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1、学习必备欢迎下载课时作业 (十四 )空间向量与立体几何一、选择题1(2013 南昌模拟 )在空间中，已知 AB(2,4,0)，BC(1,3,0)，则 ABC的大小为 () A45B90C120D135【解析】由BA(2，4,0)，BC(1,3,0)得cosBA，BCBA BC|BA|BC|2122 51022，又 0 BA，BC180 ，ABC135 . 【答案】D 2(2013 山东高考 )已知三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面积是边长为3的正三角形若P 为底面 A1B1C1的中心，则 PA 与平面 ABC所成角的大小为 () A.512B.3C.4D.6【解析】画
2、出三棱柱 ABCA1B1C1，作出 PA 与平面 ABC 所成的角， 解三角形求角精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页学习必备欢迎下载如图所示， P 为正三角形 A1B1C1的中心，设 O 为 ABC 的中心，由题意知：PO平面ABC，连接 OA，则P AO 即为 PA 与平面 ABC 所成的角在正三角形 ABC 中，ABBCAC3，则 S34(3)23 34，VABCA1B1C1SPO94， PO3. 又 AO3331， tan PAOPOAO3，PAO3. 【答案】B 3在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD
3、是正方形，侧棱 PD平面 ABCD，ABPDa.点 E 为侧棱 PC 的中点，又作 DFPB 交 PB 于点 F.则 PB 与平面EFD 所成角为 () A30B45C60D90【解析】建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， D 为坐标原点则 P(0,0，a)，B(a，a,0)，PB(a，a，a)，又DE 0，a2，a2，PB DE0a22a220，所以 PB DE.由已知 DF PB，又 DFDED，所以 PB平面EFD，所以 PB 与平面 EFD 所成角为 90 . 【答案】D 4在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E 为 BB1的中点，则平面A1ED 与平精选学习资料 - - -
4、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页学习必备欢迎下载面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值为() A.12B.23C.33D.22【解析】以 A 为原点建立空间直角坐标系，如图设棱长为 1，则 A1(0,0,1)，E 1，0，12，D(0,1,0)，所以A1D(0,1，1)，A1E 1，0，12，设平面 A1ED 的一个法向量为 n1(1，y，z)，则yz0，112z0，所以y2，z2，所以 n1(1,2,2)设平面 ABCD 的一个法向量为 n2(0,0,1)，所以|cos n1，n2|23123. 即平面 A1ED 与平面 ABCD 所成的
5、锐二面角的余弦值为23.故选 B. 【答案】B 5P 是二面角 AB 棱上的一点，分别在 ， 平面上引射线 PM，PN，如果 BPMBPN45 ，MPN60 ，那么二面角 AB 的大小为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页学习必备欢迎下载() A60B70C80D90【解析】不妨设 PMa，PNb，作 ME AB 于点 E，NF AB 于点 F，如图因为 EPM FPN45 ，所以 PE22a，PF22b，所以EM FN(PMPE) (PNPF) PM PNPM PFPE PNPE PFabcos 60 a22bco
6、s 45 22abcos 45 22a22bab2ab2ab2ab20. 所以EM FN，所以二面角 AB的大小为 90 . 【答案】D 二、填空题6已知 a(2，1,1)，b(1,4，2)，c(11,5， )若向量 a，b，c共面，则 _. 【解析】由向量 a，b，c共面可得 cxayb(x，y R)，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页学习必备欢迎下载故有112xy，5x4y， x2y，解得x7，y3， 1.【答案】1 7(2013 湛江模拟 )已知空间不共面四点O、A、B、C，OA OBOA OCOB OC0，
7、且 |OA|OB|OC|，AMMB，则 OM 与平面 ABC 所成角的正切值是_【解析】由题意可知， OA、OB、OC 两两垂直，如图，建立空间直角坐标系，设 OAOBOC1，则 A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0，0,1)，M(12，12，0)，故AB(1,1,0)，AC(1,0,1)，OM(12，12，0)设平面 ABC 的法向量为 n(x，y，z)，则由n ABn AC，得xy0 xz0，令 x1，得平面 ABC的一个法向量为n(1,1,1)故 cos132263， 所以 OM 与平面 ABC 所成角的正弦值为63，正切值为2. 【答案】2 精选学习资料 - - - - - -
8、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页学习必备欢迎下载8如图 4311，正方体 ABCDA1B1C1D1，则下列四个命题：图 4311 P 在直线 BC1上运动时，三棱锥AD1PC 的体积不变；P 在直线 BC1上运动时，直线 AP 与平面 ACD1所成角的大小不变；P 在直线 BC1上运动时，二面角PAD1C 的大小不变；M 是平面 A1B1C1D1上到点 D 和 C1距离相等的点，则 M 点的轨迹是过 D1点的直线其中真命题的编号是 _(写出所有真命题的编号 )【解析】因为 BC1 AD1， 所以 BC1平面ACD1， BC1上任意一点到平面ACD1的
