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2018年普通高等学校招生全国统一考试
(新课标Ⅰ卷)
理科数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．设，则（ ）
A．0 B． C． D．
2．已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是（ ）
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4．记为等差数列的前项和．若，，则（ ）
A． B． C． D．12
5．设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．在中，为边上的中线，为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图所示，圆柱表面上的点
在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（ ）
A． B． C． D．2
8．设抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于，两点，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
9．已知函数，，若存在2个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，，的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为，，，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为，．若为直角三角形，则（ ）
A． B．3 C． D．4
12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若满足约束条件，则的最大值为________．
14．记为数列的前项和．若，则________．
15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．（用数字填写答案）
16．已知函数，则的最小值是________．
三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。）
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
在平面四边形中，，，，．
⑴求；
⑵若，求．
18．（12分）
如图，四边形为正方形，，分别为，的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．
⑴证明：平面平面；
⑵求与平面所成角的正弦值．
19．（12分）
设椭圆的右焦点为，过的直线与交于，两点，点的坐标为．
⑴当与轴垂直时，求直线的方程；
⑵设为坐标原点，证明：．
20．（12分）
某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．
⑴记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点；
⑵现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以⑴中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求；
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
21．（12分）
已知函数．
⑴讨论的单调性；
⑵若存在两个极值点，，证明：．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
⑴求的直角坐标方程；
⑵若与有且仅有三个公共点，求的方程．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知．
⑴当时，求不等式的解集；
⑵若时不等式成立，求的取值范围．
2018年普通高等学校招生全国统一考试
(新课标Ⅰ卷)
理 数 答 案
一、选择题
1.答案：
C
解答：
，∴，∴选C.
2.答案：
B
解答：
或，则.
3.答案：
A
解答：
假设建设前收入为，则建设后收入为，所以种植收入在新农村建设前为%，新农村建设后为；其他收入在新农村建设前为，新农村建设后为，养殖收入在新农村建设前为，新农村建设后为
故不正确的是A.
4.答案：
B
解答：
，∴.
5.答案：
D
解答：
∵为奇函数，∴，即，∴，∴，∴切线方程为：，∴选D.
6.答案：
A
解答：
.
7.答案：
B
解答：
三视图还原几何体为一圆柱，如图，将侧面展开，最短路径为连线的距离，所以，所以选B.
8.答案：
D
解答：
由题意知直线的方程为，设，与抛物线方程联立有，可得或，
∴，∴.
9.答案：
C
解答：
∵存在个零点，即与有两个交点，的图象如下：
要使得与有两个交点，则有即，∴选C.
10.答案：
A
解答：
取,则，
∴区域Ⅰ的面积为，区域Ⅲ的面积为，
区域Ⅱ的面积为，故.
11.答案：
B
解答：
渐近线方程为：，即，∵为直角三角形，假设，如图，∴，直线方程为.联立∴，即，∴，∴，故选B.
12.答案：
A
解答：
由于截面与每条棱所成的角都相等，所以平面中存在平面与平面平行（如图），而在与平面平行的所有平面中，面积最大的为由各棱的中点构成的截面，而平面的面积.
二、填空题
13.答案：
解答：
画出可行域如图所示，可知目标函数过点时取得最大值，.
14.答案：
解答：
依题意，作差得，所以为公比为的等比数列，又因为，所以，所以，所以.
15.答案：
解答：
恰有位女生，有种；
恰有位女生，有种，∴不同的选法共有种.
16.答案：
解答：
∵，∴最小正周期为，∴，令，即，∴或.
∴当，为函数的极小值点，即或,
当
∴.，，
∴最小值为.
三、解答题
17.
答案：
（1）；（2）5.
解答：
（1）在中，由正弦定理得：,∴, ∵,∴.
（2）,∴，∴,∴,∴.∴.
18.
答案：
（1）略；（2）.
解答：
（1）分别为的中点，则，∴，
又，，∴平面，
平面，∴平面平面.
（2），，∴，
又，，∴平面，∴，
设，则，，∴，
过作交于点，
由平面平面，
∴平面，连结，
则即为直线与平面所成的角，
由，∴，
而，∴，
∴与平面所成角的正弦值.
19.
答案：
（1）；（2）略.
解答：
（1）如图所示，将代入椭圆方程得，得，∴，∴，∴直线的方程为：.
（2）证明：当斜率不存在时，由（1）可知，结论成立；当斜率存在时，设其方程为，，联立椭圆方程有即，∴，，，∴，∴.
20.
答案：
略
解答：
（1）由题可知（）.
∴
∴当时，，即在上递增；当时，，即在上递减.
∴在点处取得最大值，即.
（2）（i）设余下产品中不合格品数量为，则，由题可知，∴.
∴（元）.
（ii）由（i）可知一箱产品若全部检验只需花费元，若余下的不检验则要元，所以应该对余下的产品作检验.
21.
答案：
（1）见解析；（2）见解析.
解答：
（1）①∵，∴，∴当时，，，∴此时在上为单调递增.
②∵，即或，此时方程两根为，当时，此时两根均为负，∴在上单调递减.当时，，此时在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.∴综上可得，时，在上单调递减；时，在，上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）可得，两根得，，令，∴，.∴，要证成立，即要证成立，∴，
即要证()
令，可得在上为增函数，∴，∴成立，即成立.
22.
答案：
（1）；（2）
解答：
（1）由可得：，化为.
（2）与有且仅有三个公共点，说明直线与圆相切，圆圆心为，半径为，则，解得，故的方程为.
23.
答案：
（1）；
（2）.
解答：
（1）当时，，
∴的解集为.
（2）当时，，当时，不成立.
当时，，∴，不符合题意.
当时，，成立.
当时，，∴，即.
综上所述，的取值范围为.
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