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1、第17讲锐角三角函数与解直角三角形考纲要求命题趋势1理解锐角三角函数的定义，掌握特殊锐角(30，45，60)的三角函数值，并会进行计算2掌握直角三角形边角之间的关系，会解直角三角形3利用解直角三角形的知识解决简单的实际问题.中考中主要考查锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值及解直角三角形题型以解答题和填空题为主，试题难度不大，其中运用解直角三角形的知识解决与现实生活相关的应用题是热点.知识梳理一、锐角三角函数定义在RtABC中，C90，A，B，C的对边分别为a，b，c.A的正弦：sin A_；A的余弦：cos A_；A的正切：tan A_.它们统称为A的锐角三角函数锐角的三角函数只能在直角三
2、角形中使用，如果没有直角三角形，常通过作垂线构造直角三角形二、特殊角的三角函数值三、解直角三角形1定义：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形(直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角)2直角三角形的边角关系：在RtABC中，C90，A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)三边之间的关系：_；(2)锐角之间的关系：_；(3)边角之间的关系：sin A，cos A，tan A，sin B，cos B，tan B.3解直角三角形的几种类型及解法：(1)已知一条直角边和一个锐角(如a，A)，其解法为：B90A，c，b(或b)；(2)已知斜边和一个
3、锐角(如c，A)，其解法为：B90A，acsin A，bccos A(或b)；(3)已知两直角边a，b，其解法为：c，由tan A，得A，B90A；(4)已知斜边和一直角边(如c，a)，其解法为：b，由sin A，求出A，B90A.四、解直角三角形的应用1仰角与俯角：在进行观察时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角2坡角与坡度：坡角是坡面与水平面所成的角；坡度是斜坡上两点_与水平距离之比，常用i表示，也就是坡角的正切值，坡角越大，坡度越大，坡面_自主测试1如图，在RtABC中，ACB90，BC1，AB2，则下列结论正确的是()Asin ABtan A
4、Ccos BDtan B2如图，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，若将ACB绕着点A逆时针旋转得到ACB，则tan B的值为()A B C D3已知是锐角，且sin(15)，计算4cos (3.14)0tan 1的值考点一、锐角三角函数的定义【例1】如图，在ABC中，C90，AB13，BC5，则sin A的值是()A B C D来源:学_科_网解析：在RtABC中，AB13，BC5，sin A，故选A.答案：A方法总结 求锐角三角函数值时，必须牢记锐角三角函数的定义，解题的关键是：(1)确定所求的角所在的直角三角形；(2)准确掌握三角函数的公式解题的前提是在直角三角形中，如果题目中无直角时
5、，必须想办法构造一个直角三角形触类旁通1 如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB4，BC5，则tanAFE的值为()A B C D考点二、特殊角的三角函数值【例2】如果ABC中，sin Acos B，则下列最确切的结论是()AABC是直角三角形BABC是等腰三角形CABC是等腰直角三角形DABC是锐角三角形解析：由sin Acos B可知，AB45，所以C90，所以ABC是等腰直角三角形答案：C方法总结 特殊角的三角函数值在中考当中出现的概率很大，同学们应该熟记，但不要死记，可以结合图形，根据定义理解记忆触类旁通2 计算：|2|2si
6、n 30()2(tan 45)1.考点三、解直角三角形【例3】如图，在ABC中，C90，点D，E分别在AC，AB上，BD平分ABC，DEAB，AE6，cos A.求：(1)DE，CD的长；(2)tanDBC的值解：(1)DEAB，DEA90.在RtAED中，cos A，即.AD10.根据勾股定理得DE8.又DEAB，DCBC，BD平分ABC，DCDE8.(2)ACADDC10818，在RtABC中，cos A，即，AB30.根据勾股定理得BC24.在RtBCD中，tanDBC.方法总结 解这类问题主要是综合运用勾股定理、锐角三角函数定义、直角三角形的两个锐角互为余角解题时应尽量使用原始数据，能
7、用乘法运算就尽量不用除法运算触类旁通3 如图是教学用的直角三角板，边AC30 cm，C90，tanBAC，则边BC的长为()A30cm B20cmC10cm D5cm考点四、解直角三角形在实际中的应用【例4】某兴趣小组用高为1.2米的仪器测量建筑物CD的高度如图所示，由距CD一定距离的A处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为，在A和C之间选一点B，由B处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为.测得A，B之间的距离为4米，tan 1.6，tan 1.2，试求建筑物CD的高度分析：求建筑物CD的高度关键是求DG的长度，先利用三角函数用DG表示出GF，GE的长，利用EFGEGF构建方程求解解：设建筑物CD与EF的
