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1、优秀学习资料欢迎下载机械能一、基本概念1、做功的两个必备因素是力和在力方向上的位移而往往某些力与物体的位移不在同一直线上，这时应注意这些力在位移方向上有无分力，确定这些力是否做功2、应用公式W Fscos计算时，应明确是哪个力或哪些力做功、做什么功，同时还应注意：(1)F必须是整个过程中大小、方向均不变的恒力，与物体运动轨迹和性质无关当物体做曲线运动而力的方向总在物体速度的方向上，大小不变，式中 应为 0，而 s 是物体通过的路程(2) 公式中 是 F、s 之间夹角， 在具体问题中可灵活应用矢量的分解；一般来说， 物体作直线运动时，可将F 沿 s 方向分解；物体作曲线运动时，应将s 沿 F 方
2、向分解，(3) 功是标量，但有正负，其正负特性由F 与 s 的夹角 的取值范围反映出来但必须注意，功的正负不表示方向，也不表示大小，其意义是表示物体与外界的能量转换(4) 本公式只是计算功的一种方法，今后还会学到计算功的另外一些方法，尤其是变力做功问题，决不能用本公式计算，那时应灵活巧妙地应用不同方法，思维不能僵化3、公式 P=W/t 求得的是功率的平均值。P=Fvcos求得的是功率的瞬时值。当物体做匀速运动时，平均值与瞬时值相等。4、PFvcos中的 为 F 与 v 的夹角，计算时一般情况下当物体做直线运动时，可将F沿 v 方向与垂直v 方向上分解， 若物体作曲线运动时可将v 沿 F及垂直
3、F 的两个方向分解5、PW/t 提供了机械以额定功率做功而物体受变力作用时计算功的一种方法6、功和能的关系应从以下方面理解：不论什么形式的能，只要能量发生了转化，则一定有力做功；能量转化了多少，力就做了多少功反之，只要有力做功，则一定发生了能量转化；力做了多少功，能量就转化了多少所以功是能量转化的量度，但决不是能的量度7、功与能是不同的概念，功是一个过程的量，而能是状态量。 正是力在过程中做了功，才使始末状态的能量不同，即能量的转化说功转化为能是错误的8、 “运动的物体具有的能叫动能”这句话是错误的因为运动的物体除了动能外还有势能9、关于重力势能，应明确：(1) 重力势能的系统性，即重力势能是
4、物体和地球共有的，而不是物体独有的， “物体的重力势能” 是一种不够严谨的习惯说法(2) 重力势能的相对性，势能的量值与零势能参考平面的选取有关Ep=mgh中的 h 是物体到参考平面的竖直高度通常取地面为参考平面解题时也可视问题的方便随意选取参考平面(3) 重力势能的变化与参考平面的选取无关，只与物体的始末位置有关10、重力做功的特点：(1) 与路径无关，只由重力和物体始、末位置高度差决定(2)重力做功一定等于重力势能的改变即WG=Ep1-Ep2，当重力做正功时，重力势能减少；当重力做负功时，重力势能增加。11、关于动能定理， 要注意动能定理的表达式的等号左边是且仅是所有外力的功，等号右边是且
5、仅是物体动能的改变量。在列动能定理方程时，不要考虑势能及势能的变化。12、关于机械能守恒定律应明确：(1) 定律成立的条件是 “只有重力做功或弹力做功”， 不是 “只有重力作用或弹力作用” 有其它力作用，但其它力不做功，而只有重力做功或弹力做功时，机械能仍守恒(2) 定律表示的是任一时刻、任一状态下物体机械能总量保持不变，故可以在整个过程中任取两个状态写出方程求解(3) 定律的表达式除了写成Ep1+Ep2=Ek1+Ek2外，还可写成Ep=- Ek，即在任一机械能守恒精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页优秀学习资料欢迎
6、下载的过程中，重力势能的减少( 增加 ) 一定等于动能的增加( 减少 ) 。利用 Ep=- Ek进行计算有时会显得简明13、应用机械能守恒定律解题时，只要考虑始末态下的机械能，无须顾及中间过程运动情况的细节。因此，对于运动过程复杂、受变力作用、作曲线运动等不能直接应用牛顿运动定律处理的问题，利用机械能守恒律会带来方便。14、应用机械能守恒定律解题的一般步骤：(1) 认真审题，确定研究对象；(2) 对研究对象进行受力分析和运动过程、状态的分析，弄清整个过程中各力做功的情况，确认是否符合机械能守恒的条件；(3) 确定一个过程、两个状态( 始末 ) ，选取零势能参考平面，确定始末状态的动能、势能值或
