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1、朗培教育椭圆专题解析1. 椭圆定义：1第一定义：平面内与两个定点21FF、的距离之和为常数|)|2(222FFaa的动点P的轨迹叫椭圆, 其中两个定点21FF、叫椭圆的焦点. 当21212FFaPFPF时, P的轨迹为椭圆 ; ; 当21212FFaPFPF时, P的轨迹不存在; 当21212FFaPFPF时, P的轨迹为以21FF、为端点的线段2椭圆的第二定义: 平面内到定点F与定直线l( 定点F不在定直线l上) 的距离之比是常数e(10e) 的点的轨迹为椭圆利用第二定义, 可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化. 2. 椭圆的方程与几何性质: 标准方程)0(12222b
2、abyax)0( 12222babxay性质参数关系222cba焦点)0 ,(),0 ,(cc),0(), 0(cc焦距c2范围byax| ,|bxay| ,|顶点),0(),0(),0,(),0 ,(bbaa)0,(),0,(),0(),0(bbaa对称性关于 x 轴、 y 轴和原点对称离心率) 1 ,0(ace准线cax2cay2考点 1 椭圆定义及标准方程题型 1: 椭圆定义的运用例 1 (湖北部分重点中学2009 届高三联考 )椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B 是它的焦点，长轴长为2a
3、，焦距为2c，静放在点A 的小球小球的半径不计，从点 A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是A4a B2(ac) C 2(a+c) D以上答案均有可能解析 按小球的运行路径分三种情况: (1)ACA,此时小球经过的路程为2(ac); (2)ABDBA, 此时小球经过的路程为2(a+c); OxyD P A B C Q 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页(3)AQBPA此时小球经过的路程为4a,故选 D 【名师指引】考虑小球的运行路径要全面【新题导练】1.短轴长为5，离心率32e的椭圆两焦点
4、为F1， F2，过F1作直线交椭圆于A、B 两点，则ABF2的周长为A.3 B.6 C.12 D.24解析 C. 长半轴 a=3， ABF2的周长为4a=122.已 知P为 椭 圆2212516xy上 的 一 点 ，,M N分 别 为 圆22(3)1xy和 圆22(3)4xy上 的 点 ， 则PMPN的最小值为A 5 B 7 C 13 D 15 解析 B. 两圆心 C、D 恰为椭圆的焦点，10|PDPC，PMPN的最小值为10-1-2=7 题型 2 求椭圆的标准方程例 2 设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为244，求此椭圆方
5、程. 【解题思路】将题中所给条件用关于参数cba,的式子“描述”出来 解析 设椭圆的方程为12222byax或)0(12222baaybx，则222)12(4cbacacb，解之得：24a，b=c4.则所求的椭圆的方程为1163222yx或1321622yx. 【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数cba,的数量关系警示易漏焦点在y 轴上的情况【新题导练】3. 如果方程x2+ky2=2 表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是 _. 解析 (0,1). 椭圆方程化为22x+ky22=1. 焦点在y轴上，则k22，即k0， 0k0 * x1x22kmk22， x1x2m21k22 AP
6、 3 PB x13x2x1x2 2x2x1x2 3x22消去 x2，得 3x1x224x1x20， 3 2kmk2224m21k220 整理得 4k2m22m2 k2 20精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页m214时，上式不成立；m214时， k222m24m21，因 3 k0 k222m24m210， 1m12或12m2m22 成立，所以 * 成立即所求 m 的取值范围为1，1212，1【名师指引】椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一，应充分重视向量的功能【新题导练】14. 设过点yxP,的直线分别与x轴
7、的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点， 假设PABP2，且1ABOQ，则P点的轨迹方程是 A. 0,0132322yxyx B. 0,0132322yxyxC. 0,0123322yxyx D. 0,0123322yxyx解析 ),(),3,23(yxOQyxAB132322yx，选 A.15.如图，在 RtABC中，CAB=90，AB=2， AC=22。 一曲线 E过点 C， 动点 P在曲线 E上运动，且保持 | PA|+| PB|的值不变，直线l 经过 A与曲线 E交于 M、N 两点。1建立适当的坐标系，求曲线E的方程；2设直线l 的斜率为k，假设 M
8、BN 为钝角，求k 的取值范围。解： 1以 AB所在直线为x 轴， AB 的中点 O 为原点建立直角坐标系，则A 1，0 ，B1，0由题设可得2222322)22(222|22CBCAPBPA动点 P的轨迹方程为)0(12222babyax，则1.1,222cabca曲线 E方程为1222yx2直线 MN 的方程为),(),(),(),1(221111yxNyxMyxMxky设设由0)1(24)21 (022) 1(222222kxkxkyxxky得0882k精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页方程有两个不等的实数根
