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1、1.极限存在条件AxfxfAxfxx)()()(lim0002. 法则 1(夹逼法则 ) 若在同一极限过程中,三个函数)(1xf、)(2xf及)(xf有如下关系 : )()()(21xfxfxf且Axfxf)(lim)(lim21则Axf)(lim3.法则 2(单调有界法则) 单调有界数列一定有极限4.无穷小定理0)(lim)(limAxfAxf以-A 为无穷小，则以A 为极限。性质 1 有限个无穷小的代数和或乘积还是无穷小性质 2 有界变量或常数与无穷小的乘积是无穷小.性质 3 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 5.高阶同低阶无穷小，假设.0,且个无穷小是
2、同一变化过程中的两)(,0lim) 1(o记作较高阶的无穷小是比就说如果;,lim)2(较高阶的无穷小是比或者说较低阶的无穷小是比就说如果;),0(lim) 3(是同阶的无穷小与就说如果CCC=1 时，为等价无穷小。无穷小阶的的是就说如果kkCCk),0,0(lim)4(6. 则有若,)(lim,)(limBxgAxf)0()(lim)(lim)()(lim) 3()()(lim)()(lim)2()(lim)(lim)()(lim) 1(?BBAxgxfxgxfBAxgxfxgxfBAxgxfxgxf推论则为常数而存在若,)(limcxf)(lim)(limxfcxcf则为正整数而存在若,)
3、(limnxfnnxfxf)(lim)(lim例题11lim22xxx11lim22xxx1lim1limlim2222xxxxx317. 为非负整数时有和所以当nmba,0,000精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页,0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx当当当8.例题)2(lim2xxxx求)2(lim2xxxxxxxxxxxx2)2)(2(lim222xxxx22lim21212lim2xx=1 9.两个重要的极限1sinlim0 xxxxxx1sinlim=1 例题nxm
4、xxsinsinlim0求nxmxxsinsinlim0nxnxmxmxnmxsinsinlim0nmnxnxmxmxnmxxsinlimsinlim00 xxx1sinlim求所以时则当令.0,1txxtxxx1sinlim1sinlim0tttexxx)11 (limexxx10)1(lim例题xxx3)21(lim求xxx3)21(lim)3)(2(2)21(limxxxxx662)21(limexxx例题 2 xxxx)11(lim求xxxx)11(limxxx)121(lim)121 ()121(lim221xxxx221ee ?解法 2 xxxxx)11()11(lim211)11
5、(lim)11 (limeeexxxxxx10.函数在一点 连续 的充分必要条件是;)() 1(0处有定义在点 xxf;)(lim)2(0存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx11. .)()(00处既左连续又右连续在是函数处连续在函数xxfxxf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页12.满足下列三个条件之一的点0 x为函数)(xf的间断点 . ;)() 1(0没有定义在点 xxf;)(lim)2(0不存在xfxx).()(lim,)(lim) 3(000 xfxfxfxxxx但存在跳跃间断点.)(),
6、(lim)(lim,)(0000断点的跳跃间为函数则称点但右极限都存在处左在点如果xfxxfxfxxfxxxx可去间断点.)(,)(),()(lim,)(00000的可去间断点为函数称点则处无定义在点或但处的极限存在在点如果xfxxxfxfAxfxxfxx跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点为左右极限都存在第二类间断点左右极限至少有一个是不存在的第二类间断点中包括无穷间断点（有一段的极限为正或负无穷）震荡间断点（xx1sinlim0）13.例题.)1ln(lim0 xxx求xxx10)1ln(lim原式eln=1 14.（最值定理）若函数)(xfy闭区间,ba上连续，则)(xfy在
7、闭区间,ba上必有最大值和最小值（有界性定理）若函数)(xfy闭区间,ba上连续，则其在闭区间上必有界（介值定理）若函数)(xfy闭区间,ba上连续，则对介于)(af和)(bf之间的任何数 C，至少存在一个),(ba，使得cf)(根的存在定理两侧异号至少有一根。15.函数在一点可导的充分必要条件为：)()(00 xfxf16.可导的函数一定是连续的连续不一定可导17.导数.0)(常数的导数是零C.)(1nnnxxcos)(sinxxsin)(cosxxaxxaln1)(logxx1)(ln.csc)(cot2xx.sec)(tan2xxxxxtansec)(sec.cotcsc)(cscxxx
