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1、1 反比例函数知识点归纳和典型例题（一）知识结构（二）学习目标1理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式（k 为常数，） ，能判断一个给定函数是否为反比例函数2能描点画出反比例函数的图象，会用代定系数法求反比例函数的解析式，进一步理解函数的三种表示方法，即列表法、解析式法和图象法的各自特点3能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数（k 为常数，）的函数关系和性质，能利用这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题4对于实际问题，能“ 找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题” 的过程，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型5进一步理解常
2、量与变量的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，进一步认识数形结合的思想方法（三）重点难点1重点是反比例函数的概念的理解和掌握，反比例函数的图象及其性质的理解、掌握和运用2难点是反比例函数及其图象的性质的理解和掌握二、基础知识（一）反比例函数的概念1（）可以写成（）的形式，注意自变量x 的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2（）也可以写成xy=k 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页2 数的解析式；3反比例函数的自变量，
3、故函数图象与x 轴、 y 轴无交点（二）反比例函数的图象在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x 的取值不能为0，且 x 应对称取点（关于原点对称）（三）反比例函数及其图象的性质1函数解析式：（）2自变量的取值范围：3图象：（1）图象的形状：双曲线越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直越小，图象的弯曲度越大（2）图象的位置和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随 x 的增大而增大（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，
4、）在双曲线的另一支上图象关于直线对称，即若（ a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上4 k 的几何意义如图 1，设点 P（a，b）是双曲线上任意一点，作PAx 轴于 A 点， PBy 轴于 B 点，则矩形PBOA 的面积是（三角形PAO 和三角形PBO 的面积都是） 如图 2，由双曲线的对称性可知，P 关于原点的对称点Q也在双曲线上， 作 QC PA的延长线于C，则有三角形PQC 的面积为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页3 图1 图2 5说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的
5、增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称（3）反比例函数与一次函数的联系（四）实际问题与反比例函数1求函数解析式的方法：（1）待定系数法； （2）根据实际意义列函数解析式2注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上（五）充分利用数形结合的思想解决问题三、例题分析1反比例函数的概念（1）下列函数中，y 是 x 的反比例函数的是（） Ay=3x BC3xy=1 D（2）下列函数中，y 是 x 的反比例函数的是（） ABCD答案： （1） C； （2）A精选学习资料 - - - - -
6、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页4 2图象和性质（1）已知函数是反比例函数，若它的图象在第二、四象限内，那么k=_若 y 随 x 的增大而减小，那么k=_（2）已知一次函数y=ax+b 的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第 _ 象限（3）若反比例函数经过点（，2） ，则一次函数的图象一定不经过第_ 象限（4）已知 a b0，点 P（a，b）在反比例函数的图象上，则直线不经过的象限是（） A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限（5）若 P（2，2）和 Q（m，）是反比例函数图象上的两点，则一次函数y=kx+m 的图象经过（） A第一、
7、二、三象限B第一、二、四象限C第一、三、四象限D第二、三、四象限（6）已知函数和（k 0） ，它们在同一坐标系内的图象大致是（） ABCD答案：（1）1； （2）一、三；（3）四； （4）C； （5）C； （6）B3函数的增减性（1）在反比例函数的图象上有两点，且， 则的值为 （ ） A正数B负数C非正数D非负数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页5 （2）在函数（a 为常数） 的图象上有三个点，则函数值、的大小关系是（） ABCD（3）下列四个函数中：；y 随 x 的增大而减小的函数有（） A0个B1个C2个D3个
