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1、热点专题8 二次函数综合题型课程标准对二次函数这一知识点的学习要求比较高，它最能体现初中代数的综合性和能力性，因此，二次函数在近几年中考试卷中已形成必不可少的题型,2019年中考中对二次函数的考查角度有所调整，将二次函数的性质和特征作为试题主体来考查，促使我们在复习中把二次函数作为最核心的内容之一来学习，预计仍会以二次函数的性质和特征作为试题主体来考查，在此过程中会以周长、面积、相似、等腰三角形，特殊四边形以及新定义问题为载体进行命题.考向1 二次函数之周长与最值问题1（2019常德中考改编）如图11，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为（1，0
2、）（1）求二次函数的解析式；（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值解（1）设抛物线的解析式为y=，把B（1，0）代入解析式得：4a4=0，解得a=1，y=；（2）四边形MNHG为矩形，MNx轴，设MG=NH=n，把y=n代入y=，即n=，=0，由根与系数关系得=2，=n3，=4，=44（n3）=164n，MN= =2，设矩形MNHG周长为C，则C=2（MNMG）=2（2n）=42n，令=t，则n=4，C=24t8=2，20，t=1时，周长有最大值，最大值为10考向2二次函
3、数之面积问题2（2019衡阳）如图，二次函数y=x2bxc的图象与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E.（1）求该抛物线的函数关系表达式；（2）当点P在线段OB（点P不与O、B重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；（3）在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB，请问：MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）把A（1，0），B（3，0）代入y=x2bxc，得解得该抛物线的函数表达式为y=x22 x3；
4、（2）CPEB，OPEBCP=90，OPEOEP=90，OEP=BPC，tanOEP=tanBPC=设OE=y，OP=x，=整理，得y=x2x=（x）2当OP=时，OE有最大值，最大值为，此时点P在（，0）处.（3）过点M作MFx轴交BN于点F，N（0，3），B（3，0），直线的解析式为y=3 m.设M（m, m22 m3）,则MF=m23m，MBN的面积=OBMF=( m23m) =( m) 2 .点M的坐标为（，）时，MBN的面积存在最大值.考向3 二次函数之等腰三角形问题3（2019兰州）二次函数的图象交x轴于点（-1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单
5、位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MNx轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒.（1）求二次函数的表达式；（2）连接BD，当t=时，求DNB的面积；（3）在直线MN上存在一点P，当PBC是以BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标；（4）当t=时，在直线MN上存在一点Q，使得AQC+OAC=90,求点Q的坐标.解：（1）将点A（-1，0），B（4，0）代入y=ax2+bx+2，a=，b=，；（2）设直线BC的解析式为：y=kx+b，将点B（4，0），C（0，2）代入解析式，得： ，解得： ，BC的直线解析式为，当t=时，AM=3，AB=5，MB=2，M（2，
6、0），N（2，1），D（2，3），SDNB =SDMB -SMNB =MBDM-MBMN=22=2；（3）BM=5-2t，M（2t-1，0），设P（2t-1，m），PC2=（2t-1）2+（m-2）2，PB2=（2t-5）2+m2，PB=PC，（2t-1）2+（m-2）2=（2t-5）2+m2，m=4t-5，P（2t-1，4t-5），PCPB，t=1或t=2，M（1，0）或M（3，0），D（1，3）或D（3，2）；（4）当t=时，M（，0），点Q在抛物线对称性x=上，如图，过点A作AC的垂线，以M为圆心AB为直径构造圆，圆与x=的交点分别为Q1与Q2，AB=5，AM=，AQ1C+OAC=90，
7、OAC+MAG=90，AQ1C=MAG，又AQ1C=CGA=MAG，Q1（，），Q1与Q2关于x轴对称，Q2（，），Q点坐标分别为（，），（，）.考向4 二次函数之相似三角形问题4（2019娄底）如图（14），抛物线与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，3）点P、Q是抛物线上的动点（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线OD下方时，求POD面积的最大值（3）直线OQ与线段BC相交于点E，当OBE与ABC相似时，求点Q的坐标 解：（1）抛物线与x轴交于点A（1，0），点B（3，0），设抛物线的解析式为又抛物线过点 D（2，3），（2）如图，设PD与y轴相交于点
