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1、1 高中数学人教版选修1-2 全套教案第一章统计案例第一课时 1.1回归分析的基本思想及其初步应用一教学目标1、知识与技能目标认识随机误差；2、过程与方法目标1会使用函数计算器求回归方程； 2能正确理解回归方程的预报结果. 3、情感、态度、价值观通过本节课的学习，加强数学与现实生活的联系，以科学的态度评价两个变量的相关性，理解处理问题的方法，形成严谨的治学态度和锲而不舍的求学精神. 培养学生运用所学知识，解决实际问题的能力. 教学中适当地利用学生合作与交流，使学生在学习的同时，体会与他人合作的重要性. 教学重点：了解线性回归模型与函数模型的差异，了解判断刻画模型拟合效果的方法相关指数和残差分析
2、. 教学难点：解释残差变量的含义，了解偏差平方和分解的思想. 教学过程：一、复习准备：1. 提问： “名师出高徒” 这句彦语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗？这两者之间是否有关？2. 复习：函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系. 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤：收集数据作散点图求回归直线方程利用方程进行预报. 二、讲授新课：1. 教学例题： 例 1 从某大学中随机选取8 名女大学生，其身高和体重数据如下表所示：编号1 2 3 4 5 6 7 8 身高 /cm 165 165 157 170 175 165 155 170
3、 体重 /kg 48 57 50 54 64 61 43 59 求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重. 分析思路教师演示学生整理第一步：作散点图第二步：求回归方程第三步：代值计算010203040506070150155160165170175180身高/cm体重/kg精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 28 页2 提问：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg 吗？不一定，但一般可以认为她的体重在60.316kg 左右 . 解释线性回归模型与一次函数的不同
4、事实上，观察上述散点图，我们可以发现女大学生的体重y和身高x之间的关系并不能用一次函数ybxa来严格刻画因为所有的样本点不共线，所以线性模型只能近似地刻画身高和体重的关系. 在数据表中身高为165cm的 3 名女大学生的体重分别为48kg、57kg 和 61kg，如果能用一次函数来描述体重与身高的关系，那么身高为 165cm的 3 名女在学生的体重应相同. 这就说明体重不仅受身高的影响还受其他因素的影响，把这种影响的结果e即残差变量或随机变量引入到线性函数模型中，得到线性回归模型ybxae，其中残差变量e中包含体重不能由身高的线性函数解释的所有部分. 当残差变量恒等于0 时，线性回归模型就变成
5、一次函数模型. 因此，一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是一次函数模型的一般形式. 2. 相关系数：相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关关系越强，它们的散点图越接近一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据就越好，此时建立的线性回归模型是有意义. 3. 小结：求线性回归方程的步骤、线性回归模型与一次函数的不同. 第二课时 1.1回归分析的基本思想及其初步应用二教学目标：1 知识与技能：会建立回归模型，进而学习相关指数相关系数r 、总偏差平方和、随机误差的效应即残差、残差平方和、回归平方和、相关指数R2、残差分析2 过程与方法：通过学习会求上述的相关指数3 情感态度价值观
6、：从实际问题发现已有知识不足，激发好奇心、求知欲。培养勇于求知的良好个性品质。教学重点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 教学难点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 教学过程：一、复习准备：1由例 1 知，预报变量体重的值受解释变量身高或随机误差的影响. 2为了刻画预报变量体重的变化在多大程度上与解释变量身高有关？在多大程度上与随机误差有关？我们引入了评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 二、讲授新课：1. 教学总偏差平方和、残差平方和、回归平方和：1总偏差平方和：所有单个样本值与样本均值差的平
