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1、和差倍问题和差问题和倍问题差倍问题已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数公式适用范围已知两个数的和，差，倍数关系公式(和差 ) 2=较小数较小数差 =较大数和较小数 =较大数(和差 ) 2=较大数较大数差 =较小数和较大数 =较小数和(倍数 1)=小数小数倍数 =大数和小数 =大数差(倍数-1)=小数小数倍数 =大数小数差 =大数关键问题求出同一条件下的和与差和与倍数差与倍数不定方程一次不定方程：含有两个未知数的一个方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程；常规方法：观察法、试验法、枚举法；多元不定方程：含有三个未知数的方程叫三元一次方程，它的解也不
2、唯一；多元不定方程解法：根据已知条件确定一个未知数的值，或者消去一个未知数，这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可；涉及知识点：列方程、数的整除、大小比较；解不定方程的步骤： 1、列方程； 2、消元； 3、写出表达式； 4、确定范围； 5、确定特征； 6、确定答案；技巧总结： A、写出表达式的技巧：用特征不明显的未知数表示特征明显的未知数，同时考虑用范围小的未知数表示范围大的未知数；B、消元技巧：消掉范围大的未知数；抽屉原理抽屉原则一：如果把（n+1） 个物体放在 n 个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2 个物体。例：把 4 个物体放在 3 个抽屉里，也就是把
3、4 分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：4=4+0+0 4=3+1+0 4=2+2+0 4=2+1+1 观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2 个或多于2 个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2 个物体。抽屉原则二：如果把n 个物体放在 m 个抽屉里，其中 nm，那么必有一个抽屉至少有: k=n/m +1 个物体：当 n 不能被 m 整除时。k=n/m 个物体：当 n 能被 m 整除时。理解知识点： X 表示不超过 X 的最大整数。例4.351=4；0.321=0；2.9999=2；关键问题： 构造物体和抽屉。 也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽
4、屉原则进行运算。定义新运算基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 19 页关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。注意事项：新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。每个新定义的运算符号只能在本题中使用。二进制及其应用十进制：用 09 十个数字表示，逢10 进 1；不同数位上的数字表示不同的含义，十位上的 2 表示 20，百位上的 2 表示
5、200。所以 234=200+30+4=2 102+310+4。=An10n-1+An-110n-2+An-210n-3+An-310n-4+An-410n-5+An-610n-7+A3102+A2101+A1100注意： N0=；N=N （其中 N是任意自然数）二进制：用 01 两个数字表示，逢2 进 1；不同数位上的数字表示不同的含义。= An2n-1+An-12n-2+An-22n-3+An-32n-4+An-42n-5+An-62n-7+A322+A221+A120注意： An不是 0 就是 1。十进制化成二进制：根据二进制满 2 进 1 的特点，用 2 连续去除这个数， 直到商为 0
6、，然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 19 页先找出不大于该数的2 的 n 次方，再求它们的差，再找不大于这个差的2 的 n 次方，依此方法一直找到差为0，按照二进制展开式特点即可写出。分数大小的比较基本方法：通分分子法：使所有分数的分子相同，根据同分子分数大小和分母的关系比较。通分分母法：使所有分数的分母相同，根据同分母分数大小和分子的关系比较。基准数法：确定一个标准，使所有的分数都和它进行比较。分子和分母大小比较法：当分子和分母的差一定时，分子或分母越大的分数值越大。倍率比较法
