资源描述
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2018年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
理科数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第I卷
注意事项：
1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：
如果事件A，B互斥，那么 .
如果事件A，B相互独立，那么 .
棱柱的体积公式，其中表示棱柱的底面面积，表示棱柱的高.
棱锥的体积公式，其中表示棱锥的底面面积，表示棱锥的高.
一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
(1)设全集为R，集合，，则
(A) (B) (C) (D)
(2)设变量x，y满足约束条件 则目标函数的最大值为
(A) 6 (B) 19 (C) 21 (D) 45
(3)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20，则输出T的值为
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
(4)设，则“”是“”的
(A)充分而不必要条件
(B)必要而不重复条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
(5)已知，，，则a，b，c的大小关系为
(A) (B) (C) (D)
(6)将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数
(A)在区间上单调递增 (B)在区间上单调递减
(C)在区间上单调递增 (D)在区间上单调递减
(7)已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点. 设A，B到双曲线同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为
(A) (B) (C) (D)
(8)如图，在平面四边形ABCD中，，，，. 若点E为边CD上的动点，则的最小值为
(A) (B) (C) (D)
2018年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数 学(理工类)
第Ⅱ卷
注意事项：
1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2. 本卷共12小题，共110分。
二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
(9) i是虚数单位，复数 .
(10) 在的展开式中，的系数为 .
(11) 已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥的体积为 .
(12)已知圆的圆心为C，直线(为参数)与该圆相交于A，B两点，则的面积为 .
(13)已知，且，则的最小值为 .
(14)已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是 .
三.解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（15）（本小题满分13分）
在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.
（I）求角B的大小；
（II）设a=2，c=3，求b和的值.
(16)(本小题满分13分)
已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16. 现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.
（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；
（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.
(17)(本小题满分13分)
如图，且AD=2BC，,且EG=AD，且CD=2FG，，DA=DC=DG=2.
（I）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：；
（II）求二面角的正弦值；
（III）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60，求线段DP的长.
(18)(本小题满分13分)
设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列. 已知，，，.
（I）求和的通项公式；
（II）设数列的前n项和为，
（i）求；
（ii）证明.
(19)(本小题满分14分)
设椭圆(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为，点A的坐标为，且.
（I）求椭圆的方程；
（II）设直线l：与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q. 若(O为原点) ，求k的值.
(20)(本小题满分14分)
已知函数，，其中a>1.
（I）求函数的单调区间；
（II）若曲线在点处的切线与曲线在点 处的切线平行，证明；
（III）证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.
参考答案：
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分40分．
（1）B （2）C （3）B （4）A
（5）D （6）A （7）C （8）A
二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分30分．
（9）4–i （10） （11）
（12） （13） （14）
三、解答题
（15）本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力．满分13分．
（Ⅰ）解：在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得B=．
（Ⅱ）解：在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=．
由，可得．因为a=，于是sin=．
所以，二面角E–BC–F的正弦值为．
（Ⅲ）解：设线段DP的长为h（h∈［0，2］），则点P的坐标为（0，0，h），可得．
易知，=（0，2，0）为平面ADGE的一个法向量，故
，
由题意，可得=sin60=，解得h=∈［0，2］．
所以线段的长为.
（18）本小题主要考查等差数列的通项公式，等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识.考查等差数列求和的基本方法和运算求解能力.满分13分.
（I）解：设等比数列的公比为q.由可得.
因为，可得，故.
设等差数列的公差为d，由，可得由，
可得 从而 故
所以数列的通项公式为，数列的通项公式为
（II）（i）由（I），有，故
.
（ii）证明：因为
，
所以，.
（19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线的性质．考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力．满分14分．
（Ⅰ）解：设椭圆的焦距为2c，由已知知，又由a2=b2+c2，可得2a=3b．由已知可得，，，由，可得ab=6，从而a=3，b=2．
所以，椭圆的方程为．
（Ⅱ）解：设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2）．由已知有y1>y2>0，故．又因为，而∠OAB=，故．由，可得5y1=9y2．
由方程组消去x，可得．易知直线AB的方程为x+y–2=0，由方程组
消去x，可得．由5y1=9y2，可得5（k+1）=，两边平方，整理得，解得，或．
所以，k的值为
（20）本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数与对数函数的性质等基础知识和方法.考查函数与方程思想、化归思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.满分14分.
（I）解：由已知，，有.
令，解得x=0.
由a>1，可知当x变化时，，的变化情况如下表：
x
0
0
+
极小值
所以函数的单调递减区间，单调递增区间为.
（II）证明：由，可得曲线在点处的切线斜率为.
由，可得曲线在点处的切线斜率为.
因为这两条切线平行，故有，即.
两边取以a为底的对数，得，所以.
（III）证明：曲线在点处的切线l1：.
曲线在点处的切线l2：.
要证明当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线，只需证明当时，存在，，使得l1和l2重合.学*科网
即只需证明当时，方程组有解，
由①得，代入②，得. ③
因此，只需证明当时，关于x1的方程③有实数解.
设函数，即要证明当时，函数存在零点.
，可知时，；时，单调递减，又
，，故存在唯一的x0，且x0>0，使得，即
.
由此可得在上单调递增，在上单调递减. 在处取得极大值.
因为，故，
所以.
下面证明存在实数t，使得.
由（I）可得，
当时，
有，
所以存在实数t，使得
因此，当时，存在，使得.
所以，当时，存在直线l，使l是曲线的切线，也是曲线的切线.
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