7、方和，即21()niiSSTyy. 残差平方和：回归值与样本值差的平方和，即21()niiiSSEyy. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 28 页3 回归平方和：相应回归值与样本均值差的平方和，即21()niiSSRyy. 2学习要领：注意iy、iy、y的区别；预报变量的变化程度可以分解为由解释变量引起的变化程度与残差变量的变化程度之和，即222111()()()nnniiiiiiiyyyyyy；当总偏差平方和相对固定时，残差平方和越小，则回归平方和越大，此时模型的拟合效果越好；对于多个不同的模型，我们还可以引入相关指数
8、22121()1()niiiniiyyRyy来刻画回归的效果，它表示解释变量对预报变量变化的奉献率. 2R的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合的效果越好. 2. 教学例题：例 2 关于x与Y有如下数据：x2 4 5 6 8 y30 40 60 50 70 为了对x、Y两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型：6.517.5yx，717yx，试比较哪一个模型拟合的效果更好. 分析：既可分别求出两种模型下的总偏差平方和、残差平方和、回归平方和，也可分别求出两种模型下的相关指数，然后再进行比较，从而得出结论. 答案：52211521()155110.8451000()iiiiiyyRyy
9、，221R521521()18010.821000()iiiiiyyyy，84.5%82% ，所以甲选用的模型拟合效果较好 . 3. 小结：分清总偏差平方和、残差平方和、回归平方和，初步了解如何评价两个不同模型拟合效果的好坏. 三、作业：四、教学反思：第三课时 1.1回归分析的基本思想及其初步应用三教学目标：1 知识与技能：由“散点图”选择适当的数据模型，以拟合两个相关变量。虽然任何两个变量的观测数据都可以用线性回归模型来拟合，但不能保证这种拟合模型对数据的拟合效果最好。为更好地刻画两个变量之间的关系，要根据观测数据的特点来选择回归模型。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归
10、纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 28 页4 2 过程与方法：通过探究使学生认识到：有些线性模型非线性模型转换，即借助于线性回归模型研究呈非线性关系的两个变量之间的关系：归模型来拟合数据作变换，在利用线性回区域分布在一个曲线状带形合数据；3 情感态度价值观：初步体会不同模型拟合数据的效果。计算不同模型的相关指数，通过比较相关指数的大小来比较不同模型的拟合效果。 这只是模型比较的一种方法，还有其他方法。教学重点： 通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法. 教学难点：了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，
11、并通过比较相关指数对不同的模型进行比较. 教学过程：一、复习准备：1. 给出例 3：一只红铃虫的产卵数y和温度x有关，现收集了7 组观测数据列于下表中，试建立y与x之间的回归方程 . 温度/xC21 23 25 27 29 32 35 产卵数/y个7 11 21 24 66 115 325 学生描述步骤，教师演示2. 讨论：观察右图中的散点图，发现样本点并没有分布在某个 带 状 区 域内，即两个变量不呈线性相关关系，所以不能直接用线性回归方 程 来 建 立两个变量之间的关系. 二、讲授新课：1. 探究非线性回归方程确实定： 如果散点图中的点分布在一个直线状带形区域，可以选线性回归模型来建模；如
12、果散点图中的点分布在一个曲线状带形区域，就需选择非线性回归模型来建模. 根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y=2C1exC的周围其中12,c c是待定的参数 ，故可用指数函数模型来拟合这两个变量. 在上式两边取对数，得21lnlnyc xc，再令lnzy，则21lnzc xc，而z与x间的关系如下：观察z与x的散点图，可以发现变换后样本点分布在一条直线的附近，因此可以用线性回归方程来拟合 . 利用计算器算得3.843,0.272ab，z与x间 的 线 性 回 归 方 程 为0.2723.843zx，因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为0.2723.843xye.