7、这个过程中Ep和Ek的值；(4) 利用机械能守恒定律列方程，必要时还要根据其它力学知识列出联立方程；(5) 统一单位求解解题的关键是准确找出始、末状态的动能和势能的值，尤其是势能值的确定二、恒力做功与变力做功问题1、恒力做功求解恒力功的方法一般是用功的定义式W=Fscos ，需要特别注意：（1）位移 s 的含义：是力直接作用的物体对地的位移。当力在物体上的作用位置不变时， s 就是力作用的那个质点的位移；当力在物体上的作用位置不断改变时，s 应是物体的位移。 如：一个不能视为质点的物体受到滑动摩擦力作用时，摩擦力的作用点时时变化，此时 s 就不是摩擦力作用点的位移，而是物体的位移。例 如图示，
8、质量为m 、初速为 v0的小木块，在桌面上滑动。动摩擦因数为，求木块停止滑动前摩擦力对木块和桌面所做的功。解 对木块： W1=-fs=- mg v02/ （2g）=-mv02/2 对桌面： W2=0 例 如图示，质量为m 、初速为v0的小木块，在一块质量为M的木板上滑动， 板放在光滑水平桌面上， 求木块和板相对静止前，摩擦力对木块和木板所做的功。解 据动量守恒mv0=（ m+M ）v 得W1=-fs2=- mgM （M+2m ）v02/ （M+m ）22g =-Mm(M+2m)v02/2 （M+m ）2W2=fs1=Mm2v02/2 （M+m ）2g（2）一对相互作用力所做功之和不一定为零如：
9、人竖直向上跳起，地面对人的作用力对人做正功，人对地而不做功（地球位移视为零） ，总功为正；一对静摩擦力，位移值一定相同，总功必为零；一对滑动摩擦力，做功时必然发热，系统内能增加，总功必为负。转化为内能值为相fsEk2、判断做功正负的方法（1）从力与位移或速度方向的关系进行判断。如： “子弹打木块”问题，摩擦力对子弹做负功，对木块做正功。例 如图所示，质量为M的木块静止在光滑水平面上，质量为m的子弹以水平速度0v射精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载中与木块一起以速度v 运动，已知当子弹相对木块静止
10、时，木块前进距离为L，子弹进入木块的深度为d，若木块对子弹的阻力F 恒定，那么下列关系式中正确的是（） 、 、A、221MvFL B、221MvFdC、220)(2121vmMmvFd D 、2202121)(mvmvdLF（2）从能量的增减进行判断例 如图示，在质量不计、长度为L 的直杆一端和中点分别固定一个质量都是m的小球A和 B，试判断当杆从水平位置无摩擦地转到竖直位置的过程中，杆对A、B球做功的正负。解 A、B两球组成的系统的机械能守恒，由机械能守恒定律：2221212BAmvmvlmgmgl由于两球在同一杆上，角速度相等，故BAvv2解之得：glvA1552，glvB1551与 A、
11、B球自由下落时的速度比较，glvA2，glvB可见AAvv，BBvv，故杆对 A球做正功，对B球做负功。3、变力做功大小或方向变化的力所做的功，一般不能用功的公式W=Fscos 去求解需变换思维方式，独辟蹊径求解。(1) 用功率定义式求解将功率的定义式P=W/t 变形，得W=Pt。在求解交通工具牵引力做功问题时经常用到此公式。例 质量为 m的汽车在平直公路上以初速度v0开始匀加速行驶， 经时间 t 前进距离s 后，速度达最大值vm，设在这段过程中发动机的功率恒为P，汽车所受阻力恒为f ，则在这段时间内发动机所做的功为：A、Pt B、 fvMt C、fs+mvm2/2 D、 mvm2/2-mv0
