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1、9.6 空间向量的坐标运算空间向量的坐标运算一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系 单位正交基底：单位正交基底：如果空间的一个基底的如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个，则这个基底叫做单位正交基底，常用来基底叫做单位正交基底，常用来 i , j , k 表示表示 空间直角坐标系：空间直角坐标系：在空间选定一点在空间选定一点O和一和一个单位正交基底个单位正交基底 i、j、k 。以点。以点O为原点，为原点，分别以分别以i、j、k的正方向建立三条数轴：的正方向建立三条数轴：x轴、轴、y轴、轴、z轴，它们都叫做坐标轴轴，它们都叫做坐标轴.这样就建立了这样
2、就建立了一个空间直角坐标系一个空间直角坐标系O-xyz 点点O叫做原点，向量叫做原点，向量I、j、k都叫做坐标向量都叫做坐标向量.通通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。二、向量的直角坐标二、向量的直角坐标aaaa=( 1 , 2, 3) 给定一个空间坐标系和向给定一个空间坐标系和向量量 ,且设且设i、j、k为坐标向量，为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组一的有序实数组( 1, 2, 3)使使 = 1i+ 2j+ 3k 有序数组有序数组( 1, 2, 3)叫做叫做 在空在空间直角坐标系间直角坐标系O-xyz中的坐标，中的
3、坐标，记作记作.aaaaaaaaaaaaxyzOA(a1,a2,a3)ijka 在空间直角坐标系在空间直角坐标系O-xyz中，对空间任一点，中，对空间任一点，A,对应一个向量对应一个向量OA，于是存在唯一的有序实数，于是存在唯一的有序实数组组x,y,z，使，使 OA=xi+yj+zk 在单位正交基底在单位正交基底i, j, k中与向量中与向量OA对应的有对应的有序实数组序实数组(x,y,z)，叫做点，叫做点A在此空间直角坐标系中在此空间直角坐标系中的坐标，记作的坐标，记作A(x,y,z)，其中，其中x叫做点叫做点A的横坐标，的横坐标，y叫做点叫做点A的纵坐标，的纵坐标，z叫做点叫做点A的竖坐标
4、的竖坐标.xyzOA(x,y,z)ijka三、向量的直角坐标运算三、向量的直角坐标运算. .),(),(321321bbbbaaaa设设则则);,(332211babababa);,(332211babababa);)(,(321Raaaa;332211babababa)(,/332211Rbabababa. 0332211babababa设设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则则AB=OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1) =(x2-x1,y2-y1,z2-z1). 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点
5、的坐标减去起示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标点的坐标. . 空间向量坐标运算法则，关键是注意空空间向量坐标运算法则，关键是注意空间几何关系与向量坐标关系的转化，为此在间几何关系与向量坐标关系的转化，为此在利用向量的坐标运算判断空间几何关系时，利用向量的坐标运算判断空间几何关系时，首先要选定单位正交基，进而确定各向量的首先要选定单位正交基，进而确定各向量的坐标。坐标。YXZABCD1A1B1C1DEF例例2 在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1 中中 E、F分别是分别是 BB1 、CD 的中点的中点 ，求证：求证：D1F 平面平面ADE例例1 已知已知a=(2,-3,5),b=(-3,1,-4),求求a+b,a-b,8a,a b