9、距离为定值，所以VAD1PCVPACD1为定值，正确； P 到面 ACD1的距离不变，但 AP 的长在变化，所以AP 与面 ACD1所成角的大小是变量，错误；面 PAD1即面 ABC1D1，所以面 ABC1D1与面 ACD1所成二面角的大小不变，正确； M 点的轨迹为 A1D1，正确【答案】三、解答题9(2013 江门模拟 )如图 4312，直角梯形 ABCD 中，ABCD，ABBC，AB1，BC2，CD12，过 A 作 AECD，垂足为 E.F、G 分别是 CE、AD的中点现将 ADE 沿 AE 折起，使二面角 DAEC 的平面角为 135 . 图 4312 (1)求证：平面 DCE平面 A
10、BCE；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页学习必备欢迎下载(2)求直线 FG 与平面 DCE 所成角的正弦值【解】(1)证明：DE AE，CE AE，DECEE，DE，CE? 平面 CDE， AE平面CDE， AE? 平面 ABCE，平面DCE平面ABCE. (2)以 E 为原点， EA、EC 所在直线分别为x，y 轴，建立空间直角坐标系 DE AE，CE AE，DEC 是二面角 DAEC 的平面角，即DEC135 ， AB1，BC2，折起前 CD12，折起前后 CE1，DE2不变， A(2,0,0)，B(2,1,
11、0)，C(0,1,0)，E(0,0,0)，D(0，1,1) F、G 分别是 CE、AD 的中点， F 0，12，0 ，G 1，12，12 FG 1，1，12，AE(2,0,0)，由(1)知AE是平面 DCE 的法向量，设直线 FG 与平面 DCE 所成角为 0 2，则 sin FG AE|FG|AE|232223，故直线 FG 与平面 DCE 所成角的正弦值为23. 10(2013 四川高考 )如图 4313，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱 AA1底面 ABC，ABAC2AA1，BAC120 ，D，D1分别是线段 BC，B1C1的中点，P 是线段 AD 的中点精选学习资料 - - - -
12、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页学习必备欢迎下载图 4313 (1)在平面 ABC内，试作出过点 P 与平面 A1BC 平行的直线 l，说明理由，并证明直线 l平面 ADD1A1；(2)设(1)中的直线 l 交 AB 于点 M，交 AC 于点 N，求二面角 AA1MN 的余弦值【解】(1)如图(1)，在平面 ABC 内，过点 P 作直线 l BC，因为 l 在平面A1BC 外，BC 在平面 A1BC 内，由直线与平面平行的判定定理可知，l平面A1BC. 因为 ABAC，D 是 BC 的中点，所以 BC AD，则直线 l AD. 因为 AA1
13、平面ABC，所以 AA1 l. 又因为 AD，AA1在平面 ADD1A1内，且 AD 与 AA1相交，所以直线 l平面ADD1A1. (1) (2)设 A1A1，则 ABAC2.如图，过点 A1作 A1E 平行于 C1B1，以点 A1为坐标原点，分别以 A1E，A1D1，A1A的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系 Oxyz(点 O 与点 A1重合 )，则 A1(0,0,0)，A(0,0,1)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页学习必备欢迎下载(2) 因为 P 为 AD 的中点，所以 M，N 分别
14、为 AB，AC 的中点，故 M32，12，1 ，N 32，12，1 ，所以A1M32，12，1 ，A1A(0,0,1)，NM( 3，0,0)设平面 AA1M 的一个法向量为 n1(x1，y1，z1)，则n1 A1M，n1 A1A，即n1 A1M0，n1 A1A0，故有x1，y1，z132，12，1 0，x1，y1，z1 0，0，1 0，从而32x112y1z10，z10.取 x11，则 y13，所以 n1(1，3，0)设平面 A1MN 的一个法向量为 n2(x2，y2，z2)，则n2 A1M，n2 NM，即n2 A1M0，n2 NM0，故有x2，y2，z232，12，1 0，x2，y2，z2
15、3，0，0 0，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页学习必备欢迎下载从而32x212y2z20，3x20.取 y22，则 z21，所以 n2(0,2，1)设二面角 AA1MN 的平面角为 ，又 为锐角，则 cos n1 n2|n1|n2|1，3，0 0，2，125155. 故二面角 AA1MN 的余弦值为155. 11(2013 济南模拟 )已知四边形 ABCD 是菱形，BAD60 ，四边形 BDEF是矩形，平面 BDEF平面 ABCD，G、H 分别是 CE、CF 的中点图 4314 (1)求证：平面 AEF平面 B
16、DGH. (2)若平面 BDGH 与平面 ABCD 所成的角为 60 ，求直线 CF 与平面 BDGH所成的角的正弦值【解】(1)G、H 分别是 CE、CF 的中点，所以 EF GH. 连接 AC 与 BD 交与 O，因为四边形 ABCD 是菱形，所以 O 是 AC 的中点，连接 OG，OG 是三角形 ACE 的中位线， OG AE. 又 EFAEE，GHOGG，则平面 AEF平面BDGH. (2)BF BD，平面 BDEF平面ABCD，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页学习必备欢迎下载所以 BF平面ABCD.
17、取 EF 的中点 N，连接 ON，则 ON BF， ON平面ABCD，建立空间直角坐标系如图所示，设AB2，BFt(t0)，则 B(1,0,0)，C(0，3，0)，F(1,0，t)，H12，32，t2，OB(1,0,0)，OH12，32，t2. 设平面 BDGH 的法向量为 n1(x，y，z)，n1 OBx0，n1 OH12x32yt2z0，即 n1(0，t，3)，平面 ABCD 的法向量 n2(0,0,1)，|cos n1，n2|33t212，所以 t29，t3，所以CF(1，3，3)，设直线 CF 与平面 BDGH 所成的角为 ，sin |cos CF，n1|6 3132 33 1313. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页学习必备欢迎下载精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页