13、利用回归方程探究非线性回归问题，可按“作散点图建模确定方程”这三个步骤进行. 其关键在于如何通过适当的变换，将非线性回归问题转化成线性回归问题. 2. 小结：用回归方程探究非线性回归问题的方法、步骤. 三、稳固练习：X 21 23 25 27 29 32 35 z 1.946 2.398 3.045 3.178 4.190 4.745 5.784 0100200300400010203040温度产卵数01234567010203040 xz精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 28 页5 为了研究某种细菌随时间x变化，繁殖的个
14、数，收集数据如下：天数x/ 天 1 2 3 4 5 6 繁殖个数y/ 个 6 12 25 49 95 190 1用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些数据的散点图；2试求出预报变量对解释变量的回归方程. 答案：所求非线性回归方程为0.691.112? y=ex. 四、教学反思：第四课时 1.1回归分析的基本思想及其初步应用四教学目标1 知识与技能：使学生会根据观测数据的特点来选择回归模型2 过程与方法：使学生通过探究体会到有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型。3 情感态度价值观：初步体会不同模型拟合数据的效果。教学重点： 通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回
15、归模型，了解在解决实际问题的过程中寻找更好的模型的方法，了解可用残差分析的方法，比较两种模型的拟合效果. 教学难点：了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较. 教学过程：一、复习准备：1. 提问：在例3 中，观察散点图，我们选择用指数函数模型来拟合红铃虫的产卵数y和温度x间的关系，还可用其它函数模型来拟合吗？2. 讨论：能用二次函数模型234yc xc来拟合上述两个变 量 间 的 关 系吗？令2tx，则34yc tc，此时y与 t 间的关系如下：观察y与 t 的散点图，可以发现样本点并不分布在一条直线的周围，因此不宜用线性回归方程来拟合它，即不宜用二次
16、曲线234yc xc来拟合y与x之间的关系 . 小结： 也就是说， 我们可以通过观察变换后的散点图来判断能否用此种模型来拟合. 事实上， 除了观察散点图以外，我们也可先求出函数模型，然后利用残差分析的方法来比较模型的好坏. 二、讲授新课：1. 教学残差分析：t441 529 625 729 841 1024 1225 y7 11 21 24 66 115 325 0100200300400050010001500ty精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 28 页6 残差：样本值与回归值的差叫残差，即iiieyy. 残差分析：通
17、过残差来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析 . 残差图： 以残差为横坐标，以样本编号， 或身高数据， 或体重估计值等为横坐标，作出的图形称为残差图. 观察残差图， 如果残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高. 2. 例 3 中的残差分析：计算两种模型下的残差一般情况下， 比较两个模型的残差比较困难某些样本点上一个模型的残差的绝对值比另一个模型的小，而另一些样本点的情况则相反，故通过比较两个模型的残差的平方和的大小来判断模型的拟合效果. 残差平方和越小的模型，拟
18、合的效果越好. 由于两种模型下的残差平方和分别为1450.673 和 15448.432 ，故选用指数函数模型的拟合效果远远优于选用二次函数模型. 当然，还可用相关指数刻画回归效果3. 小结：残差分析的步骤、作用三、稳固练习：练习：教材P13 第 1 题四、教学反思：第一课时 1.2独立性检验的基本思想及其初步应用一教学目标1 知识与技能：通过对实际问题的分析探究，了解独立性检验只要求22 列联表的基本思想、方法及初步应用 . ；了解独立性检验的常用方法：三维柱形图和二维条形图，及其K2或 R2的大小关系 . 2 过程与方法：通过典型案例的探究，了解实际推断原理和假设检验的基本思想、方法及初步
19、应用。3 情感态度价值观：理解独立性检验的基本思想及实施步骤，能运用自己所学的知识对具体案例进行检验. 教学重点：理解独立性检验的基本思想及实施步骤. 教学难点：了解独立性检验的基本思想、了解随机变量2K的含义 . 教学过程：一、复习准备：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 28 页7 回归分析的方法、步骤，刻画模型拟合效果的方法相关指数、残差分析、步骤 . 二、讲授新课：1. 教学与列联表相关的概念： 分类变量： 变量的不同 “值” 表示个体所属的不同类别的变量称为分类变量. 分类变量的取值一定是离散的，而且不同的取值仅表
20、示个体所属的类别，如性别变量，只取男、女两个值，商品的等级变量只取一级、二级、三级，等等 . 分类变量的取值有时可用数字来表示，但这时的数字除了分类以外没有其他的含义. 如用“ 0”表示“男”，用“ 1”表示“女” . 列联表：分类变量的汇总统计表频数表. 一般我们只研究每个分类变量只取两个值，这样的列联表称为2 2. 如吸烟与患肺癌的列联表：2. 教学三维柱形图和二维条形图的概念：由列联表可以粗略估计出吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异.教师在课堂上用EXCEL 软件演示三维柱形图和二维条形图，引导学生观察这两类图形的特征，并分析由图形得出的结论3. 独立性检验的基本思想： 独立性检验的
