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1、热点专题 动态探究问题 2019的中考中的动态问题是失分点，总结如下：常见的动点问题分类：求最值问题，动点构成特殊图形问题.一、求最值问题初中利用轴对称性质实现“搬点移线”求几何图形中一些线段和最小值问题。利用轴对称的性质解决几何图形中的最值问题借助的主要基本定理有三个：（1）两点之间线段最短；（2）三角形两边之和大于第三边；（3）垂线段最短.求线段和的最小值问题可以归结为：一个动点的最值问题，两个动点的最值问题.二、动点构成特殊图形问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系;分析过程中，特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置).分析图形变化过
2、程中变量和其他量之间的关系，或是找到变化中的不变量，建立方程或函数关系解决.小结在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路，这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质.考向1 动点与最值1 (2019聊城)如图，在RtABO中，OBA=90，A(4，4)，点C在边AB上，且=，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为（ ）A(2，2)B(，)C(，)D(3，3)【答案】C【解析】由题可知：A(4，4)，D(2，0)，C(4，3)，点D关于AO的对称点D(0，2)，设lDC：y=kx+b，将D(0，2)，C(4，3)代入，可
3、得y=x+2，与y=x联立，得，x=，y=，P(，)故选C2.（2019威海）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数的图像上运动，且始终保持线段的长度不变，M为线段AB的中点，连接OM.则线段OM的长度的最小值是 （用含k的代数式表示）.【答案】【解析】过点A作x轴AC，过点B作y轴BD，垂足为C，D，AC与BD相交于点F，连接OF.当点O、F、M在同一直线上时OM最短.即OM垂直平分AB设点A坐标为（a，a 4），则点B坐标为（a 4，a），点F坐标为（a，a）.由题意可知AFB为等腰直角三角形，AB=，AF=BF=4.点A在反比例函数y=的图象上，a (a4)=k，解得a = .在
4、RtOCF中，OF= a = = ，OM=OFFM= =.3(2019巴中)如图，在菱形ABCD中，连接BD，AC交于点O，过点O作OHBC于点H，以点O为圆心，OH为半径的半圆交AC于点M.（1）求证:DC是O的切线;（2）若AC=4MC且AC=8，求图中阴影部分的面积;（3）在的条件下，P是线段BD上的一动点，当PD为何值时，PH+PM的值最小，并求出最小值.解：（1）过点O作OGCD于点G，菱形ABCD中，AC是对角线， AC平分BCD，OHBC， OH=OG，OH是O的半径， OG等于O的半径，CD是O的切线.（2）AC=4MC，AC=8，OC=2MC=4，MC=OM=2，OH=OM=
5、2，在RtOHC中，OH=2，OC=4， HC=，tanHOC=，HOC=60， S阴影=SOCHS扇形OHM=.（3）作点M关于BD的对称点N，连接HN交BD于点P，此时PH+PM的值最小.ON=OM=OH，MOH=60， MNH=30，MNH=HCM， HN=HC=，即PH+PM的最小值为.在RtNPO中，OP=ONtan30=，在RtCOD中，OD=OCtan30=，PD=OP+OD=.4（2019益阳）如图，在半面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB=4，BC=6.若不改变矩形ABCD的形状和大小，当形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半上随之上下移
6、动.(1)当OAD=30时，求点C的坐标；(2)设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形 OMCD的面积为时，求OA的长；(3)当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cosOAD的值.解：（1）如图1，过点C作CEy轴，垂足为E.矩形ABCD中，CDAD，CDE+ADO=90，又OAD+ADO=90，CDE=OAD=30.在RtCED中，CE=CD=2，DE=;在RtOAD中，OAD=30，OD=AD=3.点C的坐标为(2，).(2)M为AD的中点，DM=3，.又，.设OA=x，OD=y，则，即，x=y.将x=y代入得，解得(不合题意，舍去)，OA的长为