12、2/2+fs （答案： ABD ）(2) 用动能定理求解变力做功求解某个变力所做的功，可以利用动能定理， 通过动能改变量和其余力做功情况来确定。例 如图所示，把一小球系在轻绳的一端，轻绳的另一端穿过光滑木板的小孔，且受到竖直向下的拉力作用当拉力为F 时，小球做匀速圆周运动的轨道半径为R当拉力逐渐增至4F 时，小球匀速圆周运动的轨道半径为R 2在此过程中，拉力对小球做了多少功? 解 此题中的F 是一个大小变化的力，故我们不能直接用功的公式求解拉力的功根据 F=mv2R，我们可分别求得前、后两个状态小球的动能，这两状态动能之差就是拉力所做的功由 F=mv12R 4F=mv220.5R 精选学习资料
13、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载得 WF=mv222-mv122=FR/2 例 如图， 用 F20N的恒力拉跨过定滑轮的细绳的一端，使质量为 10kg 的物体从A点由静止沿水平面运动当它运动到B点时，速度为 3m s设 OC 4m ，BC 3m ，AC 9.6m，求物体克服摩擦力做的功解 作出物体在运动过程中的受力图。其中绳的拉力T 大小不变，但方向时刻改变N 随 T 方向的变化而变化(此力不做功 ) f随正压力N的变化而变化 因此对物体来说，存在着两个变力做功的问题但绳拉力T做的功，在数值上应等于向下恒
14、力F做的功 F 的大小已知， F 移动的距离应为OA 、OB两段绳长之差mCACOAO4.102mCBCOBO52由动能定理 WF+Wf= Ek得：021)(2BfmvWBOAOFWf -63(J) 即物体克服摩擦力做了63J 耳的功(3) 用图象法求解变力做功如果能知道变力F 随位移 s 变化的关系， 我们可以先作出F-s 关系图象， 并利用这个图象求变力所做的功 例 如图，密度为 ，边长为a 的正立方体木块漂浮在水面上 ( 水的密度为 0) 现用力将木块按入水中，直到木块上表面刚浸没，此过程浮力做了多少功? 解 未用力按木块时，木块处于二力平衡状态F浮=mg 即0ga2（a-h ）=ga3
15、并可求得： h=a（0- ）/ 0（h 为木块在水面上的高度）在用力按木块到木块上表面刚浸没，木块受的浮力逐渐增大，上表面刚浸没时，浮力达到最大值： F浮=0ga3以开始位量为向下位移x 的起点，浮力可表示为：F浮= ga3+0ga2x 根据这一关系式，我们可作出F浮-x 图象 ( 如图右所示 ) 在此图象中，梯形OhBA所包围的“面积”即为浮力在此过程所做的功。W= （0ga3+ ga3）h/2=ga3h（0+）/2 这里的“面积”为什么就是变力所做的功?大家可结合匀变速运动的速度图象中的“面积”表示位移来加以理解即使 F-x 关系是二次函数的关系，它的图象是一条曲线，这个“面积”仍是变力在
16、相应过程中所做的功三、重力功率与交通工具起动问题1、重力的功率（1）自由落体过程中重力的功率（2）平抛运动中重力的功率（3）沿斜面滑行的物体的重力的功率精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载例 质量为 m的物体，由静止开始沿倾角为的光滑斜面下滑，求前3s 内、第 3s 内、第 3s 末重力做功的功率。解222111sin5.133sin21sinmggmgtWP2222222sin5.21)2sin213sin21(sinmgggmgtWP223sin3)90cos(3sincosmggmgvFP2
17、、交通工具起动时的牵引力及功率汽车等交通工具的起动方式有两种：一是以恒定功率起动，二是汽车以恒定的牵引力起动，具体分析如下：（1）输出功率不变时的运动由于牵引力FPv，随着速度v 的增大， 牵引力 F 减小， 则加速度 a=（F-f ）/m 减小，但因 a 与 v 同向，汽车的速度v 不断增大， F 减小， a 减小，直至a=0 时，汽车作匀速运动，此时速度为最大值vmP/F=P/f ，在此之前，由牛顿第二定律得：（P/v ）-f=ma ，可知任一速度值均有与之相对应的一个确定的加速度值由于汽车做变加速运动，所以不能用匀变速直线运动的公式求解，也不能对全过程应用牛顿第二定律，但动能定理是适用的
