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1、专题05 二次函数必考点1 二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：a 0 最高次数为2 代数式一定是整式【典例1】（2019南通市）若y（m1）是关于x的二次函数，则m的值为（）A2B1C2或1D2或1【答案】A【解析】解：y（m1）x 是关于x的二次函数，m2+m2，且m10，解得：m2故选：A【点睛】本题考查了二次函数的定义，最高次数是二次且二次项系数不为零【举一反三】1. （2019哈尔滨市）下列各式中表示二次函数的是（）Ayx2+By2x2CyDy（x1）2x2【答案】B【解析】解：A、yx2+，含有分式，不是二次函数，故此选项错误；B、y2x2
2、，是二次函数，故此选项正确；C、y，含有分式，不是二次函数，故此选项错误；D、y（x1）2x22x+1，是一次函数，故此选项错误故选：B【点睛】本题考查了二次函数的概念，属于应知应会题型，熟知二次函数的定义是解题关键2. （2019遵义市）下列函数中属于二次函数的是( )AyxBy2x2-1CyDyx21【答案】B【解析】解：A. yx是正比例函数，不符合题意； B. y2x2-1是二次函数，符合题意； C. y不是二次函数，不符合题意； D. yx21不是二次函数，不符合题意故选：B【点睛】本题考查了二次函数的定义，解题关键是掌握一次函数、二次函数、反比例函数的定义3. （2019浙江初三期
3、末）圆的面积公式SR2中，S与R之间的关系是（）AS是R的正比例函数 BS是R的一次函数CS是R的二次函数 D以上答案都不对【答案】C【解析】根据二次函数的定义，易得S是R的二次函数，故选C.必考点2 二次函数的图像和性质二次函数的性质 1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值 2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值【典例2】（2019福建中考真题）若二次函数y=|a|x2+bx+c的图象经过A(m,n)、B(0,y1)、C(3m,n)、D(, y2)、E(2,
4、y3)，则y1、y2、y3的大小关系是( ).Ay1 y2 y3By1 y3 y2Cy3 y2 y1Dy2 y3 y1【答案】D【解析】经过A（m，n）、C（3m，n），二次函数的对称轴x，B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离B最远，D最近，|a|0，y2 y3 y1；故选：D【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数图象上点的特征是解题的关键【举一反三】1. （2019内蒙古中考真题）二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（）ABCD【答案】D【解析】解：由一次函数可知，一次函数的图象与轴交于点，排除；当时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三、四象限
5、，当时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除；故选【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和一次函数的图象与系数之间的关系2（2019广东初三月考）二次函数yax2bxc(a0)的图象如图，下列结论正确的是() Aa0Bb24ac0C当1x0D=1【答案】D抛物线开口向上，A选项错误，抛物线与x轴有两个交点， B选项错误，由图象可知，当1x3时，y0，又x2+x+c0的两个不相等实数根为x1、x2，x11x2，所以函数y= x2+x+c0在x=1时，函数值小于0，即1+1+c0，综上则，解得c2，故选B.【点睛】本题考查了二次函数与一元二次
6、方程的关系，正确理解题中的定义，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键.2（2019四川中考真题）已知二次函数(其中是自变量)的图象与轴没有公共点，且当时，随的增大而减小，则实数的取值范围是()ABCD【答案】D【解析】，抛物线与轴没有公共点，解得，抛物线的对称轴为直线 ，抛物线开口向上，而当时，随的增大而减小，实数的取值范围是，故选D【点睛】本题考查了二次函数图象与x轴交点问题，抛物线的对称轴，二次函数图象的增减性，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.3.（2019辽宁中考真题）如图，二次函数yax2+bx+c（a0）的图象过点（2，0），对称轴为直线x1有以下结论：abc0；
7、8a+c0；若A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，当xx1+x2时，yc；点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得PMPN，则a的取值范围为a1；若方程a（x+2）（4x）2的两根为x1，x2，且x1x2，则2x1x24其中结论正确的有（）A2个B3个C4个D5个【答案】A【解析】解：由图象可知：a0，c0，abc0，故正确；抛物线的对称轴为直线x1，抛物线的对称轴为直线x1， b2a，当x2时，y4a2b+c0，4a+4a+c0，8a+c0，故错误；A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，由抛物线的对称性可知：x1+x2122，当x2时，y