7、.（3）OC的最大值为8.理由如下：如图2，M为AD的中点，OM=3，.OCOM+CM=8，当O、M、C三点在同一直线时，OC有最大值8.连接OC，则此时OC与AD的交点为M，过点O作ONAD，垂足为N.CDM=ONM=90，CMD=OMN，CMDOMN，即，解得，.在RtOAN中，.5（2019衡阳）如图，在等边ABC中，AB=6cm，动点P从点A出发以cm/s的速度沿AB匀速运动动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC延长线方向匀速运动当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动设运动时间为t（s）过点P作PEAC于E，连接PQ交AC边于D以CQ、CE为边作平行四边形CQFE（1）当t为何值时，B
8、PQ为直角三角形；（2）是否存在某一时刻t，使点F在ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）求DE的长；（4）取线段BC的中点M，连接PM，将BPM沿直线PM翻折，得BPM，连接AB，当t为何值时，AB的值最小？并求出最小值解：（1）ABC为等边三角形，B=60，BPPQ，2BP=BQ即2（6t）=6t，解得t=2当t为2时，BPQ为直角三角形；（2）存在作射线BF，PEAC，AE=0.5t四边形CQFE是平行四边形，FQ=EC=60.5t，BF平分ABC，FBQBQF=90BQ=2FQ，BQ=6t，6t=2（60.5t），解得t=3 （3）过点P作PGCQ交AC于点
9、G，则APG是等边三角形BPPQ，EG=AGPGCQ，PGD=QCD，PDG=QDC，PG=PA=CG=t，PGDQCDGD=GCDE=AC=3（4）连接AM，ABC为等边三角形，点M是BC的中点，BM=3由勾股定理，得AM=3 由折叠，得BM=3当A 、B、M在同一直线上时，AB的值最小，此时AB=33.过点B作BHAP于点H，则cos30=，即=，解得t=93t为93时，AB的值最小，最小值为33考向2 动点与图形存在性问题1.（2019自贡）如图，已知直线AB与抛物线：y=ax2+2x+c相交于点A（-1，0）和点B（2，3）两点.（1）求抛物线C函数解析式；（2）若点M是位于直线AB上
10、方抛物线上的一动点，以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，求此时平行四边形MANB的面积S及点M的坐标；（3）在抛物线C的对称轴上是否存在顶点F，使抛物线C上任意一点P到F的距离等于到直线y=174的距离，若存在，求出定点F的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）将A（-1，0）和B（2，3）代入抛物线解析式得a-2+c=04a+4+c=3，解得，a=-1c=3，抛物线解析式为y=-x2+2x+3.（2）过M作MHy轴，交AB于H，设直线AB为y=kx+b，将A，B坐标代入得，-k+b=02k+b=3，解得，k=1b=1.直线AB的解析式为y=x+1.
11、设M为（m，-m2+2m+3），则H（m，m+1）MH=yM-YH=(-m2+2m+3)-( m+1)=-m2+m+2.SABM=SAMH+SBMH=12MH（xB-xA）=12(-m2+m+2)(2+1)=-32(m2-m)+3=-32(m-12)2+278.四边形MANB是以MA、MB为相邻的两边的平行四边形，ABMBAN.S四边形MANB=2 SABM=-3(m-12)2+274，a=-30且开口向下，当m=12时，S四边形MANB的最大值为274.此时，M坐标为（12，154）.（3）存在，理由如下：过P作直线y=174的垂线，垂足为T，抛物线为y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4
12、.抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，4）.当P为顶点，即P（1.4）时，设F点坐标为（1，t），此时PF=4-t，PT=174-4=14.P到F的距离等于到直线y=174的距离，4-t=14，即t=154.F为（1，154），设P点为（a，-a2+2a+3），由勾股定理，PF2=(a-1)2+(-a2+2a+3-154)2=a4-4a3+132a2-5a+2516.又PT2=174-(-a2+2a+3)2= a4-4a3+132a2-5a+2516.PF2=PT2，即PF=PT.当F为（1，154）时，抛物线C上任意一点P到F的距离等于到直线y=174的距离.2.（2019凉山州）如