7、：当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小，除了运用以上方法外，可以用同倍率的变化关系比较分数的大小。（具体运用见同倍率变化规律）转化比较方法：把所有分数转化成小数（求出分数的值）后进行比较。倍数比较法：用一个数除以另一个数，结果得数和1 进行比较。大小比较法：用一个分数减去另一个分数，得出的数和0 比较。倒数比较法：利用倒数比较大小，然后确定原数的大小。基准数比较法：确定一个基准数，每一个数与基准数比较。分数与百分数的应用基本概念与性质：分数：把单位“ 1”平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0 除外） ，分数的大小不变。分数单位：把单
8、位“ 1”平均分成几份，表示这样一份的数。百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。常用方法：逆向思维方法：从题目提供条件的反方向（或结果）进行思考。对应思维方法：找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。转化思维方法：把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。最常见的是转换成比例和转换成倍数关系；把不同的标准（在分数中一般指的是一倍量）下的分率转化成同一条件下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。假设思维方法：为了解题的方便，可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立，计算出相应的结果，然后再进行调整，求出最后结果。量不变思维方法：在变化的各个量当中，总有一个量是不变的
9、，不论其他量如何变化，而这个量是始终固定不变的。有以下三种情况：A、分量发生变化，总量不变。B、总量发生变化，但其中有的分量不变。C、总量和分量都发生变化，但分量之间的差量不变化。替换思维方法：用一种量代替另一种量，从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状况。工程问题基本公式：工作总量 =工作效率工作时间工作效率 =工作总量工作时间工作时间 =工作总量工作效率基本思路：假设工作总量为“ 1” （和总工作量无关）；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
10、 -第 3 页，共 19 页假设一个方便的数为工作总量（一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数），利用上述三个基本关系，可以简单地表示出工作效率及工作时间. 关键问题：确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。经验简评：合久必分，分久必合。归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”等词语来表示。关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量；鸡兔同笼问题基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题， 就是把假设错的那部分置换出来；基本思路：假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是
11、多少；每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。基本公式：把所有鸡假设成兔子：鸡数（兔脚数总头数总脚数）（兔脚数鸡脚数）把所有兔子假设成鸡：兔数（总脚数一鸡脚数总头数）（兔脚数一鸡脚数）关键问题：找出总量的差与单位量的差。几何面积基本思路：在一些面积的计算上，不能直接运用公式的情况下，一般需要对图形进行割补，平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等，使不规则的图形变为规则的图形进行计算；另外需要掌握和记忆一些常规的面积规律。常用方法：1.连辅助线方法2.利用等底等高的两个三角形面积相等。3.大胆假设（有些点的设置题目中说的是任意点，解题时可把任意
12、点设置在特殊位置上）。4.利用特殊规律等腰直角三角形，已知任意一条边都可求出面积。（斜边的平方除以4 等于等腰直角三角形的面积）梯形对角线连线后，两腰部分面积相等。圆的面积占外接正方形面积的78.5%。加法乘法原理和几何计数加法原理：如果完成一件任务有n 类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第二类方法中有 m2种不同方法，在第n 类方法中有 mn种不同方法，那么完成这件任务共有： m1+ m2. +mn种不同的方法。关键问题：确定工作的分类方法。基本特征：每一种方法都可完成任务。乘法原理：如果完成一件任务需要分成n 个步骤进行，做第 1 步有 m1种方法，不管第 1 步用精选学习资料 -
