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1、优秀学习资料欢迎下载第 18 讲平面向量与解析几何在高中数学新课程教材中，学生学习平面向量在前，学习解析几何在后，而且教材中二者知识整合的不多，很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题，不会应用平面向量去解决解析几何问题。用向量法解决解析几何问题思路清晰，过程简洁，有意想不到的神奇效果。著名教育家布鲁纳说过：学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习兴趣衰退。这充分揭示方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，必然能引导学生拓展思路，减轻负担。一、知识整合平面向量是高中数学的新增内容，也是新高考的一个亮点。向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的
2、应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形与一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。而在高中数学体系中，解析几何占有着很重要的地位，有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量作形与数的转化，则会大大简化过程。二、例题解析例 1、 （ 2000 年全国高考题） 椭圆14922yx的焦点为F,1F2，点 P为其上的动点， 当 F1P F2为钝角时，点P横坐标的取值范围是_。解： F1（5,0 ）F2（5,0 ）, 设 P（3cos,2sin）21PFF为钝角1253cos , 2sin) ( 53cos , 2sin)PFPF（ =9cos254si
3、n2=5 cos210 解得：55cos55点 P横坐标的取值范围是（553,553）点评：解决与角有关的一类问题，总可以从数量积入手。本题中把条件中的角为钝角转化为向量的数量积为负值，通过坐标运算列出不等式，简洁明了。例 2、已知定点A(-1,0)和 B(1,0) ，P是圆 (x-3)2+(y-4)2=4上的一动点，求22PAPB的最大值和最小值。分析：因为 O为 AB的中点，所以2,PAPBPO故可利用向量把问题转化为求向量OP的最值。解：设已知圆的圆心为C，由已知可得： 1,0,1,0OAOB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1
4、 页，共 5 页优秀学习资料欢迎下载0,1OAOBOA OB又由中点公式得2PAPBPO所以222()2PAPBPAPBPA PB =2(2)2() ()POOAOPOBOP =224222()POOA OBOPOPOAOB =222OP又因为3, 4OC点 P在圆 (x-3)2+(y-4)2=4 上, 所以5,2,OCCP且OPOCCP所以OCCPOPOCCPOCCP即37OP故2222022100PAPBOP所以22PAPB的最大值为100，最小值为20。点评：有些解几问题虽然没有直接用向量作为已知条件出现，但如果运用向量知识来解决，也会显得自然、简便，而且易入手。例 3、 （20XX年天
5、津高考题）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足)|(ACACABABOAOP，0，则P的轨迹一定通过ABC的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心分析：因为| |ABACAB ACABAC、分别是与、同向的单位向量，由向量加法的平行四边形则知|ABACABAC是 与ABC的角平分 线（射线）同 向的一个向 量，又()ABACOPOAAPABAC，知 P点的轨迹是ABC的角平分线，从而点P的轨迹一定通过ABC的内心。反思：根据本题的结论，我们不难得到求一个角的平分线所在的直线方程的步骤；（1）由顶点坐标（含线段端点）或直线方程求得角两边的方向向量12v v、；（2
6、）求出角平分线的方向向量1212vvvvvP C y x A o B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页优秀学习资料欢迎下载（3）由点斜式或点向式得出角平分线方程。直线的点向式方程：过P（00,xy） ，其方向向量为( , )v a b，其方程为00 xxyyab 例 4、 （20XX年天津）已知常数0a，向量(0, )(1,0)ca ， i，经过原点O以ci为方向向量的直线与经过定点), 0(aA以2ic为方向向量的直线相交于点P，其中R试问：是否存在两个定点FE、，使得PEPF为定值， 若存在， 求出FE、的坐标
7、； 若不存在， 说明理由（本小题主要考查平面向量的概念和计算, 求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力. ）解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值. (0, )(1,0)ca ， i，ci=（，a） ，2ic=（ 1， 2a）. 因此，直线OP和 AP的方程分别为axy和axay2. 消去参数 ，得点),(yxP的坐标满足方程222)(xaayy. 整理得.1)2()2(81222aayx因为,0a所以得：（i ）当22a时，方程是圆方程，故不存在合乎题意的定点E
8、和 F；（ ii ）当220a时，方程表示椭圆，焦点)2,2121(2aaE和)2,2121(2aaF为合乎题意的两个定点；（ iii）当22a时，方程也表示椭圆，焦点)21(21,0(2aaE和)21(21,0(2aaF为合乎题意的两个定点. 点评：本题以平面向量为载体，考查求轨迹的方法、利用方程判定曲线的性质、曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力。去掉平面向量的背景，我们不难看到，本题即为下题：在OAP中，O （0， 0） 、A （0， a） 为两个定点， 另两边 OP与 AP的斜率分别是(0), 2aa，求 P的轨迹。而课本上有一道习题（数学第二册（上）第96 页练习题4）
9、 ：三角形 ABC的两个顶点A 、B的坐标分别是（-6 ， 0） 、 （6，0） ，边 AC 、BC所在直线的斜率之积等于49，求顶点C的轨迹方程。通过本例可见高考题目与课本的密切关系。例 5 （ 20XX年天津卷理22）椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于焦点F（c，0）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页优秀学习资料欢迎下载（0c）的准线l与 x 轴相交于点A，|OF|=2|FA|，过点 A的直线与椭圆相交于P、Q两点 . （1）求椭圆的方程及离心率；（2）若0OQOP，求直线PQ的方程；（3）设AQAP
10、（1） ，过点P 且平行于准线l的直线与椭圆相交于另一点M ，证明FQFM. 分析：本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质，直线方程，平面向量的计算，曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法和综合解题能力. （1）解：由题意，可设椭圆的方程为)2(12222ayax. 由已知得).(2, 2222ccacca解得2,6ca所以椭圆的方程为12622yx，离心率36e. （2）解：由（ 1）可得 A（3，0） . 设直线 PQ的方程为)3(xky. 由方程组)3(, 12622xkyyx得062718)13(2222kxkxk依题意0)32(122k，得3636k. 设),(),(2211yxQ
11、yxP，则13182221kkxx，136272221kkxx. 由直线 PQ的方程得)3(),3(2211xkyxky. 于是9)(3)3)(3(2121221221xxxxkxxkyy. 0OQOP，02121yyxx. 由得152k，从而)36,36(55k. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页优秀学习资料欢迎下载所以直线PQ的方程为035yx或035yx（2）证明：), 3(), 3(2211yxAQyxAP. 由已知得方程组.126, 126,),3(3222221212121yxyxyyxx注意1，解得2
12、152x因),(),0, 2(11yxMF，故), 1)3(),2(1211yxyxFM),21(),21(21yy. 而),21(),2(222yyxFQ，所以FQFM. 三、总结提炼由于向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”，使向量与解析几何之间有着密切联系，而新课程高考则突出了对向量与解析几何结合考查，这就要求我们在平时的解析几何教学与复习中，应抓住时机，有效地渗透向量有关知识，树立应用向量的意识。应充分挖掘课本素材，在教学中从推导有关公式、定理，例题讲解入手，让学生去品位、去领悟，在公式、定理的探索、形成中逐渐体会向量的工具性，逐渐形成应用向量的意识，在教学中还应注重引导学生善于运用一些问题的结论，加以引申，使之成为解题方法，体会向量解题的优越性，在教学中还应注重引导学生善于运用向量方法解题，逐步树立运用向量知识解题的意识。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页