8、延长线交于点G，DGx米在RtDGF中，tan ，即tan .在RtDGE中，tan ，即tan .GF，GE.EF.4.解方程，得x19.2.CDDGGC19.21.220.4(米)来源:学_科_网Z_X_X_K答：建筑物CD高为20.4米方法总结 利用解直角三角形的知识解决实际问题的关键是转化和构造，即把实际问题转化为数学问题，并构造直角三角形，利用解直角三角形的知识去解决，解题时要认真审题，读懂题意，弄清仰角、俯角、方向角、坡角、坡度的含义，然后再作图解题1(2012四川乐山)如图，在RtABC中，C90，AB2BC，则sin B的值为()A B C D12(2012浙江舟山)如图，A，
9、B两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A同侧的河岸边选定一点C，测出ACa米，BAC90，ACB40，则AB等于()米Aasin 40 Bacos 40 Catan 40 D3(2012福建福州)如图，从热气球C处测得地面上A，B两点的俯角分别为30，45，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A，D，B在同一直线上，则AB两点的距离是()A200米 B200米C220米 D100(1)米4(2012山东济宁)在ABC中，若A，B满足20，则C_.5(2012湖南株洲)数学实践探究课中，老师布置同学们测量学校旗杆的高度小民所在的学习小组在距离旗杆底部10米的地方，用测角仪测得
10、旗杆顶端的仰角为60，则旗杆的高度是_米6(2012湖南衡阳)如图，一段河坝的横断面为梯形ABCD，试根据图中的数据，求出坝底宽AD.(iCE:ED，单位：m)7(2012山东潍坊)校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D的同侧取点A，B，使CAD30，CBD60.(1)求AB的长(精确到0.1米，参考数据：1.73，1.41)；(2)已知本路段对校车限速为40千米/时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否
11、超速？说明理由1如图，在RtABC中，ACB90，CDAB，垂足为D.若AC，BC2，则sinACD的值为()A B C D2如图，在RtABC中，C90，把A的邻边与对边的比叫做A的余切，记作cot A.则下列关系式中不成立的是()Atan Acot A1Bsin Atan Acos ACcos Acot Asin ADtan2Acot2A13如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为，那么滑梯长l为()(第3题图)A B C Dhsin 4如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1:，堤高BC5 m，则坡面AB的长度是()A10 m B10m C15 m D5m(第4题图)5在一次夏令营
12、活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60方向的C地，他先沿正东方向走了200 m到达B地，再沿北偏东30方向走，恰能到达目的地C(如图)，那么，由此可知，B，C两地相距_m.6如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的O的圆心O在格点上，则AED的正切值等于_7如图所示，在ABC中，C90，A30，BD是ABC的平分线，CD5 cm，求AB的长8综合实践课上，小明所在的小组要测量护城河的宽度如图所示是护城河的一段，两岸ABCD，河岸AB上有一排大树，相邻两棵大树之间的距离均为10米小明先用测角仪在河岸CD的M处测得36，然后沿河岸走50米到达N点，测得72.请你根据这些数据
13、帮小明他们算出河宽FR(结果保留两位有效数字)(参考数据：sin 360.59.cos 360.81，tan 360.73，sin 720.95，cos 720.31，tan 723.08)参考答案导学必备知识自主测试来源:Zxxk.Com1D2B3解：sin(15)，45，原式241133.探究考点方法触类旁通1C由折叠过程可知，CFBC5，根据勾股定理得DF3，所以AFADDF2，设AEx，则EFBE4x，在RtAEF中，(4x)222x2，解得x，所以tanAFE.触类旁通2解：原式223111.触类旁通3C因为tanBAC，所以BCACtanBAC3010(cm)品鉴经典考题1C在Rt
14、ABC中，C90，AB2BC，sin A.A30，B60，sin B，故选C.2C在RtABC中，ACa米，BAC90，ACB40，tan 40，ABatan 40.3D由题意得A30，B45.AD100(米)，BD100(米)，则ABADBD100100100(1)(米)故选D.475由题意得：cos A0，sin B0，cos A，sin B，A60，B45，C75.510在直角三角形中，tan 60，所以旗杆的高度10(米)6解：如图所示，过点B作BFAD，可得矩形BCEF.EFBC4，BFCE4.在RtABF中，AB5，BF4.由勾股定理可得：AF3(m)又在RtCED中，i，ED2C
15、E248(m)ADAFFEED34815(m)7解：(1)由题意得，在RtADC中，AD2136.33；在RtBDC中，BD712.11，所以ABADBD36.3312.1124.2224.2(米)(2)校车从A到B用时2秒，所以速度为24.2212.1(米/秒)，因为12.13 60043 560，所以该车速度为43.56千米/时，大于40千米/时，所以此校车在AB路段超速研习预测试题来源:学*科*网1A2D3A4A520067解：在RtABC中，C90，A30，BD是ABC的平分线，ABDCBD30.ADDB.又RtCBD中，CD5 cm，BD10 cm.BC5cm，AB2BC10cm.8解：过点F作FGEM交CD于G.来源:学#科#网则MGEF20米，FGN36.GFNFGN723636.FGNGFN，FNGN502030(米)在RtFNR中，FRFNsin 30sin 72300.9528.529(米)故河宽FR约为29米