13、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 19 页哪一种方法，第 2 步总有 m2种方法不管前面n-1 步用哪种方法，第 n 步总有mn种方法，那么完成这件任务共有：m1m2. mn种不同的方法。关键问题：确定工作的完成步骤。基本特征：每一步只能完成任务的一部分。直线：一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动，形成的轨迹。直线特点：没有端点，没有长度。线段：直线上任意两点间的距离。这两点叫端点。线段特点：有两个端点，有长度。射线：把直线的一端无限延长。射线特点：只有一个端点；没有长度。数线段规律：总数 1+2+3+（点数一 1） ；数角规律 =1
14、+2+3+（射线数一 1） ；数长方形规律：个数 =长的线段数宽的线段数：数长方形规律：个数 =11+22+33+行数列数简单方程代数式：用运算符号（加减乘除）连接起来的字母或者数字。方程：含有未知数的等式叫方程。列方程：把两个或几个相等的代数式用等号连起来。列方程关键问题：用两个以上的不同代数式表示同一个数。等式性质：等式两边同时加上或减去一个数，等式不变；等式两边同时乘以或除以一个数 （除0） ，等式不变。移项：把数或式子改变符号后从方程等号的一边移到另一边；移项规则：先移加减，后变乘除；先去大括号，再去中括号，最后去小括号。加去括号规则：在只有加减运算的算式里，如果括号前面是“+”号，则
15、添、去括号，括号里面的运算符号都不变；如果括号前面是“”号，添、去括号，括号里面的运算符号都要改变；括号里面的数前没有“+”或“”的，都按有“ +”处理。移项关键问题：运用等式的性质，移项规则，加、去括号规则。乘法分配率： a(b+c)=ab+ac 解方程步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；求解；方程组：几个二元一次方程组成的一组方程。解方程组的步骤：消元；按一元一次方程步骤。消元的方法：加减消元；代入消元。经济问题利润的百分数 =（卖价 -成本）成本 100%；卖价=成本（ 1+利润的百分数）；成本=卖价（ 1+利润的百分数）；商品的定价按照期望的利润来确定；定价=成本（ 1+期望利润的
16、百分数）；本金：储蓄的金额；利率：利息和本金的比；利息=本金利率期数；含税价格 =不含税价格（ 1+增值税税率）；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 19 页六年级奥数上册：第六讲立体图形的计算精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 1
17、9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 19 页逻辑推理基本方法简介：条件分析假设法：假设可能情况中的一种成立，然后按照这个假设去判断，如果有与题设条件矛盾的情况，说明该假设情况是不成立的，那么与他的相反情况是成立的。例如，假设 a 是偶数成立，在判断过程中出现了矛盾，那么a 一定是奇数。条件分析列表法：当题设条件比较多，需要多次假设才能完成时，就需要进行列表来辅助分析。列表法就是把题设的条件全部表示在一个长
18、方形表格中，表格的行、列分别表示不同的对象与情况，观察表格内的题设情况，运用逻辑规律进行判断。条件分析图表法：当两个对象之间只有两种关系时，就可用连线表示两个对象之间的关系，有连线则表示“是，有”等肯定的状态，没有连线则表示否定的状态。例如A和 B两人之间有认识或不认识两种状态，有连线表示认识，没有表示不认识。逻辑计算：在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外，还要进行相应的计算，根据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件。简单归纳与推理：根据题目提供的特征和数据，分析其中存在的规律和方法，并从特殊情况推广到一般情况，并递推出相关的关系式，从而得到问题的解决。年龄问题的三个基本特征：两个人
19、的年龄差是不变的；两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；两个人的年龄的倍数是发生变化的；牛吃草问题基本思路：假设每头牛吃草的速度为 “1”份，根据两次不同的吃法， 求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；关键问题：确定两个不变的量。基本公式：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 19 页生长量 =（较长时间长时间牛头数- 较短时间短时间牛头数）（长时间- 短时间） ；总草量 =较长时间长时间牛头数-较长时间生长量；浓度与配比经验总结：在配比的过程中