8、aaaxxln)(xxee )()(arcsin x.112x.11)(arccos2xx;11)(arctan2xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页.11)(cot2xx反函数的导数等于直接函数导数的倒数)0)()()()()()()()() 3();()()()( )()( )2();()( )()() 1(2xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxunnuuuuuu2121)() 1(uCCu)()2(nnnuuuuuuuuu212121)()3(nuuu21因变量对自变量求导
9、，等于因变量对中间变量求导，乘以中间变量对自变量求导.(锁链法则 ) )()()(xvufy隐函数求导法则两边对 X 求导例题已知函数 y 是由椭圆方程12222byax所确定的求y方程两边分别关于x 求导 ,由复合函数求导法则和四则运算法则有02222ybyax解得yaxby22例题 2 exyeyyxyyeyxeyyy对数求导法先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出导数. 例题3)4)(3()2)(1(xxxxy)4ln()3ln()2ln() 1ln(31lnxxxxy)41312111(311xxxxyy)41312111()4)(3()2)(1(313xxxxxxxxy高
10、阶导数xysin)2sin()(nxyn)2cos()(cos)(nxxn18. ).(,)()(000 xfAxxfxxf且可导处在点数可微的充要条件是函在点函数即).(.0 xfA可微可导19.基本初等函数的微分公式dxxxarcddxxxd2211)cot(11)(arctan精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221
11、dxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx2211)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)(20.函数和、差、积、商的微分法则2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud例题.,cos31dyxeyx求设)(cos)(cos3131xdeedxdyxxxxeexxsin)(cos3)(3131dxxedxexdyxx)sin()3(cos3131dxxxex)sincos3(31微分形式不变性微分形式始终为dxxfdy)(21.Lagrange 中值定理如果函数)(xf在闭区间,ba上连续 ,
12、在开区间),(ba上可导 ,则在),(ba内至少存在一点,使下面等式成立)()()(abfafbf推论则有如果对于任意, 0)(),(xfbaxcxf)()( 为常数c则有如果对于任意),()(),(xgxfbaxcxgxf)()()( 为常数c例题证明2arccosarcsinxxxxxfarccosarcsin)(设0)11(11)(22xxxfCxf)(0arccos0arcsin)0(f又2022C即2arccosarcsinxx22. 洛必达法则型未定式解法型及:00如果函数)(xf与)(xg满足下列三个条件00 ，导数都存在且0)(xg，精选学习资料 - - - - - - - -
13、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 16 页)()(limxgxf存在或者无穷大则当0 xx或x则有)()(lim)()(limxgxfxgxf型未定式解法00,1 ,0,010.0100或01010000ln01ln0ln01000取对数.0例题xxx1)(lim求xxxxxexln11limlim011limlnlimln1limxxxxxxxx1)(lim0ln1lim1eexxxxxx洛必达法则不是万能的.limxxxxxeeee求洛必达不能求解111limlim22xxxxxxxxeeeeee(两边同乘以xe) 23.可导函数的的极值点必定是驻点,但函数的驻
14、点不一定是极值点. （驻点为可导但是导数值为 0 的点）函数的不可导点,也可能是函数的极值点. 判断是否为极值点要计算驻点两侧倒数的符号是否不同求驻点处的二阶导数若二阶导数为正值则为极小值负值则为极大值为零则不能判断24.二阶导数为正值则为凹的负值则为凸的分界点为拐点在拐点处二阶导数为零或二阶导数不存在函数作图求定义域函数的奇偶性和周期性求一阶和二阶导数讨论极值点和拐点渐近线列表25. dxxkf)(dxxfk)(dxxgxf)()(dxxgdxxf)()(基本积分公式);1(1) 1(1CxdxxCxxdxln)2(3 dxaxCaaxln4 dxexCexxdxcos)5(Cxsinxdx
15、sin)6(Cxcosx2sec)7(Cxtanx2csc)8(Cxcotdxx211)9(CxarcCxcotarctan精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页dxx211)10(CxCxarccosarcsin26. 第 一 类 换 元 法 ( 凑 微 分 法 ) 可导具有原函数设)(),()(xuuFuf则 有dxxxf)()(CxFduufxu)()()(xdxsecCxx)tanln(secCxxxdx)cotln(csccsc凑微分的集中常见形式1)()()(.1111nxdxfdxxxfnnnn)()(2
