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1、第5讲动量与能量的综合应用一、单项选择题 1.(2019安徽芜湖模拟)光滑水平面上有两个小球,在同一直线上相向运动,它们的动量大小相等,则两球碰撞后,下列说法正确的是()A.两球可能沿同一方向运动B.两个小球可能一个静止,一个运动C.若两球均运动,则质量大的球动量一定小D.若两球均运动,则质量大的球动能一定小答案D由题可知,两球沿同一直线相向运动,动量大小相等,因此系统的总动量为零,碰撞过程系统的总动量守恒,因此碰撞后系统的总动量仍为零,因此两球不可能沿同一方向运动,也不可能一个静止,一个运动,A、B项错误;若两球均运动,根据动量守恒定律可知,两球一定沿相反方向运动,且动量等大反向,即m1v1
2、=m2v2,C项错误;由Ek=p22m可知,质量大的球动能小,D项正确。2.如图所示,质量为0.5 kg的小球在距离小车底部20 m高处以一定的初速度向左平抛,落在以7.5 m/s的速度沿光滑水平面向右匀速行驶的敞篷小车中,车底涂有一层油泥,车与油泥的总质量为4 kg。设小球在落到车底前瞬间速度大小是25 m/s,重力加速度取10 m/s2,不计空气阻力。则当小球与小车相对静止时,小车的速度大小是()A.4 m/sB.5 m/sC.8.5 m/sD.9.5 m/s答案B小球做平抛运动,下落时间为t=2hg=2 s,竖直方向速度大小为vy=gt=20 m/s,小球在落到车底前瞬时速度大小是25
3、m/s,根据速度合成原则可知,vx=v2-vy2=15 m/s,小球与车在水平方向上动量守恒,以向右为正方向,有Mv车-mvx=(m+M)v共,解得v共=5 m/s,故B正确。3.(2015重庆理综,3,6分)高空作业须系安全带,如果质量为m的高空作业人员不慎跌落,从开始跌落到安全带对人刚产生作用力前人下落的距离为h(可视为自由落体运动)。此后经历时间t安全带达到最大伸长,若在此过程中该作用力始终竖直向上,则该段时间安全带对人的平均作用力大小为()A.m2ght+mgB.m2ght-mgC.mght+mgD.mght-mg答案A由v2=2gh得v=2gh。对人与安全带作用的过程应用动量定理,则
4、有(mg-F)t=0-mv,解得F=m2ght+mg,故A正确。4.(2019湖南株洲质检)如图,长为l的轻杆两端固定两个质量相等的小球甲和乙,初始时它们直立在光滑的水平地面上。后由于受到微小扰动,系统从图示位置开始倾倒。当小球甲刚要落地时,其速度大小为()A.2glB.glC.2gl2D.0答案A两小球组成的系统水平方向动量守恒,小球甲刚要落地时水平速度为零,由机械能守恒定律得12mv2=mgl,解得v=2gl,故A正确。5.(2019陕西安康质检)如图所示,一对杂技演员(都视为质点)荡秋千(秋千绳处于水平位置),秋千一端固定在离地面高为H的O点,秋千的长度可调节。改变秋千的长度,杂技演员每
5、次都从A点由静止出发绕O点下摆,当摆到最低点B时,女演员在极短时间内将男演员沿水平方向推出,然后自己刚好能回到A点。已知男演员质量为2m,女演员质量为m,秋千的质量不计,空气阻力忽略不计,则男演员落地点C与O点的水平距离x的最大值是()A.H2B.HC.3H2D.2H答案D两杂技演员从A点下摆到B点,只有重力做功,故机械能守恒。设二者到达B点的速度大小为v0,则由机械能守恒定律有(m+2m)gR=12(m+2m)v02,两杂技演员相互作用,沿水平方向动量守恒。设作用后女、男演员的速度大小分别为v1、v2,由动量守恒定律得(m+2m)v0=2mv2-mv1。女演员上摆到A点的过程中机械能守恒,因