18、，力和加速度瞬时对应关系也成立，因此解题时通常是对某一过程列动能定理方程，对某一瞬时列牛顿第二定律方程例 辆机车的质量为750T， 沿平直轨道由静止开始运动它以额定功率在5 分钟内驶过2.5km，并达到10m s 的最大速度求：(1) 机车发动机的额定功率P和机车与轨道间的摩擦因数 分别是多少 ?(2) 当机车速度为5m s 时的加速度多大(g 取10m s2) 解 图所示， 设机车在 A处起动，因功率不变，故随着速度的增大，牵引力减小，加速度减小，机车做变加速运动当牵引力减小到F=f 的 B处时，速度达到最大值vm，以后机车做匀速运动(1) 由动能定理得：Pt- mgs=mvm2/2 在 B
19、处： F=f= mg ，故有 P=Fv=mgvm将式代人式、并代入数据可得：=0.01 再将 值代入式得：P=7.5 105J (2) 设此时牵引力为F , 则F =P/v =7.5 1055=1.5 105N 再由 F -f=ma 得a=(F -f)/m=0.1m s2例 出功率保持10kw 的起重机起吊500kg 的重物，当货物升高到2m时速度达到最大值，此最大速度是多少?此过程用了多长时间?(g 取 10m s2) 解 重机以恒定的功率吊起重物的过程是加速度不断减小、速度不断增大的过程.当货物精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5
20、 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载的速度达到最大时，起重机的牵引力与货物的重力相平衡，即：F=mg=5 103N，vmP F=2m s求解这一段运动时间不能用匀变速运动的公式，我们可以货物为研究对象运用动能定理求解：Pt-WG=mv2/2, t=(mv2/2+mgh)/P=1.1s (2) 牵引力不变时的运动汽车以恒定的牵引力起动，则汽车开始一段时间作匀加速运动，由v=at及 P=Fv=Fat可知，随时间的延长汽车的功率越来越大，直到达到其最大功率时，输出功率不能再增大，但此时由于牵引力仍大于阻力，汽车仍加速， 则因受最大功率的制约，牵引力必须减小，汽车做加速度越来越小的匀加速运动，直至
21、a=0 时做匀速运动， 故此种情形下， 汽车前一阶段做匀加速运动， 后一阶段做变加速运动。在汽车做匀加速运动阶段中, 我们既可以运用功的公式、动能定理来求解，也可以运用牛顿运动定律来求解对变加速运动阶段, 则必须用第(1) 点的方法求解. 例 车的质量为m ， 它在运动中受到的阻力f 恒定不变。 汽车发动机的额定功率为P ， 求：(1) 汽车在作匀加速运动时的长大速度是多少?(2) 汽车从静止出发作加速度为a 的匀加速运动的时间不应超过多少? 解 车受到的阻力一定，且又做的是匀加速运动，所以它受到的牵引力也是一定的F-f=ma 随着速度的增加, 汽车的输出功率也在不断增大当输出功率达到额定功率
22、时，这时汽车行驶的速度不允许再增加了此时有：vm=P/F=P/(ma+f) 再根据运动学公式，可求出这段过程所需时间：t=vm/a=P/(ma+f)a 四、动能定理1、灵活选取适当过程，运用动能定理例 量过为 4kg 的铅球，从离沙坑1.8m 的高处自由落下. 铅球落进沙坑后陷入0.2m 深而停止运动，求沙坑对铅球的平均阻力(g 取 10m 2). 解 铅球在前一段作自由落体运动，后一段作匀减速运动对前一段可用机械能守恒求解，后一段可用动能定理求解但如果我们把开始下落到最终停止看成一个过程，运用动能定理列式，将很快得到结果：由 W= Ek可得： mg （ h+s）-fs=0-0=0 f= （h
23、+s）mg/s=（1.8+0.2 ） 4100.2=400N 此题我们用动能定理列式时，把两段过程处理成一个过程，求解就便捷得多了2、结合隔离法，运用动能定理例 质量为 M的列车，沿平直轨道匀速前进，质量为m的末节车厢中途脱钩，当司机发觉时，机车已行驶L 距离，于是他立即关闭油门，撤去牵引力。 设车运动的阻力与重力成正比，机车的牵引力为定值， 当列车的两部分都停止运动时，它们的距离是多少 ? 解 此题牵涉机车和车厢这两个研究对象，它们又分别经历着不同的变速运动过程如果从动力学、 运动学角度去分析求解将非常麻烦我们运用隔离法针对每一个研究对象运动的全过程分析其受力，画出其运动的示意图如图所示，并
