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1、第一、填空题1.组成优化设计数学模型的三要素是设计变量、目标函数、约束条件。22121212,45fx xxxx x在024X点处的梯度为120，海赛矩阵为24423.目标函数是一项设计所追求的指标的数学反映，因此对它最基本的要求是能用来评价设计的优劣， ，同时必须是设计变量的可计算函数。工程实际问题，的基础上力求简洁。5.约束条件的尺度变换常称规格化，这是为改善数学模型性态常用的一种方法。加速步长法来确定，此法是指依次迭代的步长按一定的比例递增的方法。负梯度方向作为搜索方向，因此最速下降法又称为梯度法， 其收敛速度较慢。00fX必要条件是该点处的海赛矩阵正定等式约束优化问题变成无约束优化问题
2、，这种方法又被称为升维法。10 改变复合形形状的搜索方法主要有反射，扩张，收缩，压缩11 坐标轮换法的基本思想是把多变量的优化问题转化为单变量的优化问题12在选择约束条件时应特别注意防止出现相互矛盾的约束，另外应当尽量减少不必要的约束。13目标函数是n 维变量的函数，它的函数图像只能在n+1,空间中描述出来，为了在n维空间中反映目标函数的变化情况，常采用目标函数等值面的方法。1kkkkXXd，其核心是建立搜索方向，和计算最正确步长15 协调曲线法是用来解决设计目标互相矛盾的多目标优化设计问题的。16.机械优化设计的一般过程中，建立优化设计数学模型是首要和关键的一步，它是取得正确结果的前提。二、
3、名词解释1凸规划对于约束优化问题min fX精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页.st0jgX(1,2,3,)jm假设fX、jgX(1,2,3,)jm都为凸函数， 则称此问题为凸规划。2可行搜索方向是指当设计点沿该方向作微量移动时，目标函数值下降，且不会越出可行域。3设计空间： n 个设计变量为坐标所组成的实空间，它是所有设计方案的组合4.可靠度产品在规定的条件，规定的时间内完成规定功能的概率. 5收敛性是指某种迭代程序产生的序列0,1,kXk收敛于1limkkXX6. 非劣解： 是指假设有m个目标1,2,ifXim，
4、当要求 m-1 个目标函数值不变坏时，找不到一个X，使得另一个目标函数值ifX比ifX，则将此X为非劣解。7. 黄金分割法：是指将一线段分成两段的方法，使整段长与较长段的长度比值等于较长段与较短段长度的比值。8. 可行域：满足所有约束条件的设计点，它在设计空间中的活动范围称作可行域。9.维修度在规定的条件下使用的产品发生故障后，在规定的维修条件下，在规定的维修时间 t 内修复完毕的概率1、设计变量答：在优化设计计程中，一组需要优选的、作为变量来处理的独立设计参数或需要优选的参数，它们的数值在优化设计过程中是变化的一组独立的设计参数2、目标函数答：在优化设计中，用来评价设计方案优劣程度、并能够用
5、设计变量所表达成的函数，称为目标函数或用设计变量来表达所追求目标的函数3、设计约束答：在优化设计中，对设计变量取值的限制条件，称为约束条件和设计约束或对设计变量取值限制的附加设计条件4、最优点、最优值和最优解答：选取适当优化方法，对优化设计数学模型进行求解，可解得一组设计变量，记作：* x1* ，x2* ，x3* ， ，x*T 使该设计点的目标函数(x*) 为最小， 点 x* 称为最优点 极小点。相应的目标函数值(x*)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页称为最优值极小值 。一个优化问题的最优解包着最优点极小点和最优值
6、极小值。把最优点和最优值的总和通称为最优解。或：优化设计就是求解n 个设计变量在满足约束条件下使目标函数到达最小值，即min f(x)=f(x*) x n s.t. u 0， 1,2, ,m；v 0， 1,2, ,pn 称 x* 为最优解， f(x*) 为最优值。最优点x* 和最优值 f(x*) 即构成了最优解三、简答题1什么是内点惩罚函数法？什么是外点惩罚函数法？他们适用的优化问题是什么？在构造惩罚函数时，内点惩罚函数法和外点惩罚函数法的惩罚因子的选取有何不同？1内点惩罚函数法是将新目标函数定义于可行域内，序列迭代点在可行域内逐步逼近约束边界上的最优点。内点法只能用来求解具有不等式约束的优化
