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1、 绝密启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考 证号填写在答题卡上。 2作答时，将答案写在答题卡上。写在本 试卷及草稿纸上无效。 3考试结束后，将本 试卷和答题卡一并交回。 12560一、选择题：本题共小题，每小题分，共分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。12i1 12i43433434iiiiA B C D 55555555 22Ax，yxy3，xZ，yZ2 已知集合，则中元素的个数为AA9 B8 C5 D4 xxee3 fx函数的图像大致为 2x a|a|1a(2ab)4 bab1已知向量，满足，则A4
2、 B3 C2 D0 22xy 5 1(a0,b0)双曲线的离心率为，则其渐 近线方程为3 22ab 23 A B C Dxyyxy2xy3x22 C56 BC1AC5ABC在中，则cosAB 25 A B C D 4230292511111 开始S17 为计算，设计了右侧的程序框图， 23499100N0,T0 则在空白框中应填入 i1A ii1是否B ii2i100C ii31NNSNTD ii4i 1输出STT i1 结束 82我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于的偶3030723 数可以表示为两个素数的和”，如在不超 过的素数中，随机 选取两
3、个不同的数，其和等30 于的概率是1111 A B C D 12141518 ABCDABCDADDB9 ABBC1在长方体中，则异面直线与所成角的余弦值为AA31111111 1255A B C D 5652af(x)cosxsinxa,a10 若在是减函数，则的最大值是3A B C D 424f(x)f(1x)f(1x)(,)f(1)211 已知是定义域为的奇函数，满足若，则f(1)f(2)f(3)f(50) A B0 C2 D50 5022xyFF12 CC：1(ab0)已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率APA12 22ab 3PFFFFP120 C为 的直 线 上， 为
4、等腰三角形，则的离心率为121262111A B C D 32434520 二、填空题：本题共小题，每小题分，共分。(0,0)y2ln(x1)13_ 曲线在点处的切线方程为x2y50 ，x,yzxyx2y30，14 _ 若满足约束条件则的最大值为x50 ，cossin0sin()sincos115_ 已知，则 71645SSASBSA已知圆锥 的顶点为，母 线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为，若的SAB 8 _ 面积为，则该圆锥的侧面积为515701721三、解答题：共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第题为必考题，每个试题考2223 生都必须作答。第、为选考题，考生根据要求作
5、答。60 （一）必考题：共分。1712 （分）nS aa7S15 记为等差数列的前项和，已知，nn13a1 （）求的通项公式；nSS2 （）求，并求的最小值nn1812 （分）y20002016 下图是某地区年至年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图 yt20182000为了预测该地区年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型根据 30.413.5tyt2，171，20102016；根据年）建立模型：年至年的数据（时间变量的值依次为9917.5tyt2，71， 2016）建立模型：至年的数据（ 时间变量的值依次为12018 （）分别利用这两个模型，求该地区年的环境基础设施投
6、资额的预测值；2* （）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由学科网1912 （分）k(k 0)|AB|82C：y4x Cl设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，FFAB1 l（）求的方程；2 C（）求过点，且与的准线相切的圆的方程AB2012 （分） PABCPAPBPCAC4OAC如图，在三棱锥中，为的中点ABBC221 POABC（）证明：平面；2 BCMPAC30PC（）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值PAMMP OACMB2112 （分）x2 f(x)eax已知函数f(x)11 a1x0（）若， 证明：当 时，；af(x)(0,)2 （）若在只有一个零
7、点，求102223 （二）选考题：共分。请考生在第、题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。224410 选修：坐标系与参数方程（分）x2cos ，xOy Cl在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为y4sinx1tcos ，t （为参数）y2tsin1 Cl（）求和的直角坐标方程；(1,2)2 Cll（）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率234510 选修：不等式选讲（分）f(x)5|xa|x2| 设函数f(x)01 a1（）当时，求不等式的解集；af(x)12 （）若，求的取 值范围 绝密启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 : 参