20、存在这样的一个反比例关系，进行混合的两种溶液的重量和他们浓度的变化成反比。溶质：溶解在其它物质里的物质（例如糖、盐、酒精等）叫溶质。溶剂：溶解其它物质的物质（例如水、汽油等）叫溶剂。溶液：溶质和溶剂混合成的液体（例如盐水、糖水等）叫溶液。基本公式：溶液重量 =溶质重量 +溶剂重量；溶质重量 =溶液重量浓度；理论部分小练习：试推出溶质、溶液、溶剂三者的其它公式。经验总结：在配比的过程中存在这样的一个反比例关系，进行混合的两种溶液的重量和他们浓度的变化成反比。例题 1。有含糖量为 7的糖水 600 克，要使其含糖量加大到10，需要再加入多少克糖？【思路导航】根据题意，在7的糖水中加糖就改变了原来糖
21、水的浓度，糖的质量增加了，糖水的质量也增加了，但水的质量并没有改变。因此，可以先根据原来糖水中的浓度求出水的质量，再根据后来糖水中的浓度求出现在糖水的质量，用现在糖水的质量减去原来糖水的质量就是增加的糖的质量。原来糖水中水的质量： 600 （17） 558（克）现在糖水的质量：558 （110） 620（克）加入糖的质量：62060020（克）答：需要加入 20 克糖。例题 2。一种 35的新农药，如稀释到1.75时，治虫最有效。用多少千克浓度为35的农药加多少千克水，才能配成1.75的农药 800 千克？【思路导航】把浓度高的溶液经添加溶剂变为浓度低的溶液的过程称为稀释。在这种稀释过程中，溶
22、质的质量是不变的。这是解这类问题的关键。800 千克 1.75的农药含纯农药的质量为800 1.7514（千克）含 14 千克纯农药的 35的农药质量为14 3540（千克）由 40 千克农药稀释为 800 千克农药应加水的质量为80040760（千克）答： 用 40 千克的浓度为 35的农药中添加 760 千克水， 才能配成浓度为 1.75的农药 800千克。例题 3。现有浓度为 10的盐水 20 千克。再加入多少千克浓度为30的盐水，可以得到浓度为 22的盐水？【思路导航】这是一个溶液混合问题。混合前、后溶液的浓度改变了，但总体上溶质及溶液的总质量没有改变。所以，混合前两种溶液中溶质的和等
23、于混合后溶液中的溶质的量。20 千克 10的盐水中含盐的质量20 102（千克）混合成 22时， 20 千克溶液中含盐的质量20 22404（千克）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 19 页需加 30盐水溶液的质量（4.42） （3022） 30（千克）答：需加入 30 千克浓度为 30的盐水，可以得到浓度为22的盐水。例题 4。将 20的盐水与 5的盐水混合， 配成 15的盐水 600 克，需要 20的盐水和 5的盐水各多少克？【思路导航】 根据题意，将 20的盐水与 5的盐水混合配成15的盐水，说明混合前两种盐水中盐
24、的质量和与混合后盐水中盐的质量是相等的。可根据这一数量间的相等关系列方程解答。解：设 20的盐水需 x 克，则 5的盐水为 600 x 克，那么20 x+（600 x） 5600 15X 400 600400200（克）答：需要 20的盐水 400 克，5的盐水 200 克。例题 5。甲、乙、丙 3 个试管中各盛有 10 克、20 克、30 克水。把某种质量分数的盐水10克倒入甲管中，混合后取10 克倒入乙管中，再混合后从乙管中取出10 克倒入丙管中。现在丙管中的盐水的质量分数为0.5。最早倒入甲管中的盐水质量分数是多少？【思路导航】混合后甲、乙、丙3 个试管中应有的盐水分别是20 克、30
25、克、40 克。根据题意，可求出现在丙管中盐的质量。又因为丙管中原来只有30 克的水，它的盐是从10 克盐水中的乙管里取出的。由此可求出乙管里30 克盐水中盐的质量。而乙管里的盐又是从10 克盐水中的甲管里取出的， 由此可求出甲管里20 克盐水中盐的质量。 而甲管里的盐是某种浓度的盐水中的盐，这样就可得到最初倒入甲管中盐水的质量分数。丙管中盐的质量：（ 30+10） 0.502（克）倒入乙管后，乙管中盐的质量：0.2 【（20+10 ） 10】0.6（克）倒入甲管，甲管中盐的质量：0.6 【（10+10） 10】1.2（克）1.2 1012答：最早倒入甲管中的盐水质量分数是12。【熟能生巧】（每
26、题10 分）1、 现在有浓度为 20的糖水 300 克，要把它变成浓度为40的糖水，需要加糖多少克？300 （120） （140）300100 克2、 有含盐 15的盐水 20 千克，要使盐水的浓度为20，需加盐多少千克？20 （115） （120） 201.25 千克3、 用含氨 0.15的氨水进行油菜追肥。现有含氨16的氨水 30 千克，配置时需加水多少千克？30 （160.15） 0.153170 千克4、 仓库运来含水量为90的一种水果 100 千克。一星期后再测，发现含水量降低到80。现在这批水果的质量是多少千克？100 （190） （180）50 千克5、 在 100 千克浓度为
27、50的硫酸溶液中， 再加入多少千克浓度为5的硫酸溶液就可以配制成 25的硫酸溶液？100 （5025） （255） 125 千克精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 19 页6、 浓度为 70的酒精溶液 500 克与浓度为 50的酒精溶液 300 克混合后所得到的酒精溶液的浓度是多少？（50070+30050） （500+300 ） 10062.57、 两种钢分别含镍 5和 40，要得到 140 吨含镍 30的钢，需要含镍5的钢和含镍40的钢各多少吨？解：设需含镍 5的钢 x 吨，则含镍 40的钢 140 x 吨，5x+（1