9、2221222121)1(2,224xkkxxkkx), 1(), 1(2211yxBNyxBM) 1)(1()1)(1()1)(1(112212121xxkxxyyxxBNBM22122121)(1()1(kxxkxxk22222222221171)214)(1(21) 1(2)1(kkkkkkkkk MBN 是钝角0BNBM即0211722kk解得：7777k又 M、B、N 三点不共线0k综上所述， k 的取值范围是)77,0()0,77(基础稳固训练901BDB,则椭1. 如下列图 ,椭圆中心在原点,F是左焦点 ,直线1AB与 BF交于 D,且圆的离心率为( ) A 213B 215C
10、215D 23 解析 B . eaccacbab221)(2152. 设 F1、F2为椭圆42x+y2=1 的两焦点， P在椭圆上，当F1PF2面积为 1 时，21PFPF的值为A、0B、1C、2D、3 解析 A . 1|321PPFFyS，P的纵坐标为33，从而 P的坐标为)33,362(，21PFPF0，3.椭圆221369xy的一条弦被(4,2)A平分 , 那么这条弦所在的直线方程是A20 xyB2100 xyC220 xyD280 xy 解析 D. 19362121yx,19362222yx,两式相减得：0)(421212121xxyyyyxx，4,82121yyxx，212121xx
11、yy4.在ABC中，90A，3tan4B假设以AB，为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页 解析 BCACABekBCkACkAB,5,3,4125. 已知21,FF为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,假设3:2:1:211221PFFFPFFPF, 则此椭圆的离心率为 _. 解析 13三角形三边的比是2:3:1 6.在平面直角坐标系中，椭圆2222xyab1( ab0)的焦距为2，以 O 为圆心，a为半径的圆，过点2,0ac作圆的两切线互相垂直，则离心率e= 解析 eaca222
12、2综合提高训练7、已知椭圆)0(12222babyax与过点A(2，0)，B(0，1)的直线l 有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率23e求椭圆方程 解析 直线 l 的方程为：121xy由已知2222423baaba由12112222xybyax得：0)41(2222222baaxaxab0)(4(222224baaaba，即2244ba由得：21222ba，故椭圆 E方程为121222yx8. 已知 A、B 分别是椭圆12222byax的左右两个焦点，O 为坐标原点，点P22, 1(在椭圆上，线段PB与 y 轴的交点 M 为线段 PB的中点。1求椭圆的标准方程；2点 C是椭圆上异于长轴端点的
13、任意一点，对于ABC，求sinsinsinABC的值。 解析 1点M是线段PB的中点OM是PAB的中位线又ABOMABPA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页2222222211112,1,12cabcababc解得椭圆的标准方程为222yx=1 2点 C在椭圆上， A、B是椭圆的两个焦点ACBC2a2 2， AB2c2 在 ABC中，由正弦定理，sinsinsinBCACABABCsinsinsinABC2 222BCACAB9. 已知长方形ABCD, AB=22,BC=1.以 AB 的中点O为原点建立如图8 所示
14、的平面直角坐标系xoy. ( ) 求以 A、B为焦点，且过C、D 两点的椭圆的标准方程; ( )过点 P(0,2)的直线l交( ) 中椭圆于M,N 两点 ,是否存在直线l,使得以弦MN 为直径的圆恰好过原点?假设存在 ,求出直线l的方程 ;假设不存在 ,说明理由 . 解析 ()由题意可得点A,B,C的坐标分别为1 ,2,0,2,0,2.设椭圆的标准方程是012222babyax.2240122012222222BCACa则2a224222cab.椭圆的标准方程是.12422yx( )由题意直线的斜率存在,可设直线l的方程为02 kkxy.设 M,N 两点的坐标分别为.,2211yxyx联立方程
15、 :42222yxkxy消去y整理得 ,0482122kxxkO xyA B C D 图 8 BAC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页有221221214,218kxxkkxx假设以 MN 为直径的圆恰好过原点,则ONOM,所以02121yyxx,所以 ,0222121kxkxxx, 即042121212xxkxxk所以 ,04211621142222kkkk即,0214822kk得.2, 22kk所以直线l的方程为22xy,或22xy. 所以存在过P(0,2)的直线l:22xy使得以弦MN 为直径的圆恰好过原点.
16、 参考例题：1、 从椭圆22221(0)xyabab上一点P向x轴引垂线 , 垂足恰为椭圆的左焦点1F,A为椭圆的右顶点，B是椭圆的上顶点, 且(0)ABOP.、求该椭圆的离心率. 、假设该椭圆的准线方程是2 5x，求椭圆方程 . 解析 、ABOP，ABOP，1PF OBOA, 111PFFOcbcPFBOOAaa，又2211222(,)1PFcbPc yPFaba，bc, 而222abc22222ace. 、2 5x为准线方程，222 52 5aacc,由2222222 5105acabcbabc所求椭圆方程为221105xy2、设21,FF是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，假设321PFF，证明：21PFF的面积只与椭圆的短轴长有关解析 由3cos|2|2|21221222121PFPFFFPFPFaPFPF得|4|4|)|(21222212221PFPFcPFPFaPFPF，222214)(4|3bcaPFPF，22213334|21bSbPFPFPFF，命题得证精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页