8、考答案一、选择题 1.D 2.A 3.B 4.B 5.A 6.A 7.B 8.C 9.C 10.A 11.C 12.D 二、填空题 1 402y2x13. 14.9 15. 16. 2三、解答题 17. (12分) 3a3d15a解：（1）设的公差为d ，由题意得. 1na7由得 d=2. 1a2n9a所以的通项公式为. nn22Sn8n(n4)16（2）由（1）得. nS所以当n=4时,取得最小 值,最小值为 16. n18.(12分) 解：（1）利用模型,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 30.413.519226.1y( 亿元). 利用模型,该地区2018年的环境基础设施投
9、资额的预测值为 9917.59256.5y( 亿元). （2）利用模型得到的预测值更可靠. 理由如下： y30.413.5t（）从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线上下.这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至9917.5ty 可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变2016年的数据建立的线性模型化趋
10、势,因此利用模型得到的预测值更可靠.学.科网 （）从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型 得到的 预测值 226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型得到的预测值更可靠. 以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分. 19.(12分 ) F(1,0)yk(x1)(k0)解：（1）由题意得，l 的方程为. A(x,y),B(x,y)设， 1122yk(x1),2222kx(2k4)xk0由得. 2y4x22k42xx16k160，故. 122k24k4|AB|AF|BF|(x1)(x1)所以. 122k24k4
11、k1k18，解得（舍去）由题设知，. 2kyx1因此l的方程为. (3,2)y2(x3)yx5（2）由（1）得AB的中点坐标为，所以AB的垂直平分线方程为，即. (x,y)设所求圆的圆心坐标为，则 00yx5,x3,x11,0000解得或 2(yx1)y2y6.20016.(x1)00 022222(x3)(y2)16(x11)(y6)144因此所求圆的方程为或. 20.(12 分) APCPAC4OACOPACOP23解：（1）因为，为的中点，所以，且. 2OBABCABBCAC连结.因为，所以为等腰直角三角形， 21OBACOBAC2且，. 2222POOBOPOBPB由知. POABCO
12、POB,OPAC由知平面. uuurxOOBOxyz（2）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系. uuur PACO(0,0,0),B(2,0,0),A(0,2,0),C(0,2,0),P(0,0,23),AP(0,2,23),由已知得取平面的法uuurOB(2,0,0) 向量. uuurAM(a,4a,0)M(a,2a,0)(0a2)设，则. PAMn(x,y,z)设平面的法向量为. uuuruuur 2y23z0 APn0,AMn0n(3(a4),3a,a)由得，可取， ax(4a)y0uuuruuur 23(a4)3 cosOB,n|cosOB,n|所以.由已知得.
13、222223(a4)3aa 323|a4|4a4a=.解得（舍去），. 所以 3222223(a4)3aauuuruuur 834343 PC(0,2,23)n(,)cosPC,n所以. .又，所以 3334 3PCPAM所以与平面所成角的正弦 值为. 42112 （分）2xf(x)1a1(x1)e10 1 【解析】（）当时，等价于2x2x2xg(x)(x1)e1g(x)(x2x1)e(x1)e 设函数，则g(x)0g(x)(0,)x1 当时，所以在单调递减f(x)1g(0)0g(x)0x0 而，故当时，即 2xh(x)1axe2 （）设函数f(x)(0,)h(x)(0,) 在只有一个零点当且
14、仅当在只有一个零点h(x)0h(x)a0 i （）当时，没有零点；xa0h(x)ax(x2)e ii （）当时，x(0,2)h(x)0x(2,)h(x)0 当时，；当时，h(x)(0,2)(2,) 所以在单调递减，在单调递增4ah(x)0,)h(2)1 & 故是在的最小值学科网 2e2eh(2)0h(x)(0,)a 若，即，在没有零点； 42eh(2)0h(x)(0,)a 若，即，在只有一个零点； 42eh(2)0h(0)1h(x)(0,2)a 若，即，由于，所以在有一个零点， 433316a16a16a110h(4a)111x0x2 1ex由（）知，当时，所以 4a2a24e(e)(2a)a
15、h(x)(2,4a)h(x)(0,) 故在有一个零点，因此在有两个零点2ef(x)(0,)a 综上，在只有一个零点时， 4224-410 选修：坐标系与参数方程（分）22xyC1 1 【解析】（）曲线的直角坐标方程为 416ytanx2tancos0l 当时，的直角坐标方程为，cos0x1l 当时，的直角坐标方程为t Cl2 （）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程22(13cos)t4(2cossin)t80 ttt0t(1,2)CCl 因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以有两个解，设为，则 21214(2cossin)tt2cossin0ktan2l 又由得，故，于是直线的斜率 12213cos234-510 选修：不等式选讲（分）2x4,x1,f(x)2,1x2,a11 【解析】（）当时 ，2x6,x2.f(x)0x|2x3 可得的解集为f(x)1|xa|x2|42 （）等价于|xa|x2|a2|f(x)1|a2|4x2 而，且当时等号成立故等价于a|a2|4(,62,)a6a2 由可得或，所以的取值范围是