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1、第4讲算法、推理与证明一、选择题1.已知一个算法的程序框图如图所示,当输出的结果为0时,输入的x的值为() A.-3B.-3或9C.3或-9D.-9或-3答案B当输出的y=0时,若x0,则y=12x-8=0,解得x=-3;若x0,则y=2-log3x=0,解得x=9,两个值都符合题意,故选B.2.(2019江西南昌第一次模拟)执行如图所示的程序框图,当输入的x为1时,输出的结果为()A.3B.4C.5D.6答案C执行程序框图,i=0,输入的x为1时,y=1+1=2,i=1,y=220,则x=2;y=4,i=2,y=420,则x=4;y=8,i=3,y=820,则x=8;y=16,i=4,y=1
2、620,退出循环体,输出的结果为5,故选C.3.(2019湖北武汉调研)执行如图所示的程序框图,若输入的n的值为6,则输出的S的值为()A.21B.23C.37D.44答案C第1次循环得到t=1,S=1,i=2;第2次循环得到t=4,S=5,i=3;第3次循环得到t=3,S=8,i=4;第4次循环得到t=8,S=16,i=5;第5次循环得到t=5,S=21,i=6;第6次循环得到t=16,S=37,i=7,76,跳出循环.S=37,故选C.4.(2019河南开封定位考试)执行如图所示的程序框图,若输出的结果为3,则输入的x为()A.-1B.0C.-1或1D.-1或0答案D由x1,b1,且log
3、ab+logba=103,ab=ba,则执行如图所示的程序框图,输出的S=()A.2B.2C.3D.3答案C由logab+logba=103,得(logab)2-103logab+1=0,即3(logab)2-10logab+3=0,解得logab=3或logab=13.由ab=ba,两边同时取以a为底的对数,得b=alogab,logab=ba.当logab=3时,得a3=b,且ba=3,解得a=3,b=33;当logab=13时,得a=b3,且ba=13,解得a=33,b=3.又程序框图的功能是“取较小值”,即输出a与b中较小的那一个,所以输出的S=3.10.沈括是我国北宋著名的科学家,宋
4、代制酒业很发达,为了存储方便,酒缸是要一层一层堆起来的,形成了堆垛.沈括在其代表作梦溪笔谈中提出了计算堆垛中酒缸的总数的公式.图1是长方垛:每一层都是长方形,底层长方形的长边放置了a个酒缸,短边放置了b个酒缸,共放置了n层.某同学根据图1绘制了计算该长方垛中酒缸总数的程序框图,如图2,那么在和两个空白框中,可以分别填入()A.in?和S=S+abB.in?和S=S+abC.in?和S=abD.in?和S=ab答案B观察题图1可知,最下面一层酒缸的个数为ab,每上升一层长方形的长边和短边放置的酒缸个数分别减少1,再将每层酒缸个数累加即可,故执行框中应填S=S+ab;计算到第n层时,循环n次,此时
5、i=n,故判断框中应填in?,故选B.11.我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献,他在实践的基础上,提出了下面的体积计算原理(祖暅原理):“幂势既同,则积不容异”.“幂”是截面面积,“势”是几何体的高.意思是:若两个等高几何体在同高处的截面面积总相等,则这两个几何体的体积相等.现有一旋转体D(如图1所示),它是由抛物线y=x2(x0),直线y=4及y轴围成的封闭图形(如图2所示)绕y轴旋转一周形成的几何体.旋转体D的参照体的三视图如图3所示.利用祖暅原理,则旋转体D的体积是()A.163B.6C.8D.16答案C由三视图知参照体是一个直三棱柱,其体积V=1244=8,故旋转体D的体
6、积是8,故选C.12.(2019山东济南学习质量评估)我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算法一书中记录了一个由正整数构成的三角形数表,我们通常称之为杨辉三角.以下数表的构造思路就来源于杨辉三角.从第二行起,每一行中的数均等于其“肩上”两数之和,表中最后一行仅有一个数a,则a的值为()A.2 01821 008B.2 01821 009C.2 02021 008D.2 02021 009答案C解法一:当第一行有2个数时,最后一行为4=221,当第一行有3个数时,最后一行为12=322,当第一行有4个数时,最后一行为32=423,当第一行有5个数时,最后一行为80=524,依次类推,当第一行有1 0
7、10个数时,最后一行为a=1 01021 009=2 02021 008,故选C.解法二:该三角形数表,从第一行开始,每行中间的数或中间两数的均值依次为1 010,2 020,4 040,8 080,易知上述数列是一个首项为1 010,公比为2的等比数列.该三角形数表共有1 010行,所以最后一行的数a=1 01021 010-1=1 01021 009=2 02021 008,故选C.二、填空题13.(2019四川成都第一次诊断)执行如图所示的程序框图,则输出的n的值是.答案9解析解法一:执行程序框图,n=1,S=0;S=0+113=13,n=3;S=13+135=25,n=5;S=25+1
8、57=37,n=7;S=37+179=49,n=9,此时满足S49,退出循环,输出n=9.解法二:由程序框图可知,该程序框图的作用是由113+135+1n(n+2)=121-13+13-15+1n-1n+2=121-1n+249,解得n7,所以输出的n的值为7+2=9.14.(2019河北九校第二次联考)学校艺术节对同一类的A,B,C,D四项参赛作品只评一项一等奖,在评奖揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:甲说:“是C或D作品获得一等奖”;乙说:“B作品获得一等奖”;丙说:“A,D两项作品均未获得一等奖”;丁说:“是C作品获得一等奖”.若这四位同学中只有两位说的话是对的,则
9、获得一等奖的作品是.答案B解析若获得一等奖的是A,则甲、乙、丙、丁四位同学说的话都错;若获得一等奖的是B,则乙、丙两位同学说的话都对,符合题意;若获得一等奖的是C,则甲、丙、丁三位同学说的话都对;若获得一等奖的是D,则只有甲同学的话对,故获得一等奖的作品是B.15.将1,2,3,4,这样的正整数按如图所示的方式排成三角形数组,则第10行自左向右第10个数为.答案91解析由三角形数组可推断出,第n行共有(2n-1)个数,且最后一个数为n2,所以第10行共有19个数,最后一个数为100,自左向右第10个数是91.16.设ABC的三边长分别为a,b,c,ABC的面积为S,则ABC的内切圆半径为r=2Sa+b+c.将此结论类比到空间四面体:设四面体SABC的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,体积为V,则四面体的内切球半径为.答案3VS1+S2+S3+S4解析设四面体的内切球的球心为O,则球心O到四个面的距离都为半径r,所以四面体的体积等于以O为顶点,分别以四个面为底面的4个三棱锥的体积的和.则四面体的体积V=13(S1+S2+S3+S4)r,所以r=3VS1+S2+S3+S4.