16、)(.2xdxfdxxxf)(ln)(ln)(ln.3xdxfdxxxf)1()1()1(.42xdxfdxxxf、)(sin)(sincos)(sin.5xdxfxdxxfxxxxdeefdxeef)()(.6xdxfxdxxftan)(tansec)(tan.72)(arctan)(arctan1)(arctan.82xdxfdxxxf27.第二类换元积分法dtttfdxxf)( )()(（根式代换）例题求.)1(13dxxx令6txdttdx56dxxx)1(13dtttt)1 (6235dttt2216dttt2216dttt221116dttdt21166Ctt)arctan(6Cx
17、x)arctan(666三角代换的形式22) 1(xa;sin tax22)2(xa;tantax22) 3(ax.sectax倒数代换ux1也为常用的形式28.分部积分法duvuvudv使用时应注意的问题要容易求得；）（v1.2容易积出要比）（udvvdu例题.arctanxdxx令,arctanxudvxdxdx22xdxxarctan)(arctan2arctan222xdxxxdxxxxx222112arctan2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页xxarctan22dxx)111 (212Cxxxx)ar
18、ctan(21arctan22例题 2 .lndxxxxuududx2ududxxxln2ln)ln(2duuuCuu)1(ln2Cxx)1(ln229.有理函数的积分待定系数法分母中若有因式kax)(， 则分解后为axAaxAaxAkkk121)()(kAAA,21待定的常数分母中有kqpxx)(2分解后为qpxxNxMqpxxNxMqpxxNxMkkkk21222211)()(其中042qpiiNM ,待定的常数例题.136222dxxxx分母实数范围内不能因式分解则用凑分法dxxxxdxxxx136462136222222222)3(4136)136(xdxdxxxxxdCxxx23ar
19、ctan2)136ln(230.定积分iinibaxfdxxf)(lim)(10相关性质babadxxfkdxxkf)()(k 为常数badxxgxf)()(badxxf)(badxxg)(badxxf)(bccadxxfdxxf)()(. ,ba上)()(xgxfdxxfba)(dxxgba)(设 M 及 m 分别是函数)(xf在区间,ba上的最大值及最小值,则)()()(abMdxxfabmba定积分中值定理dxxfba)()(abf)(ba积分上限函数xadttfxG)()(,bax有)()()(xfdttfxGxa)(bxa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结
20、 - - - - - - -第 8 页，共 16 页例题dtttyx13321求导数先化为积分上限函数dtttyx31321视为dtttyu13213xu的复合函数)()21(313xdtttduddxdududydxdyuxxx2)1(332例题 2 322dtexxt3222322dtedtedtexataxtxxt3222dtedtexatxat)()(3264xexexx64232xxexxe微积分基本定理)()()()(aFbFabxFdxxfba定积分的换元法dtttfdxxfba)()()(例题1032) 1(dxxx设tx120 x; 1t1x2t所以有102321032)1(
21、)1(21)1(xdxdxxx8151281214213tdtt不换新变量就不要改变积分上下限102321032) 1() 1(21)1(xdxdxxx81501) 1(8142x例题 2 .11022dxxx设tdtdxtxcos,sin0 x; 0t1x2t10221dxxxtdtttcossin1sin2022dtttdtt20222022sin41cossin02)4sin41(81)4cos1(8120ttdtt16定积分的分部积分法babavduabuvudv例题.10dxxex10101001dxexexdedxxexxxx1)1(01eeeexeedxxxexxxdx1111l
22、nln11exe精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页31.用定积分求面积和 旋转体的体积旋转体的体积dxydxxfVbaba22)(（绕 x 轴形成的）dcVdyy2)(dxxdc2(绕 y 轴形成的 ) 例题42xy0 x1y绕 y 轴形成的体积用公式dyxba2dyxV102dyy10420122y32.无穷区间的广义积分adxxf)(babdxxf)(lim极限存在则为广义积分存在或收敛极限不存在则为广义积分不存在或发散相应的有形式bdxxf)(baadxxf)(limbdxxf)(baadxxf)(lim牛顿