21、必要性为什么中能只凭列联表的数据和图形下结论？：列联表中的数据是样本数据，它只是总体的代表，具有随机性，故需要用列联表检验的方法确认所得结论在多大程度上适用于总体. 独立性检验的步骤略及原理与反证法类似：反证法假设检验要证明结论A 备择假设 H1在 A不成立的前提下进行推理在 H1不成立的条件下，即H0成立的条件下进行推理推出矛盾，意味着结论A成立推出有利于H1成立的小概率事件概率不超过的事件发生，意味着H1成立的可能性可能性为1 很大没有找到矛盾，不能对A 下任何结论，即反证法不成功推出有利于H1成立的小概率事件不发生，接受原假设 上例的解决步骤第一步：提出假设检验问题H0：吸烟与患肺癌没有
22、关系 H1：吸烟与患肺癌有关系第二步：选择检验的指标22()K()()()()n adbcabcdac bd它越小，原假设“H0：吸烟与患肺癌没有关系”成立的可能性越大；它越大，备择假设“H1：吸烟与患肺癌有关系”成立的可能性越大. 第三步：查表得出结论P(k2k) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.635 7.879 10.83 三、作业：不患肺癌患肺癌总计不吸烟7775 42 7817 吸烟2099 49 2148 总计9874
23、91 9965 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 28 页8 四、教学反思：第二课时 1.2独立性检验的基本思想及其初步应用二教学目标1 知识与技能：了解独立性检验的基本思想及步骤、了解随机变量2K的含义。2 过程与方法：通过探究“吸烟是否与患肺癌有关系”引出独立性检验的问题，并借助样本数据的列联表、柱形图和条形图展示在吸烟者中患肺癌的比例比不吸烟者中患肺癌的比例高3 情感态度价值观：让学生亲身体验独立性检验的实施步骤与必要性. 教学重点：理解独立性检验的基本思想及实施步骤. 教学难点：了解独立性检验的基本思想、了解随机变
24、量2K的含义 . 教学过程：一、复习准备：独立性检验的基本步骤、思想二、讲授新课：1. 教学例 1：例 1 在某医院，因为患心脏病而住院的665 名男性病人中，有214 人秃顶；而另外772 名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175 名秃顶 . 分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系？你所得的结论在什么范围内有效？ 第一步：教师引导学生作出列联表，并分析列联表，引导学生得出“秃顶与患心脏病有关”的结论；第二步：教师演示三维柱形图和二维条形图，进一步向学生解释所得到的统计结果；第三步：由学生计算出2K的值；第四步：解释结果的含义. 通过第 2 个问题，向学生强调“样本只能代
25、表相应总体”，这里的数据来自于医院的住院病人，因此题目中的结论能够很好地适用于住院的病人群体，而把这个结论推广到其他群体则可能会出现错误，除非有其它的证据说明可以进行这种推广. 2. 教学例 2：例 2 为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某城市的某校高中生中随机抽取300 名学生，得到如以下联表：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 28 页9 喜欢数学课程不喜欢数学课程总计男37 85 122 女35 143 178 总计72 228 300 由表中数据计算得到2K的观察值4.513k. 在多大程度上可以认为
26、高中生的性别与是否数学课程之间有关系？为什么？学生自练，教师总结强调：使得2(3.841)0.05P K成立的前提是假设“性别与是否喜欢数学课程之间没有关系”.如果这个前提不成立，上面的概率估计式就不一定正确；结论有95% 的把握认为“性别与喜欢数学课程之间有关系”的含义；在熟练掌握了两个分类变量的独立性检验方法之后，可直接计算2K的值解决实际问题，而没有必要画相应的图形，但是图形的直观性也不可无视. 3. 小结：独立性检验的方法、原理、步骤三、稳固练习：某市为调查全市高中生学习状况是否对生理健康有影响，随机进行调查并得到如下的列联表：请问有多大把握认为“高中生学习状况与生理健康有关”？三、作
27、业四、教学反思：第二章推理与证明第一课时 2.1.1 合情推理一教学目标1知识与技能目标：结合生活实例了解推理的含义；掌握归纳推理的结构和特点，能够进行简单的归纳推理；体会归纳推理在数学发现中的作用2过程与方法目标：通过探索、研究、归纳、总结等方式，使归纳推理全方位地呈现在学生面前，让学生了解数学不单是现成结论的体系，结论的发现也是数学的重要内容，从而形成对数学较为完整的认识；培养学生发散思维能力，充分挖掘学生的创新思维能力不健康健康总计不优秀41 626 667 优秀37 296 333 总计78 922 1000 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
28、- - - -第 9 页，共 28 页10 3情感、态度与价值观：通过学习本节课，培养学生实事求是、力戒浮夸的思维习惯，深化学生对数学意义的理解，激发学生的学习兴趣；认识数学的科学价值、应用价值和文化价值；通过探究学习培养学生互助合作的学习习惯，形成良好的思维方式和锲而不舍的钻研精神教学重点：能利用归纳进行简单的推理. 教学难点：用归纳进行推理，作出猜想. 教学过程：一、新课引入：1. 哥德巴赫猜想：观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, , 50=13+37, , 100=3+97，猜