28、40 x） 40140 30X 40 14040100 吨8、 甲、乙两种酒各含酒精75和 55，要配制含酒精 65的酒 3000 克，应当从这两种酒中各取多少克？（300075300065） 【1 （7555）】 1500 克3000 15001500 克9、 从装满 100 克 80的盐水中倒出40 克盐水后，再用清水将杯加满，搅拌后再倒出40克盐水，然后再用清水将杯加满。如此反复三次后，杯中盐水的浓度是多少？解法一： 1008080 克40 8032 克（8032） 1004840 4819.2 克（803219.2） 10028.840 28.811.52 克（803219.211.5
29、2） 100 17.28解法二： 80 （140100 ） （140100 ） （140100 ） 10017.2810、 甲容器中又 8的盐水 300 克，乙容器中有 12.5的盐水 120 克。往甲、乙两个容器分别倒入等量的水，使两个容器中盐水的浓度一样。每个容器应倒入多少克水？300 824 克120 12.515 克解：设每个容器应倒入x 克水。24300+x 15120+x X 180 平均数基本公式：平均数 =总数量总份数总数量 =平均数总份数总份数 =总数量平均数平均数 =基准数每一个数与基准数差的和总份数基本算法：求出总数量以及总份数，利用基本公式进行计算. 基准数法：根据给出
30、的数之间的关系，确定一个基准数；一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数；以基准数为标准，求所有给出数与基准数的差；再求出所有差的和；再求出这些差的平均数；最后求这个差的平均数和基准数的和，就是所求的平均数，具体关系见基本公式时钟问题快慢表问题基本思路：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 19 页1、按照行程问题中的思维方法解题；2、不同的表当成速度不同的运动物体；3、路程的单位是分格（表一周为60 分格） ；4、时间是标准表所经过的时间；5、合理利用行程问题中的比例关系；时钟问题钟面追及基本思路：封闭曲线上的追及问题
31、。关键问题：确定分针与时针的初始位置；确定分针与时针的路程差；基本方法：分格方法：时钟的钟面圆周被均匀分成 60 小格， 每小格我们称为 1 分格。 分针每小时走 60分格，即一周；而时针只走 5 分格，故分针每分钟走 1 分格，时针每分钟走 112 分格。度数方法：从角度观点看，钟面圆周一周是360，分针每分钟转360/60 度，即 6，时针每分钟转360/(12 60)度，即 1/2 度。数的整除一、基本概念和符号：1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做 a 能被 b 整除或 b 能整除 a，记作 b|a 。2、常用符号：整除符号“| ” ，不
32、能整除符号“” ；因为符号“”，所以的符号“”；二、整除判断方法：1.能被 2、5 整除：末位上的数字能被2、5 整除。2.能被 4、25 整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。3.能被 8、125 整除：末三位的数字所组成的数能被8、125 整除。4.能被 3、9 整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。5.能被 7 整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7 整除。逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2 倍后能被 7 整除。6.能被 11 整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11 整除。奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11
33、 整除。逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。7.能被 13 整除：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13 整除。逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9 倍后能被 13整除。三、整除的性质：1.如果 a、b 能被 c 整除，那么（ a+b）与（ a-b）也能被 c 整除。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 19 页2.如果 a 能被 b 整除， c 是整数，那么 a 乘以 c 也能被 b 整除。3.如果 a 能被 b 整除， b 又能被 c 整除，那么 a 也能被 c 整除。4.如果 a
