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1、层级二 专题六 第2讲(文)限时50分钟满分76分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1.(2020吉林百校联盟联考)太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象地表达了阴阳轮转，展现了一种相互转化、相对统一的形式美按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被y3sinx的图象分割为两个对称的鱼形图案，如图所示，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为()A.B.C. D.解析：B由题意，所求事件的概率模型是一个与面积相关的几何概型由图可知，大圆的直径等于函数y3sinx的周期T.设大圆的半径为R，则R6，则大圆面积为S1R236.两个小圆的半径都
2、为1，故其面积和为S21222，由几何概型可得，所求事件的概率P.故选B.2(课标全国)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是()A. B.C. D.解析：C从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种有以下选法：(红黄)、(红白)、(红紫)、(黄白)、(黄紫)、(白紫)，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛(亦即黄色和白色的花不在同一花坛)的选法有4种，所以所求事件的概率P，故选C.3(2020海口模拟)某学校星期一至星期五每天上午共安排五节课，每节课的时间为40分钟，第一节课上课时间为7：508：3
3、0，课间休息10分钟，某同学请假后返校，若他在8：509：30之间随机到达教室，则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率是()A. B.C. D.解析：B他在8：509：30之间随机到达教室，区间长度为40，他听第二节课的时间不少于20分钟，则他在8：509：00之间随机到达教室，区间长度为10，所以他在8：509：30之间随机到达教室，则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率是.4(2019全国卷)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是()A. B.C. D.解析：D本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养采取等同法，利用等价转化的思想解题两位男同学和
4、两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是.故选D.5(2020保定模拟)甲、乙、丙三名同学6次数学成绩及班级平均分(单位：分)如表所示：第一次第二次第三次第四次第五次第六次甲958792938794乙888085788672丙696372717474全班887281807577则下列说法错误的是()A甲同学的数学成绩高于班级平均水平，且较稳定B乙同学的数学成绩平均值是81.5分C从丙同学前4次的数学成绩中随机抽取2次，这2次中至少有1次成绩超过70分的概率为D在6次数学成绩中，乙同学成绩超过班级平均分的概率为解析：D由统
5、计表知，甲同学的数学成绩高于班级平均水平，且较稳定，故A正确；乙同学的数学成绩平均值是(888085788672)81.5，故B正确；从丙同学前4次的数学成绩中随机抽取2次的所有可能情况为(69,63)，(69,72)，(69,71)，(63,72)，(63,71)，)(72,71)，共6种，至少有1次成绩超过70分的情况为(69,72)，(69,71)，(63,72)，(63,71)，(72,71)，共5种，故所求概率为，故C正确；在6次数学成绩中，乙同学成绩超过班级平均分的次数为2，所以超过班级平均分的概率为，故D不正确故选D.6(2019潍坊三模)某商场对某一商品搞活动，已知该商品每一个
6、的进价为3元，销售价为8元，每天销售的第20个及之后的商品按半价出售，该商场统计了近10天这种商品的销售量，如图所示设x为这种商品每天的销售量，y为该商场每天销售这种商品的利润从日利润不少于96元的几天里任选2天，则选出的这2天日利润都是97元的概率为()A. B.C. D.解析：B当日销售量不少于20个时，日利润不少于96元，其中日销售量为20个时，日利润为96元；日销售量为21个时，日利润为97元从条形统计图可以看出，日销售量为20个的3天，日销售量为21个的有2天日销售量为20个的3天，分别记为a，b，c，日销售量为21个的2天，分别记为A，B，从这5天中任选2天，可能的情况有10种：(
7、a，b)，(a，c)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，(A，B)，其中选出的2天日销售量都为21个的情况只有1种，故所求概率P.二、填空题(本大题共2小题，每小题5分，共10分)7已知1,4,2,8，y这5个数的平均值为4，在2,0,1，y这4个数中随机取出3个不同的数，则2是取出的3个不同数的中位数的概率为_解析：由题意得451428y，得y5，从数2,0,1,5中随机取出3个不同的数，有(2,0,1)，(2,0,5)，(0,1,5)，(2,1,5)，共4种不同情况，其中2是取出的3个不同数的中位数的是(2,0,5)，(2,1,5)，共2种
8、，对应的概率P.答案：8(2019江苏卷)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_解析：计数原理是高考考查的重点内容，考查的形式有两种，一是独立考查，二是与古典概型结合考查，由于古典概型概率的计算比较明确，所以，计算正确基本事件总数是解题的重要一环在处理问题的过程中，应注意审清题意，明确“分类”“分步”，设3名男同学为A1、A2、A3,2名女同学为B1、B2，则从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿服务，A1A2、A1A3、A1B1、A1B2、A2A3、A2B1、A2B2、A3B1、A3B2、B1B2共10种情况若选出的2名学生
9、恰有1名女生，有A1B1、A1B2、A2B1、A2B2、A3B1、A3B2共6种情况，若选出的2名学生都是女生，有B1B2共1种情况，所以所求的概率为.答案：三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)9(2020武汉模拟)某公司为了提高利润，从2013年至2019年每年都对生产环节的改进进行投资，投资金额x(单位：万元)与年利润增长量y(单位：万元)的数据如表：年份2013201420152016201720182019投资金额x/万元4.55.05.56.06.57.07.5年利润增长量y/万元6.07.07.48.18.99.611.1(1)请用最小二乘法求出y关于x的回归直线方