24、分别列出它们动能定理的表达式：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载未脱钩时，整列车匀速前进，有：F=KMg (1) 脱钩后，两车分别作加速、减速运动对机车： FL-K（M-m ） gs1=0-（M-m ）v02/2 (2) 对车厢： -Kmgs2=0-mv02/2 (3) 将(1) 代入 (2) 后再将等式两边分别与(3) 相除，化简，得：s=s1-s2=ML/（M-m ）3、结合运动分解，运用动能定理例 如图所示，某人通过过一根跨过定滑轮的轻绳提升一个质量为m的重物， 开始时人在滑轮的正下方，绳
25、下端 A点离滑轮的距离为H。人由静止拉着绳向右移动，当绳下端到B点位置时，人的速度为v，绳与水平面夹角为。问在这个过程中，人对重物做了多少功? 解 人移动时对绳的拉力不是恒力，重物不是做匀速运动也不是作匀变速运动，故无法用W=Fscos 求对重物作的功，需从动能定理的角度来分析求解当绳下端由A点移到 B点时，重物上升的高度为：sin)sin1 (sinHHHh重力做功的数值为：sin)sin1(mgHWG当绳在 B点实际水平速度为v 时， v 可以分解为沿绳斜向下的分速度v1和绕定滑轮逆时针转动的分速度v2，其中沿绳斜向下的分速度v1和 5 重物上升速度的大小是一致的，从图中可看出： v1=v
26、cos 以重物为研究对象，根据动能定理得：02121mvWWG人2cossin)sin1 (22mvmgHW人4、动能定理与牛顿运动定律的比较用牛顿运动定律解题涉及到的有关物理量比较多，如F、a、m 、v、s、t 等对运动过程的细节变化也要掌握得比较充分，才可列式求解。 而运用动能定理解题涉及到的物理量只有 F、s、m 、v它对运动过程的细节及其变化也不要求了解，只需考虑始末两状态的动能和外力做的功，它还可把不同运动过程合并成一个全过程来处理，使解题过程简便当然，如果题目中要求了解加速度a、运动时间t 等细节，那就需要从动力学、运动学的角度去分析，不能直接求解了。例 如图所示，小滑块从斜面顶点
27、4 由静止滑至水平部分C点而停止已知斜面高为h，滑块运动的整个水平距离为s求小滑块与接触面间的动摩擦因数( 设滑块与各部分的动摩擦因数相同 ) 解 滑块从 A点滑到 C点，只有重力和摩擦力做功，设滑块质量为m ，动摩擦因数为，斜面倾角为 ，斜面底边长s1，水平部分长s2，由动能定理得：0coscos21mgssmgmgh精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载得=h/s 由此题可见，用动能定理求解，回避了加速度a，不必考虑细节，解题过程简单很多五、重力做功与重力势能的改变1、物体受到重力作用具有重力势
28、能。它的表达式Epmgh ，适用于 g 不变的情况。 式中h 是相对于选定的零势能面的高度，所以重力势能和功、动能一样具有相对性。重力势能也是标量，有正、负、零之分。重力势能等于零，并不意味着物体不具有重力势能，零值势能比负势能大。因此，在比较势能大小时，既要选取同一参考面，又要注意它的符号，这跟功大小的比较是不一样的。2、重力做功一定改变物体的重力势能，这是又一种重要的功能关系。在一个过程中，重力做多少功， 重力势能就减少多少，克服重力做多少功，重力势能就增加多少，而跟零势能面的选取无关，跟物体做什么运动，是否有其它力做功以及物体动能是否变化等也无关，这是要特别注意的。例 物体从 A运动到