6、此有mgR=12mv12。男演员自B点平抛,有x=v2t。由竖直方向的自由落体运动得出H-R=12gt2,解得t=2(H-R)g,联立解得x=4(H-R)R,当秋千的长度R=H2时,男演员落地点C与O点的水平距离最大为x=2H,故D正确,A、B、C错误。二、多项选择题6.(2019山东济南模拟)质量1 kg的物体从足够高处由静止开始下落,其加速度a随时间t变化的关系图像如图所示。重力加速度g取10 m/s2,下列说法正确的是()A.2 s末物体所受阻力的大小为10 NB.在02 s内,物体所受阻力随时间均匀减小C.在02 s内,物体的动能增大了100 JD.在01 s内,物体所受阻力的冲量大小
7、为2.5 Ns答案AD2 s末物体的加速度为零,则此时阻力等于重力,即所受阻力的大小为10 N,选项A正确;根据mg-f=ma可知,在02 s内,物体加速度随时间均匀减小,则所受阻力随时间均匀增大,选项B错误;在02 s内,物体的速度增加了12210 m/s=10 m/s,在0时刻,物体的速度v1=0,则在2 s时刻,物体的速度v2=10 m/s,则动能增大了Ek=12mv22-12mv12=50 J,故选项C错误;在01 s内,物体速度的增量v=12(5+10)1 m/s=7.5 m/s,根据动量定理:mgt-If=mv,解得If=2.5 Ns,故选项D正确。7.(2019安徽芜湖调研)在地
8、面上以大小为v1的初速度竖直向上抛出一质量为m的皮球,皮球落地时速度大小为v2。若皮球运动过程中所受空气阻力的大小与其速率成正比,重力加速度为g。下列判断正确的是()A.皮球上升的最大高度为v122gB.皮球从抛出到落地过程中克服阻力做的功为12mv12-12mv22C.皮球上升过程经历的时间为v1gD.皮球从抛出到落地经历的时间为v1+v2g答案BD皮球减速上升的过程中受重力、阻力作用,故加速度大于g,则上升的高度小于v122g,上升的时间小于v1g,故A、C错误;皮球从抛出到落地过程中重力不做功,根据动能定理得克服阻力做功为Wf=12mv12-12mv22,故B正确;假设向下为正方向,设上
9、升阶段的平均速度为v,则由动量定理得mgt1+kvt1=mv1,由于平均速度乘以时间等于上升的高度,故有h=vt1,即mgt1+kh=mv1。同理,设下降阶段的平均速度为v,则下降过程由动量定理得mgt2+kvt2=mv2,即mgt2-kh=mv2,联立解得mg(t1+t2)=m(v1+v2),解得t=t1+t2=v1+v2g,故D正确。8.(2019山东济南二模)如图甲所示,光滑水平面上有a、b两个小球,a球向b球运动并与b球发生正碰后粘合在一起共同运动,其碰前和碰后的s-t图像如图乙所示。已知ma=5 kg。若b球的质量为mb,两球因碰撞而损失的机械能为E,则()A.mb=1 kgB.mb
10、=2 kgC.E=15 JD.E=35 J答案AC在s-t图像中图线的斜率的绝对值表示小球运动的速度大小,所以va=61 m/s=6 m/s,碰后粘合在一起共同运动的速度为v=51 m/s=5 m/s,碰撞过程动量守恒得mava=(ma+mb)v,解得mb=1 kg,故A正确,B错误;根据功能关系有E=12mava2-12(ma+mb)v2,解得E=15 J,故C正确,D错误。三、计算题9.(2019山东泰安一模)如图,足够长的固定光滑水平轨道与固定的光滑竖直14圆弧轨道平滑连接。质量为m1的小球A以速度v0撞上质量为m2的静止小球B,已知A和B的大小相同且碰撞为弹性正碰。重力加速度g取10