29、测：任一偶数除去2，它本身是一素数可以表示成两个素数之和. 1742 年写信提出，欧拉及以后的数学家无人能解，成为数学史上举世闻名的猜想. 1973年，我国数学家陈景润，证明了充分大的偶数可表示为一个素数与至多两个素数乘积之和，数学上把它称为“1+2”. 2. 费马猜想：法国业余数学家之王费马1601-1665 在1640 年通过对020213F，121215F，2222117F，32321257F，4242165 537F的观察，发现其结果都是素数，于是提出猜想：对所有的 自 然 数n， 任 何 形 如221nnF的 数 都 是 素 数 . 后 来 瑞 士 数 学 家 欧 拉 ， 发 现52
30、5214 294 967 297641 6 700 417F不是素数，推翻费马猜想. 3. 四色猜想： 1852 年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯. 格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象： “每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色. ” ，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子电脑上，用1200 个小时，作了100 亿逻辑判断，完成证明. 二、讲授新课：1. 教学概念： 概念：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论
31、的推理，称为归纳推理. 简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理. 归纳练习： (i) 由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？(ii) 由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和180 度，能归纳出什么结论？(iii)观察等式：2221342 , 13593 , 13579164 ，能得出怎样的结论？ 讨论： (i) 统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属归纳推理？(ii) 归纳推理有何作用？发现新事实，获得新结论，是做出科学发现的重要手段(iii)归纳推理的结果是否正确？不一定2. 教学例题：出例如题：已知数列na的第 1 项12a，且1(1,2,)1nnn
32、aana，试归纳出通项公式. 分析思路：试值n=1， 2，3，4 猜想na如何证明：将递推公式变形，再构造新数列思考：证得某命题在nn0时成立；又假设在nk时命题成立，再证明nk1 时命题也成立 . 由这两步，可以归纳出什么结论？目的：渗透数学归纳法原理，即基础、递推关系精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 28 页11 练习：已知(1)0,( )(1)1,faf nbf n2,0,0nab，推测( )f n 的表达式 . 3. 小结：归纳推理的药店：由部分到整体、由个别到一般；典型例子：哥德巴赫猜想的提出；数列通项公式的归
33、纳 . 三、稳固练习：1. 练习：教材P38 1 、2 题. 2. 作业：教材P44习题A组 1 、2、3 题. 四、教学反思：第二课时 2.1.1 合情推理二教学目标：1 知识与技能目标：进一步理解推理这种基本的分析问题的方法，了解类比推理的含义，掌握类比推理的基本方法与步骤，并把它们用于对问题的发现与解决中去。2 过程与方法目标：类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质；通过教学使学生认识到，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越密切，从而类比得出的结论就越可靠。3 情感、态度与价值观目标：感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的
34、美感。认识数学的科学价值、应用价值和文化价值。教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理. 教学难点：用归纳和类比进行推理，作出猜想. 教学过程：一、复习准备：1. 练 习 ： 已 知0 (1,2, )iain， 考 察 以 下 式 子 ：111( )1i aa；121211( )()()4iiaaaa；123123111() ()()9iiiaaaaaa. 我们可以归纳出，对12,na aa 也成立的类似不等式为 . 2. 猜想数列1111,1 335 5779的通项公式是 . 3. 导入：鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理，发明潜水艇；地球上有生命，火星与
35、地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、扰轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在. 以上都是类比思维，即类比推理. 二、讲授新课：1. 教学概念： 概念：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理. 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理. 类比练习：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 28 页12 (i) 圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于半径. 由此结论如何类比到球体？(ii) 平面内不共线的三点确定一个圆，由此结
