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1、第四节数列求和最新考纲1.掌握等差、等比数列的前n项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法1公式法(1)等差数列的前n项和公式：Snna1d；(2)等比数列的前n项和公式：Sn2几种数列求和的常用方法(1)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消(注意消项规律)，从而求得前n项和裂项时常用的三种变形：；.(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减
2、法求解(4)倒序相加法：如果一个数列an与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解(5)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)已知等差数列an的公差为d，则有.()(2)当n2时，.()(3)求Sna2a23a3nan之和时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得()(4) 利用倒序相加法可求得sin21sin22sin
3、23sin288sin28944.5.()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1数列an的前n项和为Sn，若an，则S5等于()A.1B.C.D.Ban，S5a1a2a51.2若数列an的通项公式为an2n2n1，则数列an的前n项和为()A2nn21B2n1n21C2n1n22D2nn2CSna1a2a3an(21211)(22221)(23231)(2n2n1)(2222n)2(123n)n2n2(2n1)n2nn2n1n22.3Sn等于()A.B.C.D.B由Sn，得Sn，得，Sn，Sn.4数列an的前n项和为Sn，已知Sn1234(1)n1n，则S17_.9S17123456151
4、6171(23)(45)(67)(1415)(1617)11119.考点1分组转化法求和分组转化法求和的常见类型(1)若an bncn，且bn，cn为等差或等比数列，则可采用分组求和法求an的前n项和(2)通项公式为an的数列，其中数列bn，cn是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和提醒：注意在含有字母的数列中对字母的分类讨论已知数列an的前n项和Sn，nN.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn2an(1)nan，求数列bn的前2n项和解(1)当n2时，anSnSn1n.当n1时，a1S11满足ann，故数列an的通项公式为ann.(2)由(1)知ann，故bn2n(1)nn.记数列b
5、n的前2n项和为T2n，则T2n(212222n)(12342n)记A212222n，B12342n，则A22n12，B(12)(34)(2n1)2nn.故数列bn的前2n项和T2nAB22n1n2.母题探究在本例(2)中，若条件不变求数列bn的前n项和Tn.解由本例(1)知bn2n(1)nn.当n为偶数时，Tn(21222n)1234(n1)n2n12；当n为奇数时，Tn(21222n)1234(n2)(n1)n2n12n2n1.所以Tn常用并项求和法解答形如(1)nan的数列求和问题，注意当n奇偶性不定时，要对n分奇数和偶数两种情况分别求解对n为奇数、偶数讨论数列求和时，一般先求n为偶数时
6、前n项和Tn.n为奇数可用TnTn1bn(n2)或TnTn1bn1最好已知等差数列an的前n项和为Sn，且a11，S3S4S5.(1)求数列an的通项公式；(2)令bn(1)n1an，求数列bn的前2n项和T2n.解(1)设等差数列an的公差为d，由S3S4S5可得a1a2a3a5，即3a2a5，3(1d)14d，解得d2.an1(n1)22n1.(2)由(1)可得bn(1)n1(2n1)T2n1357(2n3)(2n1)(2)n2n.考点2裂项相消法求和形如an(k为非零常数)型an.提醒：求和抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项已知数列an是公差为2的等差
7、数列，数列bn满足b16，b1an1.(1)求an，bn的通项公式；(2)求数列的前n项和解(1)数列an是公差为2的等差数列，数列bn满足b16，b1an1.所以当n1时，a2b16，故an62(n2)2n2，由于b1an1，当n2时，b1an，得：an1an2，所以bn2n.所以bn.(2)当n1时，S1.当n2时，则Sn，当n1时满足上式，故Sn.本例第(1)问在求bn的通项公式时灵活运用了数列前n项和与项的关系，注意通项公式是否包含n1的情况；第(2)问在求解中运用了裂项法，即若an是等差数列，则.教师备选例题(2019唐山五校联考)已知数列an满足：(32n1)，nN.(1)求数列a
