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1、近世代数论文师范学院 14 级数学与应用数学 2 班景羡林学号： 12147139213 一、 上半学期学习总结第一章基本概念1、集合的幂集：以集合 A的一切子集为元素构成的集合， 记为或2A。 （含 n 个元素的集合的子集有2n个，即幂集中的元素共有2n个）2、积（笛卡尔积）：AB=（a，b）|aA，b B叫 A 与 B 的积。 （ABBA）3、A 到 B 的对应法则为 A 到 B 的映射，有象，的象唯一，x 的象在 B中。4、若 A是含 n 个元素的集合，则A的映射共有个，一一映射共有n！个。5、代数运算： 一个 AB到 D的映射叫做一个 AB到 D的代数运算。（o 为 AB到 D的代数运
2、算（a，b） AB，a b 有意义，且a b 唯一，属于 D ） 。6、满射：y，设 y= （x） ，求出 x（x 为 y 的函数） ，若 x 存在且x A， 则 为满射。 （ 中的每一个元素都有原象） ；单射： a， b A，若 ab，则（a） （b） 。 （元素不同象不同）；一一映射：即单又满。 （一一映射都有逆映射，若A与 B间是一一映射，则 A、B有限且元素个数相同）7、一个 A到 A的映射叫做 A的一个变换；有限集 A的一个一一变换，叫做 A的一个置换。8、一个 A 到 的映射，叫做一个对于代数运算o 和 来说的，A 到的同态映射，假如满足：a,bA，a，b 则 aob（运算的象=象
3、的运算）；A与 同态A 与 存在同态满射。9、一个 A 到 的一一映射，叫做一个对于代数运算o 和 来说的，A 到 的同构映射。（同构映射的逆映射也是同构映射） 。10、 若 R为法则，若 R满足a，b A，要么 aRb ，要么 a b，唯一确定， 则称 R为 A的元间的一个关系； 集合 A 的元间的一个关系叫做一个等价关系，假如满足反射律（a A，有 a a）对称律推移律精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页11、 A 的一个分类即为A 的一 些 子集、满足 ：=A.= （i j ） （不相交）。 （集合 A 的元间的
4、一个等价关系决定 A的一个分类）12、 模 n 的同余关系（ ab（n）读作 a 同余 b 模 n） ：若 n（a-b）则 ab （a与 b同除 n后余数相同）。 若=则 ab （n） 即 n|a-b 。第二章群论1、群的定义：一个非空集合G 对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群，假如：乘法封闭。结合律成立。存在单位元。逆元存在。2、群的阶：群中元素的个数；元素的阶：使得=e 成立的最小正整数 m ，记为，若这样的 m不存在，则说 a 是无限阶的。（单位元的阶为 1）3、元素的阶的性质：设a 的阶为 m ，若=e则 m n；任何元素与它的逆元同阶；设 G为一个群，a G ， 若 a的阶为
5、2， 则 a=； 在一个有限群 G中，阶大于 2 的元素的个数一定是偶数。4、交换群：a，b G ，ab=ba 5、若一个有乘法的有限集满足乘法封闭；结合律成立；消去律成立（若 ax=a，那么 x=；若 ya=a 则 y=） 。则必能做成一个群。（无限集不适用）6、群同态：假定 G与 对于它们的乘法来说同态， 若 G是群，那么也是一个群（具有相同的特性） 。但是反之却不成立。7、设（ G ， ）和（， ）是两个群，如果存在G 和 的同态满射，则称 G和同态，记为 G ；如果存在 G和 的同构映射，则称G和 同构，记为 G 。8、A的一个变换就是一个A到 A自己的映射。9、一个集合 A的所有一一
6、变换作成一个变换群G 。 （变换群是非交换群） ；变换群不唯一，变换做成群只有一一映射，10、 任何一个群都同一个变换群同构。11、 一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换；一个有限集合的若干个置换做成的一个群叫做一个置换群。（置换群的表示不唯一，置换群是非交换群）12、 一个包含 n 个元的集合的全体置换作成的群叫做n 次对称群； n次对称群的阶是 n！ 。13、 每一个有限群都与一个置换群同构。14、 循环群的每个元素都可以写成生成元的方幂。（循环群的生成元不唯一，不同的元可以生成同一个群）15、 假定 G是一个由元 a 生成的循环群， 那么 G的构造完全可以由a的阶来决定： a 的阶若是
