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1、三角函数的图像与性质建议用时：45分钟一、选择题1下列函数中，周期为2的奇函数为()Aysin cos Bysin2xCytan 2xDysin 2xcos 2xAysin2x为偶函数；ytan 2x的周期为；ysin 2xcos 2x为非奇非偶函数，故B、C、D都不正确，故选A.2函数y|cos x|的一个单调增区间是()A.B0，C.D.D将ycos x的图像位于x轴下方的图像关于x轴对称翻折到x轴上方，x轴上方(或x轴上)的图像不变，即得y|cos x|的图像(如图)故选D.3如果函数y3cos(2x)的图像关于点对称，那么|的最小值为()A.B.C.D.A由题意得3cos3cos3co
2、s0，所以k，kZ.所以k，kZ，取k0，得|的最小值为.4函数ycos2x2sin x的最大值与最小值分别为()A3，1B3，2C2，1D2，2Dycos2x2sin x1sin2x2sin xsin2x2sin x1，令tsin x，则t1,1，yt22t1(t1)22，所以ymax2，ymin2.5已知函数f(x)4sin(x)(0)在同一周期内，当x时取最大值，当x时取最小值，则的值可能为()A.B. C.D.CT2，故2，又22k，kZ，所以2k，kZ，所以的值可能为.故选C.二、填空题6函数ycos的单调递减区间为_(kZ)因为ycoscos，所以令2k2x2k(kZ)，解得kxk
3、(kZ)，所以函数的单调递减区间为(kZ)7已知函数f(x)2sin1(xR)的图像的一条对称轴为x，其中为常数，且(1,2)，则函数f(x)的最小正周期为_由函数f(x)2sin1(xR)的图像的一条对称轴为x，可得k，kZ，k，又(1,2)，从而得函数f(x)的最小正周期为.8函数f(x)cos(3x)sin(3x)是奇函数，则tan 等于_f(x)cos(3x)sin(3x)2sin2sin，因为函数f(x)为奇函数，则有k，kZ，即k，kZ，故tan tan.三、解答题9已知f(x)sin.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)当x时，求函数f(x)的最大值和最小值解(1)令2k2x2
4、k，kZ，得kxk，kZ.故f(x)的单调递增区间为，kZ.(2)当x时，2x，所以1sin，所以f(x)1，所以当x时，函数f(x)的最大值为1，最小值为.10已知a(sin x，cos x)，b(cos x，cos x)，函数f(x)ab.(1)求函数yf(x)图像的对称轴方程；(2)若方程f(x)在(0，)上的解为x1，x2，求cos(x1x2)的值解(1)f(x)ab(sin x，cos x)(cos x，cos x)sin xcos xcos2xsin 2xcos 2xsin.令2xk(kZ)，得x(kZ)，即函数yf(x)图像的对称轴方程为x(kZ)(2)由(1)及已知条件可知(x
5、1，f(x1)与(x2，f(x2)关于x对称，则x1x2，cos(x1x2)coscoscossinf(x1).1已知函数f(x)2cos(x)b对任意实数x有ff(x)恒成立，且f1，则实数b的值为()A1B3C1或3D3C由ff(x)可知函数f(x)2cos(x)b关于直线x对称，又函数f(x)在对称轴处取得最值，故2b1，b1或b3.2(2019太原模拟)已知函数f(x)2sin的图像的一个对称中心为，其中为常数，且(1,3)若对任意的实数x，总有f(x1)f(x)f(x2)，则|x1x2|的最小值是()A1B.C2DB因为函数f(x)2sin的图像的一个对称中心为，所以k，kZ，所以3
6、k1，kZ，由(1,3)，得2.由题意得|x1x2|的最小值为函数的半个周期，即.3已知函数f(x)则下列结论正确的是()Af(x)是周期函数Bf(x)是奇函数Cf(x)的图像关于直线x对称Df(x)在处取得最大值C作出函数f(x)的图像，如图所示，则由图像可知函数f(x)不是周期函数，所以A不正确；同时图像不关于原点对称，所以不是奇函数，所以B不正确；若x0，则fcos(cos xsin x)，fsin(cos xsin x)，此时ff，若x0，则fsin(cos xsin x)，fcos(cos xsin x)，此时ff，综上，恒有ff，即图像关于直线x 对称，所以C正确；当x时，fcos
7、0不是函数的最大值，所以D错误，故选C.4已知函数f(x)sin(x)的最小正周期为.(1)求当f(x)为偶函数时的值；(2)若f(x)的图像过点，求f(x)的单调递增区间解由f(x)的最小正周期为，则T，所以2，所以f(x)sin(2x)(1)当f(x)为偶函数时，f(x)f(x)，所以sin(2x)sin(2x)，展开整理得sin 2xcos 0，由已知上式对任意xR都成立，所以cos 0.因为0，所以.(2)因为f，所以sin，即2k或2k(kZ)，故2k或2k(kZ)，又因为0，所以，即f(x)sin，由2k2x2k(kZ)得kxk(kZ)，故f(x)的递增区间为(kZ)1设函数f(x
8、)sin，若方程f(x)a恰好有三个根，分别为x1，x2，x3(x1x2x3)，则2x13x2x3的值为()AB.C.D.D由题意x，则2x，画出函数的大致图像，如图所示由图可得，当a1时，方程f(x)a恰有三个根由2x得x，由2x得x，由图可知，点(x1，a)与点(x2，a)关于直线x对称，点(x2，a)与点(x3，a)关于直线x对称，所以x1x2，x2x3，所以2x13x2x32(x1x2)(x2x3).2已知函数f(x)ab.(1)若a1，求函数f(x)的单调增区间；(2)当x0，时，函数f(x)的值域是5,8，求a，b的值解f(x)a(1cos xsin x)basinab.(1)当a1时，f(x)sinb1，由2kx2k(kZ)，得2kx2k(kZ)，f(x)的单调增区间为(kZ)(2)0x，x，sin1.依题意知a0，当a0时，a33，b5；当a0时，a33，b8.综上所述，a33，b5或a33，b8.