8、n的通项公式；(2)设bnlog3，求.解(321)3，当n2时，因为(32n1)(32n21)32n1，当n1时，32n1也成立，所以an.(2)bnlog3(2n1)，因为，所以.(2017全国卷)等差数列an的前n项和为Sn，a33，S410，则 _.设等差数列an的首项为a1，公差为d，依题意有解得所以Sn，2，因此 2.形如(k为非零常数)型an()已知函数f(x)xa的图像过点(4,2)，令an，nN，记数列an的前n项和为Sn，则S2 019()A.1B.1C.1D.1C由f(4)2得4a2，解得a，则f(x).an，S2 019a1a2a3a2 019()()()()1.运用分
9、母有理化对分式正确变形并发现其前后项之间的抵消关系是求解本题的关键求和S()A5B4C10D9AS5，故选A.形如bn(q为等比数列an的公比)型bn.(2019郑州模拟)已知数列an的前n项和为Sn，且a28，Snn1.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列的前n项和Tn.解(1)a28，Snn1，a1S122，当n2时，anSnSn1n1，即an13an2，又a283a12，an13an2，nN，an113(an1)，数列an1是等比数列，且首项为a113，公比为3，an133n13n，an3n1.(2).数列的前n项和Tn.本例第(1)问在求解通项公式时运用了构造法，形如an1an的数
10、列递推关系求通项公式都可以采用此法；第(2)问运用了裂项相消法求和已知 an是等比数列，且a2，a5，若bn，则数列bn的前n项和为()A.B.C.D.Aa5a2q3，q3，q，a11，ann1，bnb1b2b3bn.故选A.形如an型an.正项数列an的前n项和Sn满足：S(n2n1)Sn(n2n)0.(1)求数列an的通项公式an；(2)令bn，数列bn的前n项和为Tn，证明：对于任意的nN，都有Tn.解(1)由S(n2n1)Sn(n2n)0，得Sn(n2n)(Sn1)0.由于an是正项数列，所以Sn0，Snn2n.于是a1S12，当n2时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n.综上
11、，数列an的通项公式为an2n.(2)证明：由于an2n，故bn.Tn.(1)与不等式相结合考查裂项相消法求和问题应分两步：第一步，求和；第二步，利用作差法、放缩法、单调性等证明不等式(2)放缩法常见的放缩技巧有：.2()2()已知等比数列an的前n项和为Sn，满足S42a41，S32a31.(1)求an的通项公式；(2)记bnlog2(anan1)，数列bn的前n项和为Tn，求证：2.解(1)设an的公比为q，由S4S3a4得2a42a3a4，所以2，所以q2.又因为S32a31，所以a12a14a18a11，所以a11.所以an2n1.(2)证明：由(1)知bnlog2(anan1)log
12、2(2n12n)2n1，所以Tnnn2，所以11122.考点3错位相减法求和 错位相减法求和的具体步骤步骤1写出Snc1c2cn.步骤2等式两边同乘等比数列的公比q，即qSnqc1qc2qcn.步骤3两式错位相减转化成等比数列求和步骤4两边同除以1q，求出Sn.同时注意对q是否为1进行讨论(2019莆田模拟)设数列an的前n项和为Sn，且a11，an12Sn1，数列bn满足a1b1，点P(bn，bn1)在直线xy20上，nN.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)设cn，求数列cn的前n项和Tn.解(1)由an12Sn1可得an2Sn11(n2)，两式相减得an1an2an，即an13an(
13、n2)又a22S113，所以a23a1.故an是首项为1，公比为3的等比数列所以an3n1.由点P(bn，bn1)，在直线xy20上，所以bn1bn2.则数列bn是首项为1，公差为2的等差数列则bn1(n1)22n1.(2)因为cn，所以Tn.则Tn，两式相减得：Tn1.所以Tn33.本例巧妙地将数列an及其前n项和为Sn，数列与函数的关系等知识融合在一起，难度适中求解的关键是将所给条件合理转化，并运用错位相减法求和(2019烟台一模)已知等差数列an的公差是1，且a1，a3，a9成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)求数列的前n项和Tn.解(1)因为an是公差为1的等差数列，且a1，a
14、3，a9成等比数列，所以aa1a9，即(a12)2a1(a18)，解得a11.所以ana1(n1)dn.(2)Tn112233nn，Tn1223(n1)nnn1，两式相减得Tn123nnn1，所以Tnnn11.所以Tn2.课外素养提升数学建模 数列中等量关系的建立2019全国卷理科21题将数列与概率知识巧妙的融合在一起，在考查概率知识的同时，突出考查学生借用数列的递推关系将实际问题转化为数学问题的能力数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率，银行信贷，浓度匹配，养老保险，圆钢堆垒等问题，这就要求考生除熟练运用数列的有关概念外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速
15、确定解题的方向，以提高解题的速度直接借助等差(等比)数列的知识建立等量关系【例1】从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.(1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an，bn的表达式；(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？解(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800万元，第n年投入为800n1万元，所以，n年内的总投入为：an80080080