36、论如何类比得到空间的结论？(iii) 由圆的一些特征，类比得到球体的相应特征. 教材 P81 探究填表小结：平面空间，圆球，线面. 讨论：以平面向量为基础学习空间向量，试举例其中的一些类比思维. 2. 教学例题： 出例如 1：类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质. 得到如下表格类比角度实数的加法实数的乘法运算结果假设,a bR 则abR假设,a bR 则abR运算律()()abbaabcabc()()abbaab ca bc逆运算加法的逆运算是减法，使得方程0ax有唯一解 xa乘法的逆运算是除法，使得方程1ax有唯一解1xa单位元0aa1 1a 出例如 2：类比平面内直角三角形的勾股定
37、理，试给出空间中四面体性质的猜想. 思维：直角三角形中，090C，3 条边的长度, ,a b c ， 2 条直角边,a b 和 1 条斜边 c ；3 个面两两垂直的四面体中，090PDFPDEEDF，4 个面的面积123,S SS 和S3 个“直角面”123,S SS 和 1 个“斜面”S. 拓展：三角形到四面体的类比. 3. 小结：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，统称为合情推理. 三、稳固练习：1. 练习：教材P38 3题. 2. 探究：教材P35例 5 3.作业： P44 5 、6 题. 四、教学反思：第三课时 2.1
38、.2 演绎推理教学目标：1. 知识与技能：了解演绎推理的含义。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 28 页13 2. 过程与方法：能正确地运用演绎推理，进行简单的推理。3. 情感、态度与价值观：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差异。教学重点：了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单的推理. 教学难点：分析证明过程中包含的“三段论”形式. 教学过程：一、复习准备：1. 练习： 对于任意正整数n，猜想 2n-1 与 (n+1)2的大小关系？在平面内， 假设,ac bc，则/ab. 类比到空间， 你会得到什么结论？结论：
39、在空间中， 假设,ac bc，则/ab；或在空间中，假设,/则. 2. 讨论：以上推理属于什么推理，结论正确吗？合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明，有什么能使结论正确的推理形式呢？3. 导入：所有的金属都能够导电，铜是金属，所以； 太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此； 奇数都不能被2 整除， 2007 是奇数，所以 . 填空讨论：上述例子的推理形式与我们学过的合情推理一样吗？课题：演绎推理二、讲授新课：1. 教学概念： 概念：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理。要点：由一般到特殊的推理。 讨论：演绎推理与合情推理有什
40、么区别？合情推理归纳推理：由特殊到一般类比推理：由特殊到特殊；演绎推理：由一般到特殊. 提问：观察教材P39引例，它们都由几部分组成，各部分有什么特点？所有的金属都导电铜是金属铜能导电已知的一般原理特殊情况根据原理，对特殊情况做出的判断大前提小前提结论“三段论”是演绎推理的一般模式：第一段：大前提已知的一般原理；第二段：小前提所研究的特殊情况；第三段：结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断. 举例：举出一些用“三段论”推理的例子. 2. 教学例题： 出例如 1：证明函数2( )2fxxx在, 1上是增函数 . 板演：证明方法定义法、导数法 指出：大前题、小前题、结论. 出例如 2：在锐角三角形
41、ABC中，,ADBC BEAC ，D，E是垂足 . 求证：AB的中点M到D，E的距离相等 . 分析：证明思路板演：证明过程 指出：大前题、小前题、结论. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 28 页14 讨论：因为指数函数xya 是增函数，1()2xy是指数函数，则结论是什么？结论指出：大前提、小前提 讨论：结论是否正确，为什么？ 讨论：演绎推理怎样才结论正确？只要前提和推理形式正确，结论必定正确3. 比较：合情推理与演绎推理的区别与联系？从推理形式、结论正确性等角度比较；演绎推理可以验证合情推理的结论，合情推理为演绎推理
42、提供方向和思路. 三、稳固练习：1. 练习： P42 2 、3 题 2. 探究： P42阅读与思考 3. 作业： P44 6题， B组 1 题. 四、教学反思：第一课时 2.2.1 综合法和分析法一教学目标：1 知识与技能： 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的基本方法：综合法； 了解综合法的思考过程、特点。2 过程与方法 : 培养学生的辨析能力和分析问题和解决问题的能力；3 情感、态度与价值观： ，激发学生学习数学的兴趣。教学重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法. 教学过程：一、复习准备：1. 已知“假设12,a
43、aR，且121aa，则12114aa” ，试请此结论推广猜想. 答案：假设12,.na aaR，且12.1naaa，则12111.naaa2n2. 已知, ,a b cR，1abc，求证：1119abc. 先完成证明 讨论：证明过程有什么特点？二、讲授新课：1. 教学例题： 出例如 1：已知a, b, c是不全相等的正数，求证：a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) 6abc. 分析：运用什么知识来解决？基本不等式板演证明过程注意等号的处理精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 28 页15