7、无限，那么G与整数加群同构； a 的阶若是一个有限整数n，那么 G与模 n 的剩余类加群同构。16、 一个循环群一定是一个交换群。17、 设 H为群 G的非子集，如果 H按 G中的运算作成一个群，则称H精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页为 G 的一个子群，记为 HG 。18、 子群的判法：定义法；一个群G 的一个非空子集H 作成 G的一个子群的充要条件是乘法封闭； 逆元成立（a HH） ；充要条件是：a、 b H aH； 充要条件是：a、 b H aH 。19、 群 G中由等价关系abaH 决定 G 的一个分类，其中
8、的每一个类，叫做子群H的右陪集，用 Ha表示。20、 群 G中由等价关系 abH决定 G 的一个分类，其中的每一个类，叫做子群H的右陪集，用 aH表示。21、 一个子群 H的右陪集个数和左陪集个数相等。 （一般的， a，Ha aH ，a 为单位元时才相等）22、 一个群 G的一个子群 H的右陪集（或左陪集）的个数叫做H在 G里的指数，记为。 （陪集个数 =H中元素个数）23、 子群的阶能整除大群的阶；一个有限群G 的任一个元 a 的阶 n都整除 G的阶。24、 一个群 G的一个子群 N叫做一个不变子群， 假如对于 G的每一个元 a 来说，都有 Na=aN （指 Na与 aN这两个集合一样）。2
9、5、 一个交换群 G的每一个子群 H都是不变子群。26、 不变子群的判法： 定义法： a， 有 Na=aN ； a， aN=N ；a，n anN 27、 一个群 G的一个不变子群 N的陪集所作成的群叫做一个商群， 用G/N表示；的阶的阶=G/N的阶。 （每一个不变子群都可产生一个商群）28、 一个群 G同它的每一个商群G/N同态。29、 假定 G与是两个群，并且 G与 同态，那么这个同态满射的核N是 G的一个不变子群，并且G/N30、 一个群 G和它的每一个商群同态； 群的同态满射的核是一个不变子群。二、 下半学期学习计划l 时间安排问题(1) 在学习前确定明确的目标，比如要在多少时间里完成多
10、少内容。(2) 按时完成作业。（3）充分利用课余时间来提高自己。2注意力问题上课专心听讲，做到注意力高度集中精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页3学习兴趣问题要想学好近世代数这门课程， 首先必须要对这门学科有兴趣， 兴趣是最好的老师。4. 学习方法问题(1) 多做题，在做题中体会做题的方法，思想，步骤。(2) 敢于不耻下问，与同学们共同提高。（3）敢于向老师请教问题。(4) 合理利用课余时间，多在图书馆看一些课外辅助读物，提升自己的能力。（5）课前提前预习，课后及时复习。（6）每隔一段时间就要复习一下以前学过的东西，做
11、到温故而知新。（7）多做一下以前的考试题，了解考试题型。5、学会总结知识将课本上的概念理论用便于自己理解的话总结起来，学会比较记忆， 把相同类型的内容总结到一起，一并理解记忆。三、 学习意见、建议希望老师能把之前发的那些题仔细讲一下，近世代数这门课理论概念太多，这也是同学们上课听着浮躁的主要原因，数学专业的学生自然对计算之类的东西比较敏感， 而像短篇小说一样的概念理论，无疑是对数学专业学生的煎熬，至少对我来说如此， 我感觉这门课的概念理论不难记忆，但是不容易理解。 为了能更好地学习近世代数这门课程，现提一点建议如下：1、如果能把枯燥的理论概念融入到习题讲解中，我感觉效果可能会更好。2、在课堂上积极调动学生学习，比如多叫学生在黑板上做题，对学生上课注意力高度集中以及更好地理解学习内容都大有好处。近世代数是一门比较抽象的学科，但作为数学专业的学生， 它是我们必须要攻克的难关，只要方法得当，并认真去学，我相信，学好近世代数不是难事， I firmly believe that I can make it！精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页