8、（4）已知反比例函数的图象与直线y=2x 和 y=x+1 的图象过同一点，则当x0时，这个反比例函数的函数值 y 随 x 的增大而（填 “ 增大 ” 或“ 减小 ” ） 答案： （1） A； （2）D； （3）B注意， （3）中只有是符合题意的，而是在“ 每一个象限内” y 随 x 的增大而减小4解析式的确定（1）若与成反比例，与成正比例，则y 是 z 的（） A正比例函数B反比例函数C一次函数D不能确定（2）若正比例函数y=2x 与反比例函数的图象有一个交点为（2，m） ，则 m=_ ，k=_ ，它们的另一个交点为_ （3）已知反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象在第二、四象限，求的值（
9、4）已知一次函数y=x+m 与反比例函数（）的图象在第一象限内的交点为P （x 0，3） 求 x 0的值；求一次函数和反比例函数的解析式（5）为了预防 “ 非典 ” ，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页6 量 y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，y 与 x 成反比例（如图所示） ，现测得药物 8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克请根据题中所提供的信息解答下列问题：药物燃烧时y 关于 x 的函数关系式为_，自变量
10、 x 的取值范围是_；药物燃烧后y关于 x 的函数关系式为_研究表明， 当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始， 至少需要经过 _分钟后，学生才能回到教室； 研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？答案： （1） B；（2）4，8， （，） ；（3）依题意，且，解得（4）依题意，解得一次函数解析式为，反比例函数解析式为（5），；30；消毒时间为（分钟），所以消毒有效5面积计算（1）如图，在函数的图象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向x 轴、 y 轴作垂线，过每一点所作
11、的两条垂线段与x 轴、 y 轴围成的矩形的面积分别为、，则（） ABCD第（ 1）题图第（ 2）题图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页7 （2）如图， A、B 是函数的图象上关于原点O 对称的任意两点，AC/y 轴， BC/x 轴， ABC 的面积 S，则（ ） AS=1 B1S2CS=2 DS2 （3）如图， Rt AOB 的顶点 A 在双曲线上，且 SAOB=3 ，求 m 的值第（ 3）题图第（ 4）题图（4）已知函数的图象和两条直线y=x ，y=2x 在第一象限内分别相交于P1和 P2 两点，过 P1分别作
12、x 轴、y轴的垂线 P1Q1 ， P1R1 ，垂足分别为Q1，R1，过 P2 分别作 x 轴、 y 轴的垂线P2 Q 2 ，P2 R 2 ，垂足分别为Q 2， R 2，求矩形O Q 1P1 R 1 和 O Q 2P2 R 2 的周长，并比较它们的大小（5）如图， 正比例函数y=kx（k0）和反比例函数的图象相交于A、C 两点， 过 A 作 x 轴垂线交 x 轴于 B，连接 BC ，若 ABC 面积为 S，则 S=_第（ 5）题图第（ 6）题图（6）如图在RtABO 中，顶点 A 是双曲线与直线在第四象限的交点，ABx 轴于 B 且SABO=求这两个函数的解析式；求直线与双曲线的两个交点A、C
13、的坐标和 AOC 的面积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页8 （7）如图，已知正方形OABC 的面积为 9，点 O 为坐标原点，点A、C 分别在 x 轴、 y轴上，点 B 在函数（k0，x0）的图象上，点P （m，n）是函数（k0，x0）的图象上任意一点，过 P 分别作 x 轴、 y 轴的垂线，垂足为E、F，设矩形OEPF 在正方形OABC 以外的部分的面积为S 求 B 点坐标和k 的值； 当时，求点 P 的坐标； 写出 S 关于 m 的函数关系式答案： （1） D；（2）C； （ 3）6；（4），矩形 O Q 1
14、P1 R 1 的周长为 8，O Q 2P2 R 2 的周长为，前者大（5）1（6）双曲线为，直线为；直线与两轴的交点分别为（0，）和（，0） ，且 A（1，）和 C（，1） ，因此面积为 4（7） B（3，3） ，；时， E（6，0） ，；6综合应用（1）若函数y=k1x （k1 0）和函数（k2 0）在同一坐标系内的图象没有公共点，则k1 和 k2（） A互为倒数B符号相同C绝对值相等D符号相反精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页9 （2）如图，一次函数的图象与反比例数的图象交于A、B 两点： A（， 1） ，B（
15、1，n） 求反比例函数和一次函数的解析式； 根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围（3）如图所示，已知一次函数（k 0）的图象与x 轴、y 轴分别交于A、B两点，且与反比例函数（m 0）的图象在第一象限交于C 点， CD 垂直于 x 轴，垂足为D，若 OA=OB=OD=1 求点 A、B、D 的坐标； 求一次函数和反比例函数的解析式（4）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C、D 两点，坐标轴交于A、B 两点，连结OC，OD （O 是坐标原点） 利用图中条件，求反比例函数的解析式和m 的值； 双曲线上是否存在一点P，使得 POC 和POD 的面积相等？若存在，给出证明并求出点P 的坐标；若不存在，说明理由（5）不解方程，判断下列方程解的个数；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页10 （2） 反比例函数为，一次函数为；范围是或（3） A（0，） ，B（0，1） ，D（1，0） ；一次函数为，反比例函数为（4）反比例函数为，；存在（ 2，2） （5）构造双曲线和直线，它们无交点，说明原方程无实数解；构造双曲线和直线，它们有两个交点，说明原方程有两个实数解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页