11、m/s2。(1)若m1=2 kg、m2=3 kg,v0=5 m/s,求碰撞后小球B上升的最大高度;(2)若要求两小球只发生了一次碰撞,则m1与m2的大小应满足怎样的关系?答案(1)0.8 m(2)m1m23解析(1)A、B两小球第一次碰撞后的速度用v1、v2表示。取向右方向为正,根据动量守恒定律和机械能守恒定律得m1v0=m1v1+m2v212m1v02=12m1v12+12m2v22整理得v1=m1-m2m1+m2v0v2=2m1m1+m2v0代入数据解得v1=-1 m/sv2=4 m/s小球B沿圆弧轨道上升,不论是否冲出圆弧轨道,到最高点时速度一定为零,设上升的最大高度为h。根据机械能守恒
12、定律有m2gh=12m2v22代入数据解得h=0.8 m(2)若两球只发生了一次碰撞,则首先应满足A小球碰后反向运动,即v10由知,m1m2还必须满足A小球碰后速度v1的大小要大于或等于B小球的速度大小v2,即|v1|v2由整理得m23m1或m1m23因此,若要求二小球只碰一次,须满足m1m23命题拓展预测轻质弹簧原长为2L,现将该弹簧水平放置,一端固定在A点,另一端与质量m1=2 kg的物块M接触但不连接。AB是长度为5L的光滑水平轨道,一长度L0=2.5 m的水平传送带右端与AB、左端与水平光滑轨道CD平滑连接,传送带始终以v=2 m/s的速率匀速逆时针转动。上表面水平的小车放在光滑水平轨
13、道上,位于CD左侧,小车右端与CD段平滑连接,小车上表面的长度L1=0.5 m,小车左侧是一段半径为R=0.3 m的四分之一光滑圆弧轨道,圆弧轨道固定在小车上,小车与圆弧轨道的总质量为m2=6 kg,物块M与小车上表面间的动摩擦因数1=0.1。现用外力推动物块M,将弹簧压缩至长为L时弹簧的弹性势能Ep=9 J,然后放开M,M开始沿轨道运动,冲上传送带后开始做减速运动,到达传送带左端时物块M的速度恰好与传送带的速度大小相等。重力加速度取g=10 m/s2。(1)求物块M与传送带之间的动摩擦因数;(2)求物块M在小车左侧圆弧轨道上上升的最大高度H;(3)要使物块M既能冲上圆弧轨道又不会从小车上滑出
14、,求小车上表面长度L1的取值范围。答案(1)0.1(2)0.1 m(3)0.75 mL11.5 m解析(1)设物块M离开弹簧时的速度为v0由机械能守恒定律有:Ep=12m1v02物块在传送带上运动过程中,由动能定理有:-m1gL0=12m1v2-12m1v02联立各式并代入数据可得物块M与传送带之间的动摩擦因数=0.1(2)物块M从滑上小车到其在圆弧轨道上上升到最大高度的过程中,M与小车及圆弧轨道构成的系统在水平方向上动量守恒,则:m1v=(m1+m2)v1由能量守恒定律有:12m1v2=12(m1+m2)v12+m1gH+1m1gL1联立各式并代入数据可得物块M在小车左侧圆弧轨道上上升的最大高度H=0.1 m(3)设当小车上表面长度为L2时,物块到达小车左端时与小车有共同速度v1,则12m1v2=12(m1+m2)v12+1m1gL2联立各式并代入数据可得:L2=1.5 m设当小车上表面长度为L3时,物块冲上圆弧轨道后又返回到小车上表面右端时与小车有共同速度v1,则12m1v2=12(m1+m2)v12+21m1gL3联立各式并代入数据可得L3=0.75 m要使物块M既可以冲上圆弧轨道又不会从小车上滑出,小车上表面长度的取值范围为0.75 mL11.5 m