29、B点的过程中， 重力做功 8J，推力做功 2J，物体克服阻力做功10J。则：A、物体重力势能一定减少8J B、物体机械能一定减少10J C、合力功为零 D、重力做功一定不改变物体的动能（答案） AC 六、机械能守恒定律的应用系统内力做功问题凡符合 “只有重力做功，其它力均不做功”这一条件的问题，用机械能守恒定律来求解是十分方便的。因为它只涉及到研究对象( 某一物体或某一物体系统) 的始末两状态的机械能，而不考虑运动过程的任何细节，也不考虑做功的数值，列式和求解都很便捷对于单一物体，我们很容易判断它是否满足机械能守恒的条件对于某一系统来说，用隔离法考察系统内每一个物体，它们可能不符合机械能守恒的
30、条件。但对整体，除重力外，无其它外力做功，且内力做功的代数和为零，则该系统的机械能也是守恒的。如图示，A 和 B 在运动中除了重力做功外，绳子拉力对它们都做功，因而在A 上升和 B 下降过程中， A 和 B 各自的机械能不守恒，但如果把它们看成一个整体，则绳子拉力是它们之间相互作用的内力，拉力对A做正功的数值和拉力对B做负功的数值相等， 就整体而言， 内力不做功，故整个系统机械能守恒。有些问题中， 系统所受其它外力不做功，但系统内力做功的代数和不为零， 则该系统的机械能就不守恒。如图示，滑块A滑上小车B粗糙的上表面后， A、B之间相互作用的内力（摩擦力） 做功的代数和不为零，即使地面光滑，A、
31、B系统的机械能也是不守恒的。例 如图所示，在光滑的水平面上放有一质量为m 、高为 a 的立方块一根轻杆长4a，下端用铰链固定在地面上，上端固定一质量也为m的重球开始杆与水平面成53角静止，杆与木块无摩擦释放后，当杆与水平面成30角时，木块速度多大? 解 此题球与木块的运动过程复杂，有关力做功的情况又不清楚，放无法从动力学、动能定理求解我们可把球和木块看成一个系统，对此系统来说，只有小球重力做功，内力做功代数和为零，系统的机械能是守恒的(杆的质量不计，其能量也不考虑) 。由机械能守恒定律，可得：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，
32、共 13 页优秀学习资料欢迎下载2230sin453sin422mvmvamgamg球（1）从图中看出，木块实际运动速度v木可分解为沿杆向上的速度v1和垂直于杆的速度v2，且：v2=v木sin30 v木/2 小球的速度也垂直于杆的，它与v2的比值等于转动半径之比：30sin42aavv球，v球=2v2=v木（2）把(2) 式代入 (1) 即可得56gav木七、动量守恒和机械能守恒动量守恒和机械能守恒是力学中两个重要的守恒定律，它们有完全不同的守恒内容和各自严格的成立条件，必须学会区别和判定。一物体被匀速提起，其动量守恒，动能也守恒，但重力势能增加，机械能不守恒，这是因为有重力以外的拉力做正功的
33、原因。单摆运动， 显然动量不守恒，动能也不守恒， 但绳拉力不做功， 运动过程只有重力做功，所以机械能守恒。做抛体运动的物体如果有受到空气阻力作用，物体的动量、动能、机械能都不守恒。例 如图示， 甲、丙是具有四分之一圆弧的光滑槽，乙是粗糙水平槽。三者相触置放于光滑水平面上，能让小球在其上平顺滑过。现让小球从高处落下恰能切入甲槽。下列说法正确的是：A、球在甲槽上滑行时，取球和甲为系统，动量不守恒，系统机械能守恒。B、球滑上乙后，取球乙、丙为系统，系统水平方向动量守恒，机械能不守恒。C、球滑上丙后，取球、丙为系统，机械能守恒，水平方向的动量守恒。D、取甲、乙、丙为系统，机械能守恒，动量也守恒。（答案
34、） ABC 例 如图，摆球质量m 0.1kg ，摆长L0.1m，球与水平面接触而无压力。两侧等远处有正对挡板，相距2m 。另有质量M m的小滑块与水平面间摩擦因数为0.25 ，从左挡板处以初速的向小球方向运动。 设滑块与小球， 滑块与挡板的每次碰撞系统均无机械能损失。滑块静止前小球在竖直面内绕O点完成 10 次完整的圆周运动，求 v0的最小值。 (g 取 10m s2) 解 取滑块和小球为一系统，碰撞前后水平方向动量守恒。因M m ，碰撞无能量损失，所以碰后二者交换速度，即滑块停于中点，小球作圆周运动。 当小球反碰滑块时，小球停止，滑块继续向右， 碰挡板后等值反向运动，重复上述过程。 此外，滑