44、讨论：证明形式的特点 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立 . 框图表示：要点：顺推证法；由因导果. 练习：已知a，b，c是全不相等的正实数，求证3bcaacbabcabc. 出例如 2：在ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列 . 求证：为ABC等边三角形 . 分析：从哪些已知，可以得到什么结论？如何转化三角形中边角关系？ 板演证明过程 讨论：证明过程的特点. 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件内角和2. 练习：,A B为锐角，且tant
45、an3tantan3ABAB，求证：60AB. 提示：算tan()AB 已知,abc求证：114.abbcac3. 小结：综合法是从已知的P出发，得到一系列的结论12,Q Q，直到最后的结论是Q. 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题. 三、稳固练习：1. 求证：对于任意角，44cossincos2. 教材 P52 练习 1 题两人板演 订正 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程2. ABC的三个内角, ,A B C成等差数列，求证：113abbcabc. 3. 作业：教材P54A组 1 题. 四、教学反思：第二课时 2.2.1 综合法和分析法二教学目标：1 知识
46、与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。2 过程与方法 : 培养学生的辨析能力和分析问题和解决问题的能力；3 情感、态度与价值观： ，激发学生学习数学的兴趣。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 28 页16 教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程. 教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法. 教学过程：一、复习准备：1. 提问：基本不等式的形式？2. 讨论：如何证明基本不等式(0,0)2ababab. 讨论 板演 分析思维特点：从结论出发，一步
47、步探求结论成立的充分条件二、讲授新课：1. 教学例题： 出例如 1：求证3526. 讨论：能用综合法证明吗？ 如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？ 板演证明过程注意格式 再讨论：能用综合法证明吗？ 比较：两种证法 提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件已知条件、定理、定义、公理等为止. 框图表示：要点：逆推证法；执果索因. 练习：设x 0 ，y 0 ，证明不等式：11223332()()xyxy. 先讨论方法 分别运用分析法、综合法证明. 出例如 4：见教材P48. 讨论：如何寻找证明思路？从结论出发，逐步反推 出例
48、如 5：见教材P49. 讨论：如何寻找证明思路？从结论与已知出发，逐步探求2. 练习：证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面指横截面的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大. 提示：设截面周长为l，则周长为l的圆的半径为2l，截面积为2()2l，周长为l的正方形边长为4l，截面积为2( )4l，问题只需证：2()2l 2( )4l. 3. 小结：分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知12,P P，直到所有的已知P都成立；比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”( 分析 ) ，从“
49、已知”推“可知” 综合，双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径. 框图示意三、稳固练习：1. 设a, b, c是的ABC三边，S是三角形的面积，求证：22244 3cababS. 略证：正弦、余弦定理代入得：2cos42 3sinabCababC，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 28 页17 即证：2cos2 3sinCC，即：3sincos2CC，即证：sin()16C成立 . 2. 作业：教材P52练习 2 、3 题. 四、教学反思：第三课时 2.2.2 反证法教学目标：1
50、知识与技能： 结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点。2 过程与方法 : 培养学生的辨析能力和分析问题、解决问题的能力；3 情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程. 教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法. 教学过程：一、复习准备：1. 讨论：三枚正面朝上的硬币，每次翻转2 枚，你能使三枚反面都朝上吗？原因：偶次2. 提出问题：平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同一直线上的三点A、B、 C不能作圆” . 讨论如何证明这个命题？3. 给出证法：先假设可以作一个O过A、