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1、学习必备欢迎下载高中文科数学平面向量知识点整理1概念向量：既有大小，又有方向的量数量：只有大小，没有方向的量有向线段的三要素：起点、方向、长度单位向量：长度等于1个单位的向量平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量零向量与任一向量平行相等向量：长度相等且方向相同的向量相反向量： a=-bb=-aa+b=0 向量表示： 几何表示法AB；字母 a 表示； 坐标表示： a j（， ）.向量的模：设OAa，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：|a. （222222|,|axyaaxy。 ）零向量：长度为0的向量。 aOa O. 例给出下列命题：若 |a|b|，则 ab；若 A，B，C
2、，D 是不共线的四点，则ABDC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若ab，bc，则 ac； ab 的充要条件是|a|b|且ab. 其中正确的序号是_判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由(1)若向量 a 与 b 同向，且 |a|b|，则 ab；(2)若|a|b|，则 a与 b 的长度相等且方向相同或相反；(3)若|a|b|，且 a与 b 方向相同，则ab；(4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；(5)若向量 a 与向量 b 平行，则向量a 与 b的方向相同或相反；(6)若向量 AB与向量 CD是共线向量，则A，B，C，D 四点在一条直线上；(7)起点不同，但方向相同且模
3、相等的几个向量是相等向量；2、向量加法运算：三角形法则的特点：首尾相连平行四边形法则的特点：共起点abababbaCabCC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页学习必备欢迎下载运算性质：交换律：abba；结合律：abcabc；00aaa坐标运算：设11,ax y，22,bxy，则1212,abxxyy例 1：在ABC中，中线AD, BE, CF交于O, 求证：例 2：在ABC中，中线AD, BE, CF交于O, 求证：例2012 广东卷 若向量 AB(1,2)，BC(3,4)，则 AC() A(4,6) B(4， 6)
4、 C(2，2) D(2,2) 3、向量减法运算：三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量坐标运算：设11,ax y，22,bxy，则1212,abxxyy设、两点的坐标分别为11,x y，22,xy，则1212,xxyy【例题】（1）ABBCCD_；ABADDC_；()()ABCDACBD_ （2）若正方形 ABCD的边长为 1，,ABa BCb ACc，则|abc_ 4、向量数乘运算：实数与向量 a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a aa ；当0时，a 的方向与 a的方向相同；当0时，a 的方向与 a的方向相反；当0时，0a运算律：aa；aaa ；abab(1)0.ADBE
5、CF0.AOBOCO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页学习必备欢迎下载坐标运算：设,ax y ，则,ax yxy 5、向量共线定理：向量0a a与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba设11,ax y，22,bxy， （0b）22()(| |)a ba b。【例题】 若 M（-3，-2） ，N（6，-1） ，且1MPMN3，则点 P 的坐标为 _ 6、向量垂直：0| |aba babab12120 x xy y. 【例题】 已知( 1,2),(3,)OAOBm，若OAOB，则m2012 陕西卷 设向量 a(1，cos
6、 )与 b(1,2cos )垂直，则 cos2等于() A.22B.12C 0 D 1 2012 重庆卷 设 xR，向量 a(x,1)，b(1， 2)，且 ab，则|ab|() A.5 B.10 C2 5 D10 2012 安徽卷 设向量 a(1,2m)， b(m1,1)， c(2， m)， 若(ac)b， 则|a|_. 7、平面向量的数量积：cos0,0,0180a ba bab零向量与任一向量的数量积为0性质：设a和b都是非零向量，则0aba b当a与b同向时，a ba b；当a与b反向时，a ba b；22a aaa 或 aa a a ba b运算律：a bb a； aba bab； a
7、bca cb c坐标运算：设两个非零向量11,ax y，22,bxy，则1212a bx xy y 若,ax y ，则222axy ，或22axy设11,ax y，22,bxy，则a ba b0 x1x2y1y20.则 abab(b0)x1y2 x2y1.设a、b都是非零向量，11,ax y，22,bxy，是 a 与 b 的 夹角， 则121222221122cosx xy ya ba bxyxy； （注| |abab）【例题】 （1） ABC 中，3|AB，4| AC，5| BC，则BCAB_(2) 2012湖北卷 已知向量 a(1,0)，b(1,1)，则与 2ab同向的单位向量的坐标表示为
8、_；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页学习必备欢迎下载向量 b3a 与向量 a 夹角的余弦值为 _（3）2012 全国卷 ABC 中，AB 边的高为 CD，若CBa，CAb，a b0，|a|1，|b|2，则 AD() A.13a13bB.23a23bC.35a35bD.45a45b8、b在a上的投影：即| cosb，它是一个实数，但不一定大于0。【例题】已知3| a，5| b，且12ba，则向量a在向量b上的投影为2012 课标全国卷 已知向量a，b夹角为 45 ，且|a| 1，|2ab| 10，则|b| _ 【 2012 高 考 江 西 文12】 设 单 位 向 量m=（ x ， y） ， b= （ 2， -1 ） 。 若， 则=_ 2012 福建卷 已知向量 a(x1,2)，b(2,1)，则 ab 的充要条件是 () Ax12Bx1 Cx5 Dx0 2012 浙江卷 在ABC 中， M 是线段 BC 的中点， AM3，BC10，则 AB AC_. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页