10、程如果2020年该公司计划对生产环节的改进的投资金额为8万元，估计该公司在该年的年利润增长量为多少？(结果保留两位小数)(2)现从2013年至2019年这7年中抽出两年进行调查，记年利润增长量投资金额，求这两年都是2万元的概率解析：(1)6，8.3,7 348.6，8.31.57161.1261.13，所以回归直线方程为1.57x1.13.将x8代入方程得1.5781.1311.43，即该公司在该年的年利润增长量大约为11.43万元(2)由题意可知，年份2013201420152016201720182019/万元1.521.92.12.42.63.62013年至2019年这7年分别记为1,2
11、,3,4,5,6,7，则总的基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(2,7)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(5,6)，(5,7)，(6,7)，共21种，抽出的两年都是2万元的情况为(4,5)，(4,6)，(4,7)，(5,6)，(5,7)，(6,7)，共6种，所以抽出的两年都是2万元的概率P.10(2019北京卷)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变，近年来，移动支付已成为主要支付方式之一为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，
12、从全校所有的1 000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：支付金额支付方式不大于2 000元大于2 000元仅使用A27人3人仅使用B24人1人(1)估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；(2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率；(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化，现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2 000元结合(2)的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理
13、由解析：本题主要考查古典概型概率公式及其应用，概率的定义与应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力(1)由图表可知仅使用A的人数有30人，仅使用B的人数有25人，由题意知A，B两种支付方式都不使用的有5人，所以样本中两种支付方式都使用的有1003025540，所以全校学生中两种支付方式都使用的有1 000400(人)(2)因为样本中仅使用B的学生共有25人，只有1人支付金额大于2 000元，所以该学生上个月支付金额大于2 000元的概率为.(3)由(2)知支付金额大于2 000元的概率为，因为从仅使用B的学生中随机调查1人，发现他本月的支付金额大于2 000元，依据小概率事件它在一次试
14、验中是几乎不可能发生的，所以可以认为仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，且比上个月多答案：(1)400人(2)(3)见解析11(2020辽宁六校协作体联考)十九大报告指出，坚决打赢脱贫攻坚战某帮扶单位为帮助定点扶贫村真正脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，帮助贫困村种植蜜柚，并利用互联网电商渠道进行销售为了更好地销售，现从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚测量它们的质量(单位：克)，其质量分布在区间1 500,3 000内，根据统计质量的数据作出频率分布直方图如图所示(1)按分层抽样的方法从质量落在1 750,2 000)，2 000，2 250)内的蜜柚中随机抽取5个，再从这5
15、个蜜柚中随机抽取2个，求这2个蜜柚的质量均小于2 000克的概率；(2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该贫困村的蜜柚树上大约还有5 000个蜜柚待出售，某电商提出两种收购方案：A所有蜜柚均以40元/千克的价格收购；B质量低于2 250克的蜜柚以60元/个的价格收购，质量高于或等于2 250克的蜜柚以80元/个的价格收购请你通过计算为该村选择收益最好的方案解析：(1)由题意得蜜柚质量在1 750,2 000)内和在2 000，2 250)内的比例为23，所以应分别从质量在1 750,2 000)内和在2 000，2 250)内的蜜柚中各抽取2个和3个记抽取质量在
16、1 750,2 000)内的蜜柚为A1，A2，质量在2 000,2 250)内的蜜柚为B1，B2，B3，则从这5个蜜柚中随机抽取2个的情况共有以下10种：A1，A2，A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，B1，B2，B1，B3，B2，B3其中2个蜜柚的质量均小于2 000克的仅有A1，A2这1种情况，故所求概率为.(2)方案A好，理由如下由频率分布直方图可知，蜜柚质量在1 500,1 750)内的频率为2500.000 40.1，同理可得，蜜柚质量在1 750,2 000)，2 000,2 250)，2 250，2 500)，2 500,2 750)，2 75
17、0,3 000内的频率依次为0.1,0.15,0.4,0.2,0.05.若按方案A收购，根据题意可得各组蜜柚的个数依次为500,500,750，2 000，1 000,250.则总收益为(5005007502 0001 000250)401 000250(67)2(78)2(89)3(910)8(1011)4(1112)1401 0001 250(2630511528423)457 500(元)若按方案B收购，易知蜜柚质量低于2 250克的个数为(0.10.10.15)5 0001 750，蜜柚质量不低于2 250的个数为5 0001 7503 250.所以总收益为1 750603 2508025020(73134)365 000(元)因为457 500365 000，即方案A的收益比方案B的收益高，所以应该选择方案A.