35、块滑行过程克服阻力做功，动能减少，因此，小球圆周运动的速度也越来越小。第10 次圆周运动小球在最高点的速率v2应为gL 1m/s。根据机械能守恒定律，这时小球在最低点速度v1为55gLm/s，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载这也就是滑块在小球完成10 次圆周运动后具有的最小速度。容易推算，这之前滑块已来回滑行 19 米的路程，根据动能定理，设滑块的最小初速度为v0，应有：20211 .0211.02119101 .025.0vv得 v010m/s 八、一道含有弹簧的系统的机械能守恒问题机械能等
36、于动能与势能的代数和，而势能包括重力势能与弹性势能，即 EEk+Ep+Ep ， 我们在学习过程中遇到的大多是关于动能与重力势能的问题。下面则是一道含有弹簧的机械能守恒问题，现在我们结合机械能解题的基本方法对该例题进行分析。例 如图， 竖直向下的力F 作用于质量为m1的物体 A上，物体 A置于质量为m2的物体 B 上， B 与原长为L 的直立于水平地面上的轻弹簧上端相连，平衡时弹簧的压缩量为x。现将 F 撤去物体AB向上运动，且物体A 向上运动达到最高点时离地面高度为h，求：弹簧恢复原长时物体A的速度；弹簧弹性势能的最大值。 分析 （一）判断机械能是否守恒：( 此类问题应首先考虑能量方法，其次才
37、考虑其它方法 ) 在整个过程中(F 撤消后 ) ，只有重力及弹簧弹力对物体做功，所以物体AB与弹簧组成的系统机械能守恒。（二）设想物理图景，分析各图景中的受力、运动及能量转化情况：( 以下物理图景与分析步骤对应 ) 1、初始状态： 物体 AB处于平衡状 态 ， 对AB 整 体 受 力 分 析 得 ：f=kx=F+ （m1+m2）g。2、力 F 撤消后， 由于 f（m1+m2）g，物体 AB受到的合力方向向上，AB将开始向上运动。因此弹簧压缩量x减小；弹力f 减小 F合=f- （m1+m2） g也随之减小， 加速度 a 也减小， 所以物体 AB将向上做加速度逐渐减小的变加速运动。 该过程中， 弹
38、簧弹性势能转化为物体AB 的动能与重力势能。3、当 f= （m1+m2） g时， F合=0，即 a=0，物体 AB向上的速度达到最大值vmax。4、物体 AB继续向上运动，弹力f=kx 继续减小，此时f （m1+m2） g，AB受到合力方向向下，大小F合=（ m1+m2）g-f ，由于 f 减小， F合增大， a 增大，因此物体AB向上做加速度增大的减速运动，速度逐渐减小。该过程仍为弹簧弹性势能转化为AB的动能与重力势能。5、当弹簧恢复原长时，f=0，物体 AB此刻有相同向上速度v。6、物体 AB继续向上运动，物体A受重力 m1g，而 B由于弹簧被拉伸还受到向下的弹簧弹力 f ，因此弹簧恢复原
39、长后，物体A与 B脱离。物体A做竖直上抛运动，机械能守恒；物体 B由于弹簧作用将做上下往复运动，B与弹簧组成的系统机械能也守恒。以上对整个运动过程作了较详细分析后，解题思路就清晰了。解 弹簧恢复原长后，(图 6) 向上做上抛运动，机械能守恒，即：m1gL+m1v2/2=m1gh 所以：)(2Lhgv精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载弹簧弹性势能Ep 最大， ( 即图 1 中弹性势能Ep ) 当力 F 撤消后，图l 至图 5 中，弹性势能转化为AB的动能与重力势能，至弹簧恢复原长，弹性势能为0，
40、此过程系统机械守恒：Epmax =（m1+m2）v2/2+ （m1+m2）gx =（m1+m2）g(h-L-x) 九、功能关系和能量守恒1、能的转化和守恒守律：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为别的形式， 或者由一个物体转移到别的物体，而在这种转化和转移中保持能的总量不变。2、功能关系：做功的过程就是能的转化的过程，做了多少功，就有某种形式的能转化成等量的其它形式的能，即功是能的转化的量度( 功不是能， 也不是能量大小的量度) 。重力做功是重力势能变化的量度；合力做功是动能变化的量度。如果只有重力做功，减少的重力势能等量地转化为动能，机械能是守恒的。在实际问题中，常常遇
