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1、第一章 风险和收益的衡量第一节 基础知识 数学期望数学期望 方差方差 标准差标准差 协方差协方差 相关系数相关系数定义定义1 设设X是离散型随机变量，它的概率分布是离散型随机变量，它的概率分布是是: PX=xk=pk , k=1,2,也就是说也就是说,离散型随机变量的数学期望是一个绝离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和对收敛的级数的和.1)(kkkpxXE1|kkkpx如果如果有限有限, 定义定义X的数学期望的数学期望数学期望数学期望E =1 0.4+2 0.1+3 0解：.5=2.1E1 01 2 06 3 03 22. 多次射击后，平均得分分别是2.1与2.2乙的技术较好。4甲
2、乙两射手在一次射击中得分为甲123P0.40.10.5乙123P0.10.60.3比较甲、乙两例射手的技术。例例1X甲X乙E（X甲甲）E（X乙乙）产品的产值 是一个随解：机变量，E6 0.7 5.4 0.1 5 0.1 4 0.06 0 0.045.48 故一批产品有一、二、三等品，等外品及废品5种，相应的概率分别为0.7，0.1，0.1，0.06及0.04。若其产值分别为6元，5.4元，5元，4元及0元。求产品的平均产值。65 4540P0 70 10 10 060 04.例例2XXE（X）数学期望的性质数学期望的性质 1. 设设C是常数，则是常数，则E(C)=C; 4. 设设X、Y独立，则
3、独立，则 E(XY)=E(X)E(Y); 2. 若若k是常数，则是常数，则E(kX)=kE(X); 3. E(X1+X2) = E(X1)+E(X2);niiniiXEXE11)(:推广niiniiXEXE11)(:推广注意注意:由由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出不一定能推出X,Y独立独立设设X是连续型随机变量，其密度函数是连续型随机变量，其密度函数 为为 f (x),如果如果dxxfx)(|有限有限,定义定义X的数学期望为的数学期望为dxxfxXE)()(也就是说也就是说,连续型随机变量的数学期望是一个绝连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分对收敛的积分.连续型随机变量的数学
4、期望连续型随机变量的数学期望仅用数学期望反映事物特征行吗？仅用数学期望反映事物特征行吗？某零件的真实长度为某零件的真实长度为a，现用甲、乙两台仪现用甲、乙两台仪器各测量器各测量10次，将测量结果次，将测量结果X用坐标上的点用坐标上的点表示如图：表示如图： 若让你就上述结果评价一下两台仪器的优若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？劣，你认为哪台仪器好一些呢？a 乙仪器测量结果乙仪器测量结果 a甲仪器测量结果甲仪器测量结果较好较好测量结果的测量结果的均值都是均值都是 a因为乙仪器的测量结果集中在均值附近因为乙仪器的测量结果集中在均值附近又如又如,甲、乙两门炮同时向一目标射
5、击甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮发炮弹，其落点距目标的位置如图：弹，其落点距目标的位置如图：你认为哪门炮射击效果好一些呢你认为哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果甲炮射击结果乙炮射击结果乙炮射击结果乙较好乙较好因为乙炮的弹着点较集中在中心附近因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 . 中心中心中心中心方差采用平方是为了保证一切采用平方是为了保证一切差值差值X-E(X)都起正面的作用都起正面的作用 由于它与由于它与X具有相同的度量单位，在实具有相同的度量单位，在实际问题中经常使用际问题中经常使用.设设X是一个随机变量，若是一个随机变量，若EX-E(X)20, Var(Y)0,)()(),(YVa
6、rXVarYXCovXY在不致引起混淆时，记在不致引起混淆时，记 为为 .XY 关于关于 XYXY的符号的符号: : XYXY 11. . 当当 XYXY 0 , 0 , 称称X X与与Y Y为为正相关正相关. . 当 XYXY = 0 , = 0 , 称称X X与与Y Y不相关不相关 当当 XY XY 0 , 0 , 称称X X与与Y Y为为负相关负相关 当 XYXY =1,=1,称称X X与与Y Y完全正相关完全正相关 当 XYXY =-1,=-1,称称X X与与Y Y完全负相关完全负相关 正相关表示两个随机变量有同时增加或同时减少正相关表示两个随机变量有同时增加或同时减少的变化趋势的变化