23、公式axFaFbFdxxfba)()()(lim)(0)(0)()(xFxFdxxfbxFaFbFdxxfab)()(lim)()(例题.1)3(2xdx21xdx021xdx021xdx（原函数为正切函数）无界函数的广义积分badxxf)(badxxf)(lim0badxxf)(cadxxf)(bcdxxf)(bccadxxfdxxf2211)(lim)(lim00)0,0(21若)(limxfcx只有当上式右端两个极限都存在时则称badxxf)(收敛否则为发散。例题求.1102xdx2111limxx1x是无穷间断点1021xdx10201limxdx01arcsinlim0 x20)1a
24、rcsin(lim0计算.112xdx？33.平面的一般方程0DCzByAx圆柱面222Ryx椭圆抛物面22yxz双曲抛物面)0,0(2222babyaxz精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页圆锥面222yxz（二元函数的图像通常为一张曲面）34.二元函数的相关定义及性质同一元函数相近35.偏导数同全微分xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000yyxfyyxfyxfyy),(),(lim),(0000000二阶偏导数),(22yxfxzxzxxx),(22yxfyzyzyyy),(2yxfy
25、xzxzyxy),(2yxfxyzyzxyx（混合偏导数）混合偏导数并不都是都相等的. 定理如果),(yxfz得两个二阶混合偏导数yxz2xyz2在区域 D 内连续，那么有该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。全微分yBxAdz如果函数),(yxfz在点),(yxP处可微分， 则该函数在该点处的偏导数必存在。且函数在该点处的全微分为yyzxxzdz一元函数在某点的导数存=微分存在多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在有偏导数存在且连续，全微分才存在偏导数在某点连续则在该点处可微(可微的充分条件) 若函数在某点可微分则在该点偏导数必定存在(可微的必要条件) 例题xyzarctan的全微分22y
26、xyxz22yxxyz22yxxdyydxdz36. ),(yxu),(yxv),(yx点偏导数存在，),(vufz在对应点),(vu可微，则复合函数在),(yx存在对 x y 的偏导数。xvvzxuuzxzyvvzyuuzyz例题vuzln2yxuyxv23求xzyzxzuzxuvzxv31ln22vuyvu)23(3)23ln(2222yxyxyxyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页yzuzyuvzyv)2()(ln222vuyxvu)23(2)23ln(22222yxyxyxyx中间变量既有一元函数又有二
27、元函数的情形),(yxufz),(yxu即,),(yxyxufz则有,xfxuufxz.yfyuufyz例题yxuxyuz2,32求xzyzyuxfxuufxz322yxyyx783)2(4xuyfyuufyz312yxxyx273)2(2中间变量均为一元函数设),(vufz可微且有)(, )(xvvxuu有)(),(xvxufz为 x 的一元函数有dxdvvzdxduuzdxdz例题vuez2xusin3xv求dxdz有dxdvvzdxduuzdxdz22232cosxexevuvu)6(cos22sin3xxexx37.隐函数微分法一元隐函数求导设0),(yxF确定的一元隐函数为)(xfy
28、则有0)(,xfxF则有0dxdyyFxF若0yF则有zxFFdxdy例题0 xxeyy所确定的函数)(xyy的导数.dxdy则有0),(xxeyyxFy, 1yexF01yxeyF所以有yyyyxeexeedxdy1111二元隐函数的求导方法0),(zyxF所确定的函数为),(yxfz（二元隐函数）0),(,yxzyxF两侧分别求导0,0yzzFyFxzzFxF若0yF则有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页zxFFxzzyFFyz例题0 xyzez所确定的函数的偏导数xyzezyxFz),(0,xyeFxzFy
29、zFzzyx所以有xyeyzFFxzzzxxyexzFFyzzzy38.设函数),(yxfz在点),(00yx处取得极值且在改点处两个一阶偏导数都存在则必有,0),(00yxfx0),(00yxfy（极值点也可能不是驻点.）设 函 数),(yxfz在 点),(00yx的 某 临 域 内连 续 且 有 一 阶及 二 阶 连续 偏 导 数 。 又有0),(00yxfx0),(00yxfy令Ayxfxx),(00Byxfxy),(00Cyxfyy),(00当02ACB时 该点为极值点（A0 则为极小值点）02ACB时 不为极值点02ACB时 不能确定39.条件极值求yxfz,在约束条件0, yxg下