7、问题。内点惩罚函数法的惩罚因子是由大到小，且趋近于0的数列。相邻两次迭代的惩在可行域之外， 序列迭代点从可行域之外逐渐逼近约束边界上的最优点。外点法可以用来求解含不等式和等式约束的优化问题。外点惩罚函数法的惩罚因子，它是由小到大，且趋近于的数列。惩罚因子按下式递增1(1,2,)kkrcrk，式中c为惩罚因子的递增系数，通常取5 10c2共轭梯度法中，共轭方向和梯度之间的关系是怎样的？试画图说明。. 对于二次函数，12TTfXX GXb Xc,从kX点出发，沿 G 的某一共轭方向kd作一维搜索，到达1kX点，则1kX点处的搜索方向jd应满足10Tjkkdgg，即终点1kX与始点kX的梯度之差1k
8、kgg与kd的共轭方向jd正交。3为什么说共轭梯度法实质上是对最速下降法进行的一种改良？. 答：共轭梯度法是共轭方向法中的一种，在该方法中每一个共轭向量都依赖于迭代点处的负梯度构造出来的。共轭梯度法的第一个搜索方向取负梯度方向，这是最速下降精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页法。其余各步的搜索方向是将负梯度偏转一个角度，也就是对负梯度进行修正。所以共轭梯度法的实质是对最速下降法的一种改良。4.写出故障树的基本符号及表示的因果关系。略5.算法的收敛准则由哪些？试简单说明。略6.优化设计的数学模型一般有哪几部分组成？简单说
9、明。略7简述随机方向法的基本思路答：随机方向法的基本思路是在可行域内选择一个初始点，利用随机数的概率特性，产生假设干个随机方向，并从中选择一个能使目标函数值下降最快的随机方向作为可行搜索方向。从初始点出发，沿搜索方向以一定的步长进行搜索，得到新的X值，新点应该满足一定的条件，至此完成第一次迭代。然后将起始点移至X，重复以上过程，经过假设干次迭代计算后，最终取得约束最优解。8 数值计算迭代法的基本思想和迭代格式。数值计算迭代法的基本思想：数值计算迭代法完全是依赖于电脑的数值计算特点而产生的，它不是分析方法， 而是具有一定逻辑结构并按一定格式反复运算的一种方法。5 分其迭代法计算的基本格式是：从一
10、点出发，根据目标函数和约束函数在该点的某些信息，确定本次迭代计算的一个方向S(k) 和适当的步长(k) ，从而到一个新点，即：X(k+1) x(k) (k)S(k) k=0,1,2,3 . 式中： x(k) 前一步取得的设计方案迭代点。在开始计算时， 即为迭代的初始点x(0) ；X(k+1) 新的修改设计方案新的迭代点；S(k) 第 k 次迭代计算的搜索方向可以看作本次修改设计的定向移动方向；(k) 第 k 次迭代计算的步长因子，是个数量的。计算题1 试 用 牛 顿 法 求221285fXxx的 最 优 解 ， 设01010TX。 初 始 点 为01010TX，则初始点处的函数值和梯度分别为0
11、120121700164200410140fXxxfXxx，沿梯度方向进行一维搜索，有0100000102001020010 14010140XXfX0为一维搜索最正确步长，应满足极值必要条件精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页min14010514010200104200108minmin200020001XfXfXf001060000596000，从而算出一维搜索最正确步长0596000.05622641060000则第一次迭代设计点位置和函数值010102001.245283010 1402.1283019X12
12、4.4528302fX，从而完成第一次迭代。按上面的过程依次进行下去，便可求得最优解。2、试用黄金分割法求函数20f的极小点和极小值，设搜索区间,0.2,1a b迭代一次即可解：显然此时，搜索区间,0.2,1a b，首先插入两点12和，由式1()10.618 10.20.5056bba2()0.20.6181 0.20.6944aba计算相应插入点的函数值4962.29,0626.4021ff。因为12ff。所以消去区间1, a，得到新的搜索区间1,b，即1,0.5056,1ba b。第一次迭代：插入点10.6944，20.50560.618(1 0.5056)0.8111相应插入点的函数值1
