万有引力定律告诉我们：两个物体之间的引力与它们的质量成正比，与它们之间的距离成反比。模型为 式中F是万有引力，G是万有引力常数，m1和
38、m2分别是两物体的质量，r是两物体间的距离。假设基本的物理量是质量M，长度L和时间T，我们来分析一下万有引力模型的量纲。显然， F=MLT-2 m1=m2=M r=L G=M-1 L3 T-2 设a1 =F，a2 =m1，a3 =m2，a4 =r，a5 =G则系数矩阵为 选择a1，a2，a4为基，则 于是我们得到 h11h121=0 h11 h13 =0 2 h11 =0 和 h21h221=0 h21h233=0 2 h212=0 从中解出 无量纲量群 由P定理可知，必可转化为 F(P1，P2)=0 事实上，稍加观察就有 P1 P2 1=0 这是万有引力模型。请注意，如果我们考虑的体系中有这
39、五个物理量，则可以纯形式地导出万有引力模型。当然，难点在于把G考虑在内的物理直觉。 【例2.2.2】流体实验 我们这次从经典的实例出发，讨论量纲分析的应用。原型问题是几何形状相似的物体在不可压缩粘性流体中的阻力问题。这种阻力是由于流体沿物体表面流动而产生的。我们记f为阻力，物体相对流体的速度为V，流体的密度为r，特征长度为，粘滞系数为m（注：m是粘滞摩擦阻力和该物体的速度梯度之比例系数）。仍以绝对单位制为基本单位制，则五个物理量，量纲单位分别是MLT-2，LT-1，ML-3，L和ML-1T-1。与例2.2.1相仿，可以得到 考察其物理意义可知：P1表示粘滞力与惯性力之比；P2表示阻力对流体在该
40、物体正面投影面积上的作用力之比。 称为雷诺数（Reynolds Number），层流时其值较小，湍流时其值较大。如果我们的原型是湍流中的阻力，则应对R足够大的情况设计实验和分析。这样一来试验变得更为合理和有效了。 【例2.2.2】中 就是一个数学模型！我们希望了解阻力如何因速度变化而变化时，注意到另外三个物理量如何变化，则需要相应地做许多次实验。量纲分析法使我们科学地减少了实验次数和测量数。但是，量纲分析并不是一种机械的方法，变量的选择依赖于洞察力和判断力，因为一旦包含无关的量或多删了必需的量就会导致谬误。 综上所述，与其说量纲分析是一种工具，不如说是一个过程。首先要对原型中有关变量和常数进行
41、识别，选择系统的主要候选变量及其量纲；其次是运用某些方法，如扩充法、P定理等解出无量纲量群；再次是对无量纲量群及其乘积和比率进行原型背景的识别与推断；最后建立成数学模型以拟合原型，达到对原型体系的认识，简化实验设计，数据收集和数值计算的目的。 相似定律是许多物理实验的依据。该定律认为：两个同类的物理系统的Pi值如果相同，则它们的物理状态亦相似。因此Pi值相同的模型实验的结果可以用来推测原型。由于物理量成立的关系式是对基本（运动）方程进行数学运算得到的，所以关系式中出现的数值系数的数量级多为1。因此，相反地，在几个量间进行量纲分析时，如果根据实验结果所决定的系数值不是过大或过小，则可断定在这几个
42、量之间可能存在相关性。 最后强调几点： 1. 量纲分析的基本方法没有固定的形式与结构； 2. 变量和常数的正确选择常常依赖于建模者良好的直觉； 3. 假说是十分必要的，不可太机械地利用量纲分析法； 4. P定理有双重含义：其一是存在一组无量纲量群，其二是如果主要变量或量纲数为m，导出变量数为n，则其必要的独立无量纲量群的数目为n-m； 5. 量纲和单位之间有差别，我们要保持单位的相容性和量纲的一致性； 6. 无量纲量群是组建模型的砖石。 2.2 数学模型的性质应用条件及评价准则 数学模型是抽象模型中应用最为广泛的一类，它除具有一般模型的性能外，还有其独特的性质与功能，这就是数学模型日益渗透各个
43、领域的原因。数学模型是借助抽象的数学语言来表述、分析和研究原型的数量的关系及量变规律的。由于数学本身的高度抽象性使数学模型不可避免地具有一定的抽象性，数学模型可以简化复杂的问题，提取关键的性质，使人们看到原型的本质，另一方面，数学模型有其具体的、确定的客观原型，它是原型的反映，故数学模型又有一定的现实性，这两重性使数学模型得以广泛应用于自然科学和社会科学。众所周知，数学是一个自封闭的、严谨的逻辑系统，因此受制约的数学模型必然具有严格的逻辑关系。如果数学模型是正确的，那么，由其推导出的结果也必然是正确的，这是其它模型所不能比拟的。 数学模型与其它模型的不同之处还在于它有坚实的理论基础和有效的实现
44、手段，理论基础是指数学理论的支持，从最基本的概念、定义或公理出发，经过严格推理建立起来的数学公理化理论系统，有许多可利用的定理、方法和结论。实现手段是指计算机的普及为数学模型的应用奠定的物质基础。如果说，运用数学模型是一种科学成功的标志，那么，这种科学的完善的方式就是运用数学模型。 由于现实世界的任何事物都具有一定的数量关系和空间形式，因此，原则上说，数学模型可以研究任何原型。当然，数学模型的应用，也受一定条件的制约，有其应用的范围。Rosenblueth和Wiene (1945)曾对物理模型的实用性给出充分必要条件： 1. 在不熟悉或不太熟悉的领域（原型空间）里的一个现象必须被（更）熟悉的领
45、域（模型空间）里的一个现象所代替。 2. 模型化实验必须在比原型实验更有利的条件（包括费用、时间等）下进行。 这两个条件对于数学模型在经济中的应用也是有启发的。 数学模型在经济中的应用是很广的，从应用的目的归纳大致包括四个方面： 1. 观察和预测经济事物的机理变化和发展趋势； 2. 规划和设计经济的现实与未来； 3. 分析和控制经济的运动与规模； 4. 研究和解释经济现象及规律。 具体地说，数学模型是为了增加经济效益，降低经济消耗，合理地利用现有的资源等等。经济上需用模型的原因还在于人们往往不能或无法直接驾驭经济现实，所以借助数学模型是必然的。 数学模型可以用于研究许多经济问题，但这并不意味数学模型可无条件地应用，应用数学模型的必要条件是： （1）经济原形(EP)可以映射到数学空间 此条件包括：EP的有关概念定义明确；EP的经济假说具有一定的科学性；在数学空间里存在着与假说的数量关系、逻辑关系或混合关系同构的数学关系式；可以通过必要的推导或证明得出有意义的数