30、的极值构造辅助函数 (lagrange 函数 ) yxgyxfyxF,（为常数）求0,0,0,yxgFyxgyxfFyxgyxfFyyyxxx解方程组若),(000yx为一解则),(00yx是可能的条件极值点（用题中所给条件判定）40.二重积分DDdxdyyxfdyxf),(),(二重积分的相关性质DDdyxfkdyxkf),(),(Ddyxgyxf),(),(DDdyxgdyxf),(),(21),(),(),(DDDdyxfdyxfdyxf（区域可加性）DDdd1(为 D 的面积 ) 若 D 上有),(),(yxgyxf则有.),(),(DDdyxgdyxf精选学习资料 - - - - -
31、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页DMdyxfm),(（Mm 分别为最大值和最小值，为 D 的面积 ) ),(),(fdyxfD（至少存在一点满足此式）二重积分可化为二次定积分计算dyyf(xdxba(x)(x),21dxyf(xdydc(y)(y),21(x-型先 y 后 x，y-型先 x 后 y) 例题Ddxdyyx)(222xy2yx为区域求面积) 1 , 1(,)0, 0(22yxxy（求两曲线的交点）X-型xyxx210Ddxdyyx)(22dxdyyxxx)(10222dxyyxxx21032)3(dxxxxxx106432)33)
32、(10752527)21515272(xxxx356积分区域是圆域或圆域的一部分时通常用极坐标积分DDddfdxdyyxf)sin,cos(),(例题dxdyeDyx22区域 D,222ayx.0,0 yx有20，a0所以有dxdyeDyx22aded0202ade02220)(42dea)1 (42ae41.微分方程例题一曲线经过)2, 1(，该曲线上任意一点的切线的斜率为x2，求该曲线方程。设曲线为)(xfyxdxdy2（根据导数的几何意义）即xdxdy2两边积分xdxdy2得Cxy2（ C 为任意常数）根据点有12xy一阶微分方程),(yxFy或).,(yxFdxdy高阶微分方程),()
33、1()(nnyyyxFy微分方程的实质联系自变量 ,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分 )之间的关系式. 42.可分离变量的微分方程)()(ygxfdxdy（等式右端的函数可分解成x 的函数与y 的函数相乘的形式 .）一阶线性微分方程)()(xQyxPdxdy,0)(xQ当为其次的。 不衡为零时， 为非其次的。（线性指为微分方程仅有y 得一阶导数，且y 和 y 都是一次幂精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页0)(yxPdxdy的通解为dxxPCey)()()(xQyxPdxdy的通解为dxxPdxxPeCdxe
34、xQy)()()(dxexQeCedxxPdxxPdxxP)()()()(例题求微分方程xexyysincos的通解,cos)(xxPxexQsin)(CdxeeeyxdxxxdxcossincosCdxeeexxxsinsinsinCxexsinxxCexesinsin可降解的二阶微分方程)(xfy连续两次积分例题xeyxcos2积分一次12sin21Cxeyx积分两次212cos41CxCxeyxyxfy,xpy设pdxdpy则则原方程为pxfp,一阶微分方程求解例题01yxy求通解,xpy设pdxdpy则原方程化为xpp分离变量xdxpdp两边积分xCpCxp12lnlnln或)2(1C
35、CxCypy12代入得将所以原方程的通解为221CxCyyyfy,),( ypy设dydppdxdydydpdxdpy则pyfdydp,p原方程化为1,Cypy设其通解为分离变量并积分，便得原方程的通解为21,CxCydy例题.2的通解求方程yyy),(ypy设dydppy则代入原方程ypdydpP20p若上式化为ydypdp得1lnlnlnCypyC1p即yCdxdyy1分离变量并积分21lnlnCxCy即xCeCy12Cyp:,0 则立即可得若所以解为xCeCy1243.二阶常系数线性微分方程)(xfCyyByA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -
36、 - - -第 15 页，共 16 页二阶常系数线性齐次微分方程0CyyByA定理若函数)(1xy)(2xy是方程0CyyByA的两个解则有)()(2211xyCxyCy也为一解（1C2C为任意常数）若)(1xy)(2xy是方程0CyyByA的两个线性无关的特解)()(2211xyCxyCy为通解（1C2C为任意常数）线性无关指)()(12xyxy常数0CyyByA的解法,xey设代入原方程0)(2xeCBA,0 xe所以有02CBA（特征方程）特征根AACBB2422,1讨论042ACB有两个相异的特征根（前者为后者为）所以通解为xxeCeCy2121042ACB方程有两个相等的实根特征根为,221AB通解为xexCCy1)(21042ACB方程有一对共轭复根特征根为,1ii2通解为).sincos(21xCxCeyx例题求054yyy满足初始条件1)0(y2)0(y的特解特征方程为0542两个实数根5, 121通解为xxeCeCy521求导xxeCeCy5215根据条件有21,2121CC所以特解为xxeey52121精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页