8、4a+2b+c4a4a+cc，故正确；由题意可知：M，N到对称轴的距离为3，当抛物线的顶点到x轴的距离不小于3时，在x轴下方的抛物线上存在点P，使得PMPN，即，8a+c0，c8a，b2a，解得：，故错误；易知抛物线与x轴的另外一个交点坐标为（4，0），yax2+bx+ca（x+2）（x4）若方程a（x+2）（4x）2，即方程a（x+2）（x4）2的两根为x1，x2，则x1、x2为抛物线与直线y2的两个交点的横坐标，x1x2，x124x2，故错误；故选：A【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型必考点5 二次函数的实际应用【典例5】（2019武汉）如
9、图，一位运动员推铅球，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系是y，则此运动员把铅球推出多远( )A12mB10mC3mD4m【答案】B【解析】解：令y0则：x28x200(x+2)(x10)0x12(舍)，x210由题意可知当x10时，符合题意故选：B.【点睛】本题考查二次函数的实际应用，利用数形结合思想解题是本题的关键.【举一反三】1. （2019黑龙江初三期末）如图，是某公园一圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管OA1.25m，A处是喷头，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，水落地后形成一个圆，圆心为O，直径为线段CB建立如图所示的平面直角坐标系，若水流路线达到最高处时，到x轴
10、的距离为2.25m，到y轴的距离为1m，则水落地后形成的圆的直径CB_m【答案】5【解析】解：设y轴右侧的抛物线解析式为：ya（x1）2+2.25点A（0，1.25）在抛物线上1.25a（01）2+2.25解得：a1抛物线的解析式为：y（x1）2+2.25令y0得：0（x1）2+2.25解得：x2.5或x0.5（舍去）点B坐标为（2.5，0）OBOC2.5CB5故答案为：5【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数的相关性质及正确的解方程，是解题的关键2. （2019辽宁初三期末）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（米）与小球运动时间t（秒）的关系式是h30t5t2，小球运
11、动中的最大高度是_米【答案】45【解析】解：h5t2+30t5（t26t+9）+455（t3）2+45，a50，图象的开口向下，有最大值， 当t3时，h最大值45故答案为：45【点睛】本题考查了二次函数的应用，解此题的关键是把实际问题转化成数学问题，利用二次函数的性质就能求出结果3. （2019湖北初三期中）如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2 m时，水面宽度为4 m；那么当水位下降1m后，水面的宽度为_m.【答案】2【解析】如图，建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为A
12、B的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式，其中a可通过代入A点坐标（2，0），到抛物线解析式得出：a=0.5，所以抛物线解析式为，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=1代入抛物线解析式得出：，解得：x=，所以水面宽度增加到米，故答案为米1. （2019吉林初三月考）若函数y（3m）xm2-7x+1是二次函数，则m的值为（ ）A3B3C3D9【答案】B【解析】根据二次函数的定义，可知m2-7=2，且3-m0，解得m=-3，所以选择B.故答案为：B【点睛】本题
13、考查了二次函数的定义，注意二次项的系数不能为0.2. （2019浙江初三期中）下列二次函数中，二次项系数是3的是（）Ay3x22x+5Byx23x+2Cy3x2xDyx23【答案】C【解析】解：Ay3x22x+5二次项系数是3，不合题意；Byx23x+2二次项系数是3，不合题意；Cy3x2x二次项系数是3，符合题意；Dyx23二次项系数是1，不合题意；故选：C【点睛】本题考查的是二次函数的定义一般地，形如、b、c是常数，a0的函数，叫做二次函数其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项3. （2019安徽初三期末）关于二次函数，下列说法正确的是（ ）A图像与
14、轴的交点坐标为B图像的对称轴在轴的右侧C当时，的值随值的增大而减小D的最小值为-3【答案】D【解析】y=2x2+4x-1=2（x+1）2-3，当x=0时，y=-1，故选项A错误，该函数的对称轴是直线x=-1，故选项B错误，当x-1时，y随x的增大而减小，故选项C错误，当x=-1时，y取得最小值，此时y=-3，故选项D正确，故选D点睛：本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答4. （2019重庆中考真题）抛物线的对称轴是（ ）A直线B直线C直线D直线【答案】C【解析】，抛物线顶点坐标为，对称轴为故选：C【点睛】本题考查了二次函数的性质抛物线的顶点坐