34、 能被 b、c 整除，那么 a 也能被 b 和 c 的最小公倍数整除。数列求和等差数列：在一列数中， 任意相邻 两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列。基本概念：首项：等差数列的第一个数，一般用a1表示；项数：等差数列的所有数的个数，一般用n 表示；公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d 表示；通项：表示数列中每一个数的公式，一般用an表示；数列的和：这一数列全部数字的和，一般用Sn表示基本思路：等差数列中涉及五个量：a1,an, d, n,sn,通项公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。基本公式：通项公式：
35、an = a1+（n1）d；通项首项（项数一1) 公差；数列和公式： sn,= (a1+ an)n2；数列和（首项末项）项数2；项数公式： n= (an+ a1) d1；项数=（末项 -首项）公差 1；公差公式： d =（ana1）（n1） ；公差=（末项首项）（项数1） ；关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式；完全平方数完全平方数特征：1.末位数字只能是： 0、1、4、5、6、9；反之不成立。2.除以 3 余 0 或余 1；反之不成立。3.除以 4 余 0 或余 1；反之不成立。4.约数个数为奇数；反之成立。5.奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立。6.奇数平方个位数字是奇数；偶数
36、平方个位数字是偶数。7.两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。平方差公式： X2-Y2=（X-Y） （X+Y ）完全平方和公式：（X+Y ）2=X2+2XY+Y2完全平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y2循环小数一、把循环小数的小数部分化成分数的规则纯循环小数小数部分化成分数：将一个循环节的数字组成的数作为分子，分母的各位都是 9，9 的个数与循环节的位数相同，最后能约分的再约分。混循环小数小数部分化成分数：分子是第二个循环节以前的小数部分的数字组成的数与不循环部分的数字所组成的数之差，分母的头几位数字是9，9 的个数与一个循环节的位数相同，末几位是 0，0 的个数与不循环部分的位数相
37、同。二、分数转化成循环小数的判断方法：一个最简分数， 如果分母中既含有质因数2 和 5，又含有 2 和 5 以外的质因数， 那么这个精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 19 页分数化成的小数必定是混循环小数。一个最简分数，如果分母中只含有2 和 5 以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是纯循环小数。盈亏问题基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准
38、的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量基本题型：一次有余数，另一次不足；基本公式：总份数（余数不足数）两次每份数的差当两次都有余数；基本公式：总份数（较大余数一较小余数）两次每份数的差当两次都不足；基本公式：总份数（较大不足数一较小不足数）两次每份数的差基本特点：对象总量和总的组数是不变的。关键问题：确定对象总量和总的组数。余数、同余与周期一、同余的定义：若两个整数 a、b除以 m的余数相同，则称 a、b 对于模 m同余。已知三个整数 a、b、m ，如果 m|a-b，就称 a、b 对于模 m同余，记作 ab(mod m) ，读作 a 同余于 b 模
39、m 。二、同余的性质：自身性： aa(mod m) ；对称性：若 ab(mod m) ，则 ba(mod m) ；传递性：若 ab(mod m)，bc(mod m)，则 a c(mod m)；和差性：若 ab(mod m)，cd(mod m)，则 a+cb+d(mod m)，a-c b-d(mod m) ；相乘性：若 a b(mod m) ，cd(mod m) ，则ac bd(mod m) ；乘方性：若 ab(mod m) ，则 anbn(mod m) ；同倍性 : 若 a b(mod m) ，整数 c，则 ac bc(mod m c)；三、关于乘方的预备知识：若 A=ab，则 MA=Mab=