13、图，抛物线y= ax2+bx+c的图象过点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）.（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得PAC的周长最小，若存在，请求出点 P的坐标及PAC的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M （不与C点重合），使得 SPAM=SPAC，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）由题知，解得，抛物线的解析式为y= -x2+2x+3；（2）存在.连接BC交抛物线对称轴于点P，此时PAC的周长最小.设BC:y=kx+3，则3k+3=0，解得k=-1，BC:y=-x+3.由抛物线的轴对
14、称性可得其对称轴为直线x=1，当x=1时，y=-x+3=2，P（1，2）.在RtOAC中，AC=；在RtOBC中，BC=3.点P在线段AB的垂直平分线上，PA=PB，PAC的周长=AC+PC+PA= AC+PC+PB=AC+BC=+3.综上，存在符合条件的点P，其坐标为（1，2），此时PAC的周长为+3；（3）存在.由题知AB=4，SPAC=SABC-SPAB=43-42=2.设：AP:y=mx+n，则，解得，AP:y=x+1.过点C作AP的平行线交x轴上方的抛物线于M，易得CM:y=x+3，由解得，M（1，4）；设抛物线对称轴交x轴于点E（1，0），则SPAC=22=2=SPAC过点E作AP
15、的平行线交x轴上方的抛物线于M，设EM:y=x+t，则1+t=0，t=-1，EM:y=x-1. 由解得（舍），M（，）.综上，存在符合条件的点M，其坐标为（1，4）或（，）.考向3 动点与函数图像问题1(2019广元)如图，点P是菱形ABCD边上的动点，它从点A出发沿ABCD路径匀速运动到点D，设PAD的面积为y，P点的运动时间为x，则y关于x的函数图象大致为( )【答案】A【解析】点P在整个运动过程中，PAD的底边AD始终不变，故面积的变化取决于AD边上高线的变化，当点P在AB上运动时，高线均匀变大，故面积也均匀变大，当点P在BC上运动时，由于BCAD，平行线间距离处处相等，故高线不变，面积
16、也不发生改变，当点P在CD上运动时，高线又会均匀变小，故面积也会均匀变小，故选A2（2019衡阳）如图，在直角三角形ABC中，C=90，AC=BC，E是AB的中点，过点E作AC和BC的垂线，垂足分别为点D和点F，四边形CDEF沿着CA方向匀速运动，点C与点A重合时停止运动，设运动时间为t，运动过程中四边形CDEF与ABC的重叠部分面积为S，则S关于t的函数图象大致为（ ）【答案】C【解析】由题意知，四边形CDEF在运动过程中，与ABC的重叠部分面积是由矩形到五边形，再到三角形，最后点C与点A重合时停止运动，呈现出的图象是曲线，故选C3.（2019菏泽）如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P
17、，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按ADC，ABC的方向，都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ，设运动时间为xs，APQ的面积为ycm2，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（）【答案】A【解析】当0x2时，正方形的边长为2cm，y=SAPQ=12AQAP=12x2；当2x4时，y=SAPQ=S正方形ABCDSCPQSABQSAPD，=22-12（4x）2-122（x2）-122（x2）=-12x2+2xy与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合故选A4（2019长沙）如图，函数(k为常数，k0)的图象与过原点的O的直线相交于A，
18、B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C，D两点，连接BM分别交x轴，y轴于点E，F现有以下四个结论：ODM与OCA的面积相等；若BMAM于点M，则MBA=30；若M点的横坐标为1，OAM为等边三角形，则k=；若MF=MB，则MD=2MA其中正确的结论的序号是 【答案】答案：【解析】设点A（m，），M（n，），则直线AC的解析式为y=x+，C（m+n，0），D（0，），SODM=n=，SOCA=（m+n）=，ODM与OCA的面积相等，故正确；反比例函数与正比例函数关于原点对称，O是AB的中点.BMAM，OM=OA，k=mn，A（m，n），M（n，m），AM=（nm），OM=，AM不一定等于OM，BAM不一定是60，MBA不一定是30故错误；M点的横坐标为1，可以假设M（1，k），OAM为等边三角形，OA=OM=AM，1+k2=m2+，m=k.OM=AM，（1m）2+=1+k2，k24k+1=0，k=2.m1，k=2+，故正确，如图，作MKOD交OA于KOFMK，=，=，OA=OB，=，=，KMOD，=2，DM=2AM，故正确故答案为