15、标为（h，k），对称轴为xh5（2019广西中考真题）如图，抛物线的对称轴为直线，则下列结论中，错误的是（ ）ABCD【答案】C【解析】A、由抛物线的开口向下知，与轴的交点在轴的正半轴上，可得，因此，故本选项正确，不符合题意；B、由抛物线与轴有两个交点，可得，故本选项正确，不符合题意；C、由对称轴为，得，即，故本选项错误，符合题意；D、由对称轴为及抛物线过，可得抛物线与轴的另外一个交点是，所以，故本选项正确，不符合题意故选：C【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用6（2019四川中考真题）在同一坐标系中，
16、二次函数与一次函数的图像可能是（ ）ABCD【答案】C【解析】解：由方程组得ax2a，a0x21，该方程无实数根，故二次函数与一次函数图象无交点，排除BA：二次函数开口向上，说明a0，对称轴在y轴右侧，则b0；但是一次函数b为一次项系数，图象显示从左向右上升，b0，两者矛盾，故A错；C：二次函数开口向上，说明a0，对称轴在y轴右侧，则b0；b为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，b0，两者相符，故C正确；D：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D错故选C【点睛】本题考查的是同一坐标系中二次函数与一次函数的图象问题，必须明确二次函数的开口方向与a的正负的关系，a，b的符号与对称轴的位置
17、关系，并结合一次函数的相关性质进行分析，本题中等难度偏上7. （2019西藏中考真题）把函数的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数的图象（）A向左平移个单位，再向下平移个单位B向左平移个单位，再向上平移个单位C向右平移个单位，再向上平移个单位D向右平移个单位，再向下平移个单位【答案】C【解析】抛物线的顶点坐标是，抛物线线的顶点坐标是，所以将顶点向右平移个单位，再向上平移个单位得到顶点，即将函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到函数的图象故选：C【点睛】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减并用规律求函数解析式8. （2019重庆初三期末）如图是二次函
18、数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1对于下列说法：ab0；2a+b=0；3a+c0；a+bm（am+b）（m为实数）；当1x3时，y0，其中正确的是（）ABCD【答案】A【解析】对称轴在y轴右侧，a、b异号，ab0，故正确；对称轴 2a+b=0；故正确；2a+b=0，b=2a，当x=1时，y=ab+c0，a（2a）+c=3a+c0，故错误；根据图示知，当m=1时，有最大值；当m1时，有am2+bm+ca+b+c，所以a+bm（am+b）（m为实数）故正确如图，当1x3时，y不只是大于0故错误故选A【点睛】本题
19、主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右（简称：左同右异）常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）9. （2019甘肃中考真题）二次函数的图象如图所示，若，则、的大小关系为_(填“”、“”或“”)【答案】【解析】当时，当时，即，故答案为：【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，作差法比较代数式的大小，熟练掌握二次函数图像上点的坐标满足二次函数解
20、析式是解答本题的关键.10. （2019山东初三期末）已知A（0,3），B（2,3）是抛物线上两点，该抛物线的顶点坐标是_.【答案】（1,4）.【解析】试题分析：把A（0,3），B（2,3）代入抛物线可得b=2，c=3，所以=，即可得该抛物线的顶点坐标是（1,4）.考点：抛物线的顶点.11. （2019四川初三月考）抛物线yax2+bx+c经过点A（5，0），对称轴是直线x2，则a+b+c_【答案】0【解析】抛物线yax2+bx+c经过点A（5，0），对称轴是直线x2，点A关于x2对称点的坐标为：（1，0）当x1时，ya+b+c0，故答案为0【点睛】本题考查二次函数对称性，当x1时，ya+b+
21、c，再根据二次函数上纵坐标一样的点关于对称轴对称求出当x1时，y0。12. （2019北京市第六十六中学初三期中）已知：二次函数yax2+bx+c（a0）中的x和y满足下表：x012345y3010m8（1）m的值为 ；（2）抛物线yax2+bx+c的对称轴为 ；（3）这个二次函数的解析式为 ；（4）当0x3时，则y的取值范围为 【答案】（1）3；（2）直线x2；（3）yx24x+3；（4）1y3【解析】（1）点（0，3）关于直线x2的对称点为（4，3），m3，故答案为3；（2）由表中x、y的对应值可知，当x1与x3时y的值相等，对称轴是直线x2，故答案为直线x2；（3）抛物线的顶点为（2，1
22、），设解析式为ya（x2）21，代入点（0，3）得，34a1，解得a1，二次函数的解析式为yx24x+3，故答案为yx24x+3；（4）a1，顶点为（2，1），如图所示，由图象可知，当0x3时，则y的取值范围为1y3故答案为1y3【点睛】此题主要考查抛物线性质的综合应用，熟练掌握，即可解题.13. （2019山东初三期中）若二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则的值为_【答案】4【解析】设y=0，则，一元二次方程的解分别是点A和点B的横坐标，即， ，故答案为：【点睛】根据求根公式可得，若，是方程的两个实数根，则14.（2019深圳实验学校初三月考）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽
23、4m，水面下降2m，水面宽度增加_m.【答案】4-4【解析】建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为 通过以上条件可设顶点式，其中可通过代入A点坐标 代入到抛物线解析式得出：所以抛物线解析式为 当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把代入抛物线解析式得出： 解得： 所以水面宽度增加到米，比原先的宽度当然是增加了 故答案是： 【点睛】考查了二次函数的应用，根
24、据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键15（2019合肥市第四十五中学初三期中）如图，从某建筑物9米高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面12米，建立平面直角坐标系，如图（1）求抛物线的解析式；（2）求水流落地点B离墙的距离OB【答案】（1）y3x2+6x+9；（2）3米.【解析】解：（1）根据题意，得A（0，9），顶点M（1，12），于是设抛物线解析式为ya（x1）2+12，把A（0，9）代入，得9=a+12，解得a3，所以抛物线的解析式为y3（x1）2+123x2+6x+9答：抛物线的解析式为y3x2
25、+6x+9（2）当y0时，03x2+6x+9，解得x13，x21，所以B（3，0）答：水流落地点B离墙的距离OB为3米【点睛】本题是二次函数的应用题，正确理解题意、求出抛物线的解析式是解题关键.16（2019北京四中初三月考）运动员将小球沿与地面成一定角度的方向击出，在不考虑空气阻力的条件下，小球的飞行高度h（m）与它的飞行时间t（s）满足二次函数关系，t与h的几组对应值如下表所示t（s）00.511.52h（m）08.751518.7520（1）求h与t之间的函数关系式（不要求写t的取值范围）；（2）求小球飞行3s时的高度；（3）问：小球的飞行高度能否达到22m？请说明理由【答案】（1）h5
26、t2+20t；（2）小球飞行3s时的高度为15米；（3）小球的飞行高度不能达到22m【解析】解：（1）t0时，h0，设h与t之间的函数关系式为hat2+bt（a0），t1时，h15；t2时，h20，解得，h与t之间的函数关系式为h5t2+20t；（2）小球飞行3秒时，t3（s），此时h532+20315（m）答：小球飞行3s时的高度为15米；（3）h5t2+20t5（t2）2+20，小球飞行的最大高度为20m，2220，小球的飞行高度不能达到22m【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握配方法化顶点解析式17（2019云南中考真题）某驻村扶贫小组实施产业扶贫
27、，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售.已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍.经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)的函数关系如下图所示：(1)求y与x的函数解析式(也称关系式)；(2)求这一天销售西瓜获得的利润的最大值.【答案】(1)y与x的函数解析式为；(2)这一天销售西瓜获得利润的最大值为1250元.【解析】 (1)当6x10时，由题意设ykxb(k0)，它的图象经过点(6，1000)与点(10，200)， ，解得 ，当6x10时， y-200x+2200，当10x12时，y200，综上，y与x的函数解析式为；(2)设利润为w元，
28、当6x10时，y200x2200，w(x6)y(x6)(200x200)2001250，2000，6x10，当x时，w有最大值，此时w=1250；当10x12时，y200，w(x6)y200(x6)200x1200，2000，w200x1200随x增大而增大，又10x12，当x12时，w最大，此时w=1200，12501200，w的最大值为1250，答：这一天销售西瓜获得利润的最大值为1250元.【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，涉及了待定系数法，二次函数的性质，一次函数的性质等，弄清题意，找准各量间的关系是解题的关键.18（2019江苏中考真题）超市销售某种儿童玩具，如果每件
29、利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件设销售单价增加元，每天售出件（1）请写出与之间的函数表达式；（2）当为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？（3）设超市每天销售这种玩具可获利元，当为多少时最大，最大值是多少？【答案】（1）（2）当为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元（3）当为20时最大，最大值是2400元【解析】（1）根据题意得，；（2）根据题意得，解得：，每件利润不能超过60元，答：当为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元；（3）根据题意得，当时，随的增大而增大，当时，答：当为20时最大，最大值是2400元【点睛】本题考查了一次函数、二次函数的应用，弄清题目中包含的数量关系是解题关键