13、229.4962,25.4690ff，由于12ff，故消去所以消去区间1,a，得到新的搜索区间1,b，则形成新的搜索区间1 ,6944. 0,1bab。至此完成第一次迭代，继续重复迭代过程，最终可得到极小点。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页3用牛顿法求目标函数22121625fXxx+5 的极小点，设022TX。解：由022TX，则11022326450100fxxfXxfx22211220222212320050ffxx xfXffxxx，其逆矩阵为12010321050fX因此可得：11020010264032
14、211000050XXfXfX15fX，从而经过一次迭代即求得极小点00TX，5fX4.下表是用黄金分割法求目标函数20f的极小值的计算过程，请完成下表。迭代序号a 12b 1y比较2y0 1 1 迭代序号a 12b 1y比较2y0 1 1 0.5056 1 5、 求二元函数f(x1,x2)=x12+x22-4x1-2x2+5 在 x0=0 0T处函数变化率最大的方向和数值？解：由于函数变化率最大的方向是梯度方向，这里用单位向量P 表示函数变化率最大和数值是梯度的模II)(0 xfII 。求 f(x1,x2)在0 x点处的梯度方向和数值，计算如下：精选学习资料 - - - - - - - -
15、- 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页)(0 xf=021xxfxf=0224221xxx=24II)(0 xfII =2221)()(xfxf=52)2()4(22P=51525224)()(00 xfxf在21xx平面上画出函数等值线和0 x0,0点处的梯度方向P，如图 2-1 所示。从图中可以看出，在0 x点函数变化率最大的方向P 即为等值线的法线方向，也就是同心圆的半径方向。6、 用共轭梯度法求二次函数f(x1,x2)=x12+2x22-4x1-2 x1x2的极小点及极小值？解：取初始点x0T11则g0=2424422)(012210 xxxxxxf取d0=
16、-g0=24沿 d0方向进行一维搜索，得x1=x0+0d0=00021412411其中的0为最正确步长，可通过fx1=0)(),(min011求得0=41精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页则x1 = 00021412411=212为建立第二个共轭方向d1，需计算x1点处的梯度及系数0值，得g1=f x1=212442211221xxxxx4120520210gg从而求得第二个共轭方向d1=-g1+0d0=232244121再沿 d1进行一维搜索，得x2=x1+1d1=111232122232212其中的1为最正确步长
17、，通过fx2 =0)(),(min122求得1=1 则x2= 111232122232212=24计算x2点处的梯度g2=fx2=0002442221221xxxxx说明 x2点满足极值必要条件，再根据x2点的海赛矩阵G(x2)=4222是正定的，可知x2满足极值充分必要条件。故x2为极小点，即242*xx而函数极小值为8)(*xf。7、求约束优化问题Minf(x)=(x1-2)2+(x2-1)2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页s.t. h(x)=x1+2x2-2=0 的最优解？解：该问题的约束最优解为8. 0)(
18、,2.06 . 1*xfxT。由图 4-1a 可知，约束最优点*x为目标函数等值线与等式约束函数直线的切点。用间接解法求解时，可取2=0.8，转换后的新目标函数为)22(8.0)1()2(),(2122212xxxxx可以用解析法求min),(2x，即令0，得到方程组08.0)2(211xx06.1)1(222xx解此方程组，求得的无约束最优解为：8. 0),(,2. 06. 12*xxT其结果和原约束最优解相同。图4-1b 表示出最优点*x为新目标函数等值线族的中心。图 4-1 a目标函数等值线和约束函数关系b新目标函数等值线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页