41、到除重力做功以外，还有牵引力、阻力等其它外力做功的情况。这时，物体的机械能就发生变化。如果重力以外的力做功的代数和是正的机械能增加；重力以外的力做功的代数和是负的，机械能减少。重力以外的力做功是机械能变化的量度，即：重力以外的其余力做功等于机械能的改变。功能关系跟动能定理是一致的。某些问题， 物体机械能的变化是显而易见的，这时利用功能关系求其它力做功就十分方便。例 如图所示， 有底面积为S的蓄水池， 内蓄半池水，池深 H。现在岸上用抽水机将水抽上，设水从抽水机管中以恒定速率v 流出，水密度为 ，求抽水机抽完水所做的功。解 显然，研究对象是半池水，其质量m SH /2 。可假设初态机械能为零。抽
42、上地面后其机械能应为22143mvmgH。这一机械能的增量即等于抽水机所做的功。3、功和能是两个不同概念的物理量。功是过程物理量，能是状态物理量。功能关系揭示的是能量状态的改变可以通过做功的过程来实现，并用做功的多少来量度。能的转化和守恒定律揭示的是不同形式能量之间的等量转化或转移。应用功能关系和能的转化和守恒定律解题时，一定要区别功和能，不要混同起来。例 一物体在电动机牵引下沿斜面向下运动，在一段过程中，牵引力做功8kJ，重力做功 10kJ，物体克服摩擦力做功12kJ。则：A、重力势能减少10kJ B、故动能增加6kJ C、机械能减少4kJ D、内能增加12kJ （答案） ABCD 十、综合
43、应用单个物体：动量定理（涉及时间）、动能定理（涉及位移）相互作用的两个物体：动量守恒定律（碰撞等问题）、能量守恒定律（有相对位移）例 在光滑水平面上，静放着质量为M的木块。若木块固定，质量为m的子弹以水平速度射击木块，恰好穿透。若木块可自由移动，该子弹以相同速度射击木块，则射入的深度等于多少 ?( 设木块厚度为d，两次射击，子弹在木块中所受阻力不变。) 解第一次20210mvfd第二次：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载2200)(2121)(vmMmvdfvmMmvdmMMd十、关于传送带问
44、题传送带类分水平、倾斜两种：按转向分顺时针、逆时针转两种。（1）受力和运动分析：受力分析中的摩擦力突变（大小、 方向） 发生在V物与 V传相同的时刻； 运动分析中的速度变化相对运动方向和对地速度变化。分析关键是：一是 V物、V带的大小与方向；二是 mgsin与 f 的大小与方向。(2) 传送带问题中的功能分析功能关系： WF=EK+EP+Q 对 WF、Q的正确理解（a）传送带做的功：WF=FS带功率 P=FV带（F由传送带受力平衡求得）（b）产生的内能：Q=fS相对（c）如物体无初速，放在水平传送带上，则在整个加速过程中物体获得的动能EK，因为摩擦而产生的热量Q有如下关系： EK=Q=2mv2
45、1传例 如图所示，倾角为30的皮带运输机的皮带始终绷紧，且以恒定速度v2.5m/s 运动，两轮相距LAB 5m ，将质量 m 1kg 的物体无初速地轻轻放在A处，若物体与皮带间的动摩擦因数 3 2( 取 g10m/s2）物体从A运动到 , 皮带对物体所做的功是多少? 物体从A运动到 B共需多少时间? 在这段时间内电动机对运输机所做的功是多少? 解: 第一阶段 , 物块匀加速运动a=gcosgsin =2.5 2111,1.252vvtsaa, 传送带/112.5svt12121.52.5lsttttv总111.25,sss相相对位移第二阶段物块匀速运动2121128.1252cos9.37537.5WmvmghJQmgsJWWQJ相皮带对物体做的功摩擦产生的内能电动机对运输机做功精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页