8、F，OD与抛物线相交于点G， 设P坐标为（），则直线PD的解析式为，它与y轴的交点坐标为F（0，2m3），则OF=2m+3 由于点P在直线OD下方，所以 当时，POD面积的最大值；（3）由得抛物线与y轴的交点C（0，3），结合A（1，0）得直线AC的解析式为，当OEAC时，OBE与ABC相似；此时直线OE的解析式为又的解为，；Q的坐标为和如图，作ENy轴于N，由A（1，0），B（3，0），C（0，3）得AB=3(1)=4，BO=3，BC=当即时 ，OBE与ABC相似；此时BE= 又OBCONE，NB=NE=2，此时E点坐标为（1，2），直线OE的方程为又的解为，； Q的坐标为和综上所述，Q的坐
9、标为，考向5 二次函数之特殊四边形问题5.（2019广安）如图，抛物线与轴交于、两点在的左侧），与轴交于点，过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，已知，点为抛物线上一动点（不与、重合）（1）求抛物线和直线的解析式；（2）当点在直线上方的抛物线上时，过点作轴交直线于点，作轴交直线于点，求的最大值；（3）设为直线上的点，探究是否存在点，使得以点、，、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）将点、的坐标代入直线表达式得：，解得：，故直线的表达式为：，将点、的坐标代入抛物线表达式，同理可得抛物线的表达式为：；（2）直线的表达式为：，则直线与轴的夹角为，即
10、：则，设点坐标为、则点，故有最大值，当时，其最大值为18；（3），当是平行四边形的一条边时，设点坐标为、则点，由题意得：，即：，解得：或0或4（舍去，则点坐标为，或，或；当是平行四边形的对角线时，则的中点坐标为，设点坐标为、则点，、，、为顶点的四边形为平行四边形，则的中点即为中点，即：，解得：或（舍去，故点；故点的坐标为：，或，或或考向6 二次函数之角度存在性问题6. (2019泰安) 若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A(3,0)、B(0,2),且过点C(2,2).(1)求二次函数表达式;(2)若点P为抛物线上第一象限内的点,且SPBA=4,求点P的坐标；(3)在抛物
11、线上(AB下方)是否存在点M,使ABO=ABM？若存在,求出点M到y轴的距离;若不存在,请说明理由.解：(1)抛物线y=ax2+bx+c过点(0,2),c=2,又抛物线过点(3,0)(2,2),解得,抛物线的表达式为；(2)连接PO,设点P()；则SPAB=SPOA+SAOBSPOB=,由题意得:m23m=4,m=4,或m=1(舍去),=,点P的坐标为(4,).(3)设直线AB的表达式为y=kx+n,直线AB过点A(3,0),B(0,2),3k+n=0,n=2,解之,得:k=,n=2,直线AB的表达式为:y=x2,设存在点M满足题意,点M的坐标为(t,).过点M作MEy轴,垂足为E,作MDx轴
12、交于AB于点D,则D的坐标为(t,t2),MD=,BE=|.又MDy轴,ABO=MDB,又ABO=ABM,MDB=ABM,MD=MB,MB=.在RtBEM中,+t2=,解之,得:t=,点M到y轴的距离为.考向7 二次函数之新定义问题7（2019江西省）特例感知：(1)如图1，对于抛物线，下列结论正确的序号是 ；抛物线，都经过点C(0，1)；抛物线，的对称轴由抛物线的对称轴依次向左平移个单位得到；抛物线，与直线y=1的交点中，相邻两点之间的距离相等.形成概念：(2)把满足（n为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”.知识应用在(2)中，如图2.“系列平移抛物线”的顶点依次为，用含n的代数式表示顶
13、点的坐标，并写出该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式；“系列平移抛物线”存在“系列整数点(横、纵坐标均为整数的点)”：，其横坐标分别为-k-1，-k-2，-k-3，-k-n(k为正整数)，判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由；在中，直线y=1分别交“系列平移抛物线”于点，连接，判断，是否平行？并说明理由.解：（1）对于抛物线，来说，抛物线，都经过点C(0，1)，正确；抛物线，的对称轴分别为：，抛物线，的对称轴由抛物线的对称轴依次向左平移个单位得到，正确；抛物线，与直线y=1的另一个交点的横坐标分别为：-1、-2、-3，抛物线，与直线y=1的交点中，相邻两点之间的距离相等.正确.答案：；（2）由可知，顶点坐标为（，），该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式为；当横坐标分别为-k-1，-k-2，-k-3，-k-n(k为正整数)，对应的纵坐标为：，相邻两点的距离相等，且距离为：.将y=1代入可得，x=-n（0舍去），点（-1，1），（-2，1），（-3，1），（-n，1）.当横坐标分别为-k-1，-k-2，-k-3，-k-n(k为正整数)，对应的纵坐标为：，点（-k-1，），（-k-2，），（-k-3，），（-k-n，）.设，的解析式分别为：y=px+q，y=mx+n，则，解得p=k+n，m=k+n-1，pm，不平行.