40、（Ma）b 若 B=c+d则 MB=Mc+d=McMd四、被 3、9、11除后的余数特征：一个自然数 M ，n 表示 M的各个数位上数字的和，则M n(mod 9) 或（mod 3） ；一个自然数 M ，X表示 M的各个奇数位上数字的和， Y表示 M的各个偶数数位上数字的和，则 M Y-X 或 M 11-（X-Y）(mod 11) ；五、费尔马小定理：如果p 是质数（素数） ，a 是自然数，且 a不能被 p整除，则 ap-11(mod p)。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 19 页余数及其应用基本概念：对任意自然数a、
41、b、q、r ，如果使得 ab=qr ，且 0rb, 那么 r 叫做 a 除以b 的余数， q 叫做 a 除以 b 的不完全商。余数的性质：余数小于除数。若 a、b 除以 c 的余数相同，则c|a-b 或 c|b-a 。a 与 b 的和除以 c 的余数等于 a 除以 c 的余数加上 b 除以 c 的余数的和除以 c 的余数。a 与 b 的积除以 c 的余数等于 a 除以 c 的余数与 b除以 c 的余数的积除以c 的余数。约数与倍数约数和倍数：若整数a 能够被 b 整除， a 叫做 b 的倍数， b 就叫做 a 的约数。公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数
42、的最大公约数。最大公约数的性质：1、几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。3、几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。4、几个数都乘以一个自然数m ，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m 。例如： 12 的约数有 1、2、3、4、6、12；18 的约数有： 1、2、3、6、9、18；那么 12和 18的公约数有： 1、2、3、6；那么 12和 18最大的公约数是： 6，记作（ 12，18）=6；求最大公约数基本方法：1、分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。2、短除法：先找公有的约数，然后相乘。3、辗
43、转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。12 的倍数有： 12、24、36、48；18 的倍数有： 18、36、54、72；那么 12 和 18 的公倍数有： 36、72、108；那么 12 和 18 最小的公倍数是 36，记作 12 ，18=36；最小公倍数的性质： 1 、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。 2 、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。求最小公倍数基本方法： 1、短除法求最小公倍数； 2、分解质因数的方法精选学习资料 - -
44、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 19 页植树问题基本类型在 直 线 或 者 不 封闭的曲线上植树，两端都植树在直线或者不封闭 的 曲 线 上 植树，两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树封 闭 曲 线上植树基本公式棵数=段数 1 棵距段数 =总长棵数=段数 1 棵 距 段数 =总长棵数=段数棵距段数 =总长关键问题确定所属类型，从而确定棵数与段数的关系周期循环与数表规律周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。关键问题：确定循环周期。闰年：一年有 366 天；年份
45、能被 4 整除；如果年份能被100 整除，则年份必须能被400 整除；平年：一年有 365天。年份不能被 4 整除；如果年份能被100 整除，但不能被 400 整除；综合行程基本概念：行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的关系. 基本公式：路程 =速度时间；路程时间=速度；路程速度 =时间关键问题：确定运动过程中的位置和方向。相遇问题：速度和相遇时间=相遇路程（请写出其他公式）追及问题：追及时间路程差速度差（写出其他公式）流水问题：顺水行程 =（船速 +水速）顺水时间逆水行程 =（船速 - 水速）逆水时间顺水速度 =船速+水速逆水速度 =船速-水速静水速度 =（顺水速度 +逆水速度） 2 水速=（顺水速度 - 逆水速度） 2 流水问题：关键是确定物体所运动的速度，参照以上公式。过桥问题：关键是确定物体所运动的路程，参照以上公式。主要方法：画线段图法基本题型：已知路程（相遇路程、追及路程） 、时间（相遇时间、追及时间） 、速度（速度和、速度差）中任意两个量，求第三个量。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 19 页