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黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科（四）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1.已知集合，，则
A． B. C. D.
2.复数,则对应的点所在的象限为
A．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是
A． B． C． D．
4.函数y=cos2(x + )－sin2(x + )的最小正周期为
A. 2π B. π C. D.
5. 以下说法错误的是 （ ）
A．命题“若x2-3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2-3x+2≠0”
B．“x=2”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件
C．若命题p:存在x0∈R,使得 -x0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x2-x+1≥0
D．若p且q为假命题,则p,q均为假命题
主视图
左视图
俯视图
6.在等差数列中, ,则=
A．80 B．40
C．31 D．-31
7.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为
A． B．
开始
?
是
输入p
结束
输出
否
C． D．
8.二项式的展开式中，常数项为
A．64 B．30 C． 15 D．1
9.函数的零点所在的区间是
A． B．
C． D．
10.执行右边的程序框图，若，则输出的为
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
11.若抛物线y2 = 2px（p>0）上一点到焦点和抛物线的对称轴的距离分别是10和6，
则p的值为
A．2 B．18 C．2或18 D．4或16
12.已知函数满足，若函数与图像的交点
为，，⋯，，则（ ）
A. 0 B. m C. 2m D. 4m
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量＝________．
14. 已知向量，，且与共线，则的值为 .
15.已知随机变量服从正态分布，且, 则 .
16. 设不等式组表示的平面区域为Error! Reference source not found.Error! Reference source not found.D，在区域D内随机取一个点，则此点到直线x－5=0的距离大于7的概率是 .
三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证
明过程或演算步骤.
17．(本题满分12分)
在△ABC中，已知A=,cosB=.
（I）求sinC的值；
（II）若BC=2，D为AB的中点，求CD的长.
18．(本题满分12分)
在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，
平面，//，
（Ⅰ）求证：//平面；
（Ⅱ）求PD与平面PCE所成角的正弦值.
19.（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为，其中左焦点F(－2,0)．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆交于不同的两点，且线段的中点在
曲线上，求的值．
20. （本小题满分12分）
如图所示的茎叶图记录了华润万家在渭南城区甲、乙连锁店四天内销售情况的某项指标统计：
（I）求甲、乙连锁店这项指标的方差，并比较甲、乙该项指标的稳定性；
（Ⅱ）每次都从甲、乙两店统计数据中随机各选一个进行比对分析，共选了3次（有放回选取）．设选取的两个数据中甲的数据大于乙的数据的次数为X，求X的分布列及数学期望．
21.(本题满分12分) 已知函数
（I） 当时,求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）求函数的单调区间.
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题目计分，作答时请写清题号.
22．(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为
(1)求圆C的直角坐标方程；
(2)设圆C与直线交于点A，B.若点P的坐标为(3，)，求|PA|＋|PB|.
23.(本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1，1]．
(1)求m的值；
(2)若a，b，c∈R＋，且＋＋＝m，求a＋2b＋3c的最小值.
数学试题(理四)参考答案
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
A
D
B
D
B
A
C
C
B
C
B
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 90 14. 2 15. 0.01 16.
三．解答题：本大题共6小题，共70分.
17．
18、(本题满分12分)
解：（Ⅰ）设中点为G，连结，．
因为//，且，，
所以//且，
所以四边形为平行四边形．……………2分
所以//，且．
因为正方形，所以//，，
所以//，且．
所以四边形为平行四边形……………4分
所以//．
因为平面，平面，
所以//平面． ……………………6分
（Ⅱ）如图建立空间坐标系，则，
，，，
所以，，
．……………8分
设平面的一个法向量为，
所以．
令，则，所以． ……………10分
设与平面所成角为，
则．
所以与平面所成角的正弦值是． ……………………12分
19. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意得，＝，c＝2，解得： .......................3分
所以椭圆C的方程为：＋＝1. .....................5分
（Ⅱ）设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)，
由消去y得3x2＋4mx＋2m2－8＝0，
由Δ＝96－8m2＞0，解得－2＜m＜2，..............................9分
所以x0＝＝－，y0＝x0＋m＝
因为点M(x0，y0)在曲线x2＋2y＝2上，
所以，解得..............................................11分
经检验， .....................................................12分
20. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由茎叶图可知，甲连锁店的数据是6,7,9,10，
乙连锁店的数据是5,7,10,10 ………2分
甲、乙数据的平均值为8.设甲的方差为,乙的方差为
则 ………4分
因为 所以甲连锁店该项指标稳定 . ............................6分
（Ⅱ）从甲、乙两组数据中各随机选一个，
甲的数据大于乙的数据概率为....................................7分
由已知，.........8分
的分布列为：
1
2
3
........................................................10分
数学期望 ………12分
21.(本小题满分12分）
解：（Ⅰ）
又，，
所以在处的切线方程为 ………4分
（II）
当时， 又函数的定义域为
所以 的单调递减区间为 ………6分
当 时，令，即，解得………7分
当时，，
所以，随的变化情况如下表
无定义
0
极小值
所以的单调递减区间为， ,
单调递增区间为 ........................................................10分
当时，
所以，随的变化情况如下表：
0
无定义
极大值
所以的单调递增区间为
单调递减区间为， ..................................12分
22．本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
解 （Ⅰ）由ρ＝2sinθ，得x2＋y2－2y＝0，
即x2＋(y－)2＝5. .......................................4分
法一（Ⅱ）将的参数方程代入圆C的直角坐标方程，
得2＋2＝5，即t2－3t＋4＝0.
由于Δ＝(3)2－44＝2>0，故可设t1，t2是上述方程的两实根，
所以
又直线过点P(3，)，
故由上式及t的几何意义得
|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3..................10分
法二 （Ⅱ）因为圆C的圆心为(0，)，半径r＝，
直线的普通方程为：y＝－x＋3＋.
得x2－3x＋2＝0.
不妨设A(1,2＋)，B(2,1＋)，又点P的坐标为(3， )
故|PA|＋|PB|＝＋＝3..............................10分
23.(本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
解 （Ⅰ）因为f(x＋2)＝m－|x|，
所以f(x＋2)≥0等价于|x|≤m，
由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}．
又f(x＋2)≥0的解集为[－1，1]，故m＝1. .......................................5分
（Ⅱ）由(1)知＋＋＝1，又a，b，c∈R＋，由柯西不等式得
a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)
≥＝9.
所以a＋2b＋3c的最小值为9. ............................................10分
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