2021高三数学北师大版(文)一轮课后限时集训:53 抛物线 .doc

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1、抛物线建议用时:45分钟一、选择题1(2019全国卷)若抛物线y22px(p0)的焦点是椭圆1的一个焦点,则p()A2B3C4D8D抛物线y22px(p0)的焦点坐标为,椭圆1的焦点坐标为(,0)由题意得,p0(舍去)或p8.故选D.2(2019厦门模拟)已知抛物线ypx2(其中p为常数)过点A(1,3),则抛物线的焦点到准线的距离等于()A.B. C.D.D由抛物线ypx2(其中p为常数)过点A(1,3),可得p3,则抛物线的标准方程为x2y,则抛物线的焦点到准线的距离等于.故选D.3顶点在原点,且过点(4,4)的抛物线的标准方程是()Ay24xBx24yCy24x或x24yDy24x或x2

2、4yC设所求抛物线方程为y2kx或x2my,又点(4,4)在抛物线上,则有4k16或4m16,解得k4或m4,所求抛物线方程为y24x或x24y.故选C.4已知AB是抛物线y28x的一条焦点弦,|AB|16,则AB中点C的横坐标是()A3B4 C6D8C设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|x1x2p16,又p4,所以x1x212,所以点C的横坐标是6.5(2019龙岩模拟)若直线AB与抛物线y24x交于A,B两点,且ABx轴,|AB|4,则抛物线的焦点到直线AB的距离为()A1B2 C3D5A由|AB|4及ABx轴,不妨设点A的纵坐标为2,代入y24x得点A的横坐标为2,从而直线A

3、B的方程为x2.又y24x的焦点为(1,0),所以抛物线的焦点到直线AB的距离为211,故选A.二、填空题6若抛物线x24y上的点A到焦点的距离为10,则点A到x轴的距离是_9根据题意,抛物线x24y的准线方程为y1,点A到准线的距离为10,故点A到x轴的距离是9.7已知正三角形AOB(O为坐标原点)的顶点A,B在抛物线y23x上,则AOB的边长是_6如图,设AOB的边长为a,则A,点A在抛物线y23x上,a23a,a6.8直线yk(x1)与抛物线y24x交于A,B两点,若|AB|,则k_.设A(x1,y1),B(x2,y2),因为直线AB经过抛物线y24x的焦点,所以|AB|x1x22,所以

4、x1x2.联立得到k2x2(2k24)xk20,所以x1x2,所以k.三、解答题9已知抛物线y22px(p0)过点A(2,y0),且点A到其准线的距离为4.(1)求抛物线的方程;(2)直线l:yxm与抛物线交于两个不同的点P,Q,若OPOQ,求实数m的值解(1)已知抛物线y22px(p0)过点A(2,y0),且点A到准线的距离为4,24,p4,抛物线的方程为y28x.(2)由得x2(2m8)xm20.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1x282m,x1x2m2,y1y2x1x22m8,y1y2(x1m)(x2m)x1x2m(x1x2)m28m.OPOQ,x1x2y1y2m28m0,m0

5、或m8.经检验,当m0时,直线与抛物线交点中有一点与原点O重合,不符合题意当m8时,(24)24640,符合题意综上,实数m的值为8.10如图,已知点F为抛物线E:y22px(p0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|3.(1)求抛物线E的方程;(2)已知点G(1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:GF为AGB的平分线解(1)由抛物线定义可得|AF|23,解得p2.抛物线E的方程为y24x.(2)证明:点A(2,m)在抛物线E上,m242,解得m2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2),由A(2,2),F(1,0),直线AF的方程为y2(x1),由得2x25x20,解得x2或,B

6、.又G(1,0),kGA,kGB,kGAkGB0,AGFBGF.GF为AGB的平分线1已知抛物线C:y22px(p0)的焦点为F,准线方程为x2,过点F的直线与抛物线C交于M(x1,y1),N(x2,y2)两点,若|MN|8,则yy()A16B32 C24D48B由准线方程为x2,可知p4,则抛物线C的方程为y28x.由抛物线的定义可知,|MN|MF|NF|x1x248,则x1x24,即4,故yy32.故选B.2(2019大庆模拟)已知F是抛物线C:y22px(p0)的焦点,过点R(2,1)的直线l与抛物线C交于A,B两点,R为线段AB的中点若|FA|FB|5,则直线l的斜率为()A3B1 C

7、2D.B由于R(2,1)为AB中点,设A(xA,yA),B(xB,yB)根据抛物线的定义|FA|FB|xAxBp22p5,解得p1,抛物线方程为y22x.y2xA,y2xB,两式相减并化简得1,即直线l的斜率为1.故选B.3已知抛物线y22px(p0)的焦点F与双曲线y21的右焦点重合,若A为抛物线在第一象限上的一点,且|AF|3,则直线AF的斜率为_2双曲线y21的右焦点为(2,0),抛物线方程为y28x.|AF|3,xA23,得xA1,代入抛物线方程可得yA2.点A在第一象限,A(1,2),直线AF的斜率为2.4已知抛物线y22px(p0)的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4,且位于x轴上方

8、的点,A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M.(1)求抛物线的方程;(2)若过M作MNFA,垂足为N,求点N的坐标解(1)抛物线y22px(p0)的准线为x,于是45,p2.抛物线方程为y24x.(2)点A的坐标是(4,4),由题意得B(0,4),M(0,2)又F(1,0),kFA,MNFA,kMN.FA的方程为y(x1),MN的方程为y2x,联立,解得x,y,点N的坐标为.1已知直线l:yk(x2)(k0)与抛物线C:y28x相交于A,B两点,F为C的焦点若|FA|2|FB|,则k()A.B.C.D.D由消去y得k2x2(4k28)x4k20.(4k28)

9、216k40,解得1k1.设A(x1,y1),B(x2,y2)x1x24.x1x24.根据抛物线的定义及|FA|2|FB|,得x122(x22),即x12x22,且x10,x20,由解得x14,x21,代入得k2,k0,k.故选D.2已知抛物线C:x22py(p0),过焦点F的直线交C于A,B两点,D是抛物线的准线l与y轴的交点(1)若ABl,且ABD的面积为1,求抛物线的方程;(2)设M为AB的中点,过M作l的垂线,垂足为N.证明:直线AN与抛物线相切解(1)ABl,|FD|p,|AB|2p.SABDp2,p1,故抛物线C的方程为x22y.(2)设直线AB的方程为ykx,由得x22kpxp20.x1x22kp,x1x2p2.其中A,B.M,N.kAN.又x22py,y.抛物线x22py在点A处的切线斜率k.直线AN与抛物线相切

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