7、趋势. . 负相关表示两个随机变量有相反的变化趋势负相关表示两个随机变量有相反的变化趋势. .接上例接上例Var（P甲甲）=0.25（10-5.25）2 +0.5（5-5.25）2 +0.25（1-5.25）2 =10.19甲甲=3.19Var（P乙乙）=0.25（6-5）2 +0.5（5-5）2 +0.25（1-5）2 =0.5乙乙=0.71 XY=2.25（3.19 0.71）=0.997单一资产的风险与收益的衡量单一资产的风险与收益的衡量历史收益历史收益与风险与风险预期未来收益预期未来收益与风险与风险收益率的计算收益率的计算 波音公司股票波音公司股票1983年年12月月31日和日和198
8、4年年12月月31日的价格分别是日的价格分别是29.13美元和美元和37.75美元，美元，1984年该股票每股股息是年该股票每股股息是0.93美元。美元。32.8%29.130.9329.1337.75r19841ti,it1ti,ititPDPPr第第i种资产种资产第第t期的收期的收益率益率预期收益预期收益可能的经济情况可能的经济情况概率概率投资收益率（投资收益率（%）Psir1r2r3利率高利率高 经济衰退经济衰退0.20-18-13-4经济衰退经济衰退 利率下降利率下降 0.251616-2利率高，经济高速增长利率高，经济高速增长0.30123221经济高速增长，利率下降经济高速增长，利
9、率下降0.20401220Sn1siSiPr)E(r预期收益率（预期收益率（%）1141410风风 险险 金融学上的风险表示收益的不确定性。金融学上的风险表示收益的不确定性。（注意：风险与损失的意义不同）。由统（注意：风险与损失的意义不同）。由统计学上知道，所谓不确定就是偏离正常值计学上知道，所谓不确定就是偏离正常值（均值）的程度，那么，方差（标准差）（均值）的程度，那么，方差（标准差）是最好的工具。是最好的工具。预期风险预期风险S2in1SiS2iiP)rE(r)VAR(rS2in1SiSiP)rE(r投资品种投资品种1230.03760.02450.013650.119390.15650.
10、1168i2i年份股票收益率（%）12319931011-6199484181995-4-34199622-2-51997814321998-11-9-7199914152420001213-172001-9-32200212427 n1titini2i1irn1)rr(rn1r6.20% 4.40% 7.20%ir历史平均收益率历史平均收益率iini2i1ir)rr(rn1E)rE( 不是不是 无偏估计无偏估计历史风险历史风险2in1tit2irrn12i2in1tit2irrn1E(n1nE)2i 2i风险衡量风险衡量2in1tit2irr1n12in1itirrt1n1投资品种投资品种1
11、230.011440.0072490.02837310.7%8.51%16.84%2i资产组合资产组合收益和风险的计算收益和风险的计算两种证券的组合两种证券的组合年份年份多雨年份多雨年份少雨少雨年份年份牛市牛市 熊市熊市概率概率0.40.30.3冷饮公司收冷饮公司收益率益率r110% -4%20%伞公司收伞公司收益率益率r230% 12% -20%国库券国库券r33%3%3%老王的组合老王的组合50%冷饮冷饮50%伞伞50%伞伞50%国库国库券券E(r1）=8.8% (r1）=9.35%E(r2）=9.6% (r2）=20.78%E(r国库券国库券）=3% (r国库券国库券）=050%伞、伞、
12、50%冷饮组合收益冷饮组合收益E(rp)=50% 8.8%+ 50% 9.6%=9.2%)r (Ew)r (Ew)rwrw(E)r (E22112211p1ww212P2P2PP2p)r (E)r (E)r (Er E50%伞、伞、50%冷饮组合风险冷饮组合风险)rr (Eww2)r (Ew)r (Ew)rrww2rwrw(E)rw(E)r (E212122222121212122222121221iii2P)r (E)r (Eww2)r (Ew)r (Ew)r (Ew)r (Ew)r (E212122222121222112P122121222221212121222221212P2P2PP
13、2pww2ww)r , rcov(ww2ww)r (E)r (E)r (Er E50%伞、伞、50%冷饮组合风险冷饮组合风险50%伞、伞、50%冷饮组合风险冷饮组合风险Cov(r1,r2)= - 0.00989%96. 8%803. 0)00989. 0(5 . 05 . 02%)78.20(5 . 0%)35. 9(5 . 0p22222p50%伞、伞、50%国库券组合国库券组合E(rp)=50% 9.6 +50% 3%= 6.3%39.10%08.1%)78.20(5 .0p222p各种组合比较资产组合资产组合期 望 收 益期 望 收 益（% %）标准差（标准差（% %）100%伞公司100%冷饮伞与国库券伞伞与与冷饮冷饮9.68.86.39.29.220.789.3510.398.96N种资产的预期收益 n1iiinn2211p)r (Ew)r (Ew)r (Ew)r (Ew)r (E1wn1ii其中其中N种资产的风险n222i 11,1,1nnnpiiijijijijij i ji jWWWww 如何推导？如何推导？