16、0n14 000，第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400万元，第n年旅游业收入400n1万元所以，n年内的旅游业总收入为bn400400400n11 600.(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此bnan0，化简得5n2n70，即1 60040000，令xn，代入上式得：5x27x20.解得x，或x1(舍去)即n，由此得n5.至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入. 评析本题以函数思想为指导，以数列知识为工具，涉及函数建模、数列求和、不等式的解法等知识点，正确审题、深刻挖掘数量关系，建立数量模型是本题的灵魂，(2)问中指数不等式采用了换元法，是解不等式常用的
17、技巧【素养提升练习】公民在就业的第一年就交纳养老储备金a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d0)，历年所交纳的储备金数目a1，a2，是一个公差为d的等差数列与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利如果固定年利率为r(r0)，那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1(1r)n1，第二年所交纳的储备金就变为a2(1r)n2，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额求证：TnAnBn，其中An是一个等比数列，Bn是一个等差数列解T1a1，对n2反复使用上述关系式，得TnTn1(1r)anTn2(1r)2an1(1r)ana1(1r)n1a2(1r)n2an1(1r
18、)an，在式两端同乘1r，得(1r)Tna1(1r)na2(1r)n1an1(1r)2an(1r)，得rTna1(1r)nd(1r)n1(1r)n2(1r)an(1r)n1ra1(1r)nan.即Tn(1r)nn.如果记An(1r)n，Bnn，则TnAnBn，其中An是以(1r)为首项，以1r(r0)为公比的等比数列；Bn是以为首项，为公差的等差数列借助数列的递推关系建立等量关系【例2】大学生自主创业已成为当代潮流某大学大三学生夏某今年一月初向银行贷款两万元作开店资金，全部用作批发某种商品银行贷款的年利率为6%，约定一年后一次还清贷款已知夏某每月月底获得的利润是该月月初投入资金的15%，每月月
19、底需要交纳个人所得税为该月所获利润的20%，当月房租等其他开支1 500元，余款作为资金全部投入批发该商品再经营，如此继续，假定每月月底该商品能全部卖出(1)设夏某第n个月月底余an元，第n1个月月底余an1元，写出a1的值并建立an1与an的递推关系；(2)预计年底夏某还清银行贷款后的纯收入(参考数据：1.12113.48,1.12123.90,0.12117.431011,0.12128.921012)解(1)依题意，a120 000(115%)20 00015%20%1 50020 900(元)，an1an(115%)an15%20%1 5001.12an1500(nN，1n11)(2)
20、令an11.12(an)，则an11.12an0.12，对比(1)中的递推公式，得12 500.则an12 500(20 90012 500)1.12n1，即an8 4001.12n112 500.则a128 4001.121112 50041 732(元)又年底偿还银行本利总计20 000(16%)21 200(元)，故该生还清银行贷款后纯收入41 73221 20020 532(元)评析(1)先求出a1的值，并依据题设得出an1与an的关系；(2)利用构造法求得an的通项公式，并求相应值【素养提升练习】如图，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，Pn(xn，yn)，是曲线C：y2x(y0
21、)上的点，A1(a1,0)，A2(a2,0)，An(an,0)，是x轴正半轴上的点，且A0A1P1，A1A2P2，An1AnPn，均为斜边在x轴上的等腰直角三角形(A0为坐标原点)(1)写出an1、an和xn之间的等量关系，以及an1、an和yn之间的等量关系；(2)用数学归纳法证明an(nN)；(3)设bn，对所有nN，bnlog8t恒成立，求实数t的取值范围解(1)依题意，A0A1P1，A1A2P2，An1AnPn，均为斜边在x轴上的等腰直角三角形(A0为坐标原点)，故有xn，yn.(2)证明：当n1时，可求得a11，命题成立； 假设当nk时，命题成立，即有ak.则当nk1时，由归纳假设及(akak1)2ak1ak，得2ak1.即(ak1)2(k2k1)ak10，解得ak1(ak1ak，不合题意，舍去)，即当nk1时，命题成立. 综上所述，对所有nN，an.(3)bn.因为函数f(x)2x在区间1，)上单调递增，所以当n1时，bn最大为，即bn.由题意，有log8t，所以t2，所以，t(2，).