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1、学习必备欢迎下载递推法方法简介递推法是解决物体与物体发生多次作用后的情况. 即当问题中涉及相互联系的物体较多并且有规律时，应根据题目特点应用数学思想将所研究的问题归类，然后求出通式. 具体方法是先分析某一次作用的情况，得出结论. 再根据多次作用的重复性和它们的共同点，把结论推广，然后结合数学知识求解. 用递推法解题的关键是导出联系相邻两次作用的递推关系式. 真题精析例 1质点以加速度a 从静止出发做直线运动，在某时刻t，加速度变为2a；在时刻 2t，加速度变为3a；在nt 时刻，加速度变为（n+1）a，求：（1）nt 时刻质点的速度；（2）nt 时间内通过的总路程. 解析根据递推法的思想，从特
2、殊到一般找到规律，然后求解. （1）物质在某时刻t 末的速度为atvt2t 末的速度为atatvatvvttt2,222所以3t 末的速度为atatatatvvtt32322则 nt 末的速度为natvvtnnt)1()321()1(32natnatatnatatatatnnnnat) 1(21)1(21（2）同理：可推得nt 内通过的总路程.) 12)(1(1212atnnns例 2小球从高mh1800处自由下落，着地后跳起又下落，每与地面相碰一次，速度减小)2(1nn，求小球从下落到停止经过的总时间为通过的总路程.（g 取 10m/s2）解析小球从 h0高处落地时，速率smghv/6020
3、0第一次跳起时和又落地时的速率2/01vv精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页学习必备欢迎下载第二次跳起时和又落地时的速率2022/vv第 m 次跳起时和又落地时的速率mmvv2/0每次跳起的高度依次40222202112,2nhgvhnhgvh，通过的总路程mhhhhs222210mhnnhnhhnnnnhhm300351112)1111(202202002242200经过的总时间为mttttt210sgvnngvnngvgvgvgvmm183)11()1(2121 2200010例 3A、B、C 三只猎犬站立的位
4、置构成一个边长为a 的正三角形，每只猎犬追捕猎物的速度均为v，A 犬想追捕B 犬， B 犬想追捕C 犬， C 犬想追捕A 犬，为追捕到猎物，猎犬不断调整方向，速度方向始终“盯”住对方，它们同时起动，经多长时间可捕捉到猎物？解析由题意可知，由题意可知，三只猎犬都做等速率曲线运动，而且任一时刻三只猎犬的位置都分别在一个正三角形的三个顶点上，但这正三角形的边长不断减小，如图61所示 .所以要想求出捕捉的时间，则需用微元法将等速率曲线运动变成等速率直线运动，再用递推法求解 . 设经时间t 可捕捉猎物， 再把 t 分为 n 个微小时间间隔t，在每一个 t 内每只猎犬的运动可视为直线运动，每隔t，正三角形
5、的边长分别为a1、a2、a3、 an，显然当an0 时三只猎犬相遇精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页学习必备欢迎下载tvnaatvatvaatvatvaatvaBBAAaan23,23323,23223,2360cos2312111因为, 023tvna即vatttn32所以此题还可用对称法，在非惯性参考系中求解. 例 4 一列进站后的重载列车，车头与各节车厢的质量相等，均为 m，若一次直接起动，车头的牵引力能带动30 节车厢，那么，利用倒退起动，该车头能起动多少节同样质量的车厢？解析若一次直接起动，车头的牵引力需
6、克服摩擦力做功，使各节车厢动能都增加，若利用倒退起动， 则车头的牵引力需克服摩擦力做的总功不变，但各节车厢起动的动能则不同. 原来挂钩之间是张紧的，倒退后挂钩间存在s 的宽松距离，设火车的牵引力为F，则有：车头起动时，有2121)(mvsmgF拉第一节车厢时：11)(mvvmm故有sgmFvv)(214121212122221221)2(vmmvsmgF拉第二节车厢时：222)2(mvvmm故同样可得：sgmFvv)35(32942222推理可得sgnmFnnvn)312(12由mgnFvn312:02可得另由题意知46,31nmgF得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳
7、总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页学习必备欢迎下载因此该车头倒退起动时，能起动45 节相同质量的车厢. 例 5 有 n 块质量均为m，厚度为d 的相同砖块，平放在水平地面上，现将它们一块一块地叠放起来，如图62 所示，人至少做多少功？解析将平放在水平地面上的砖一块一块地叠放起来，每次克服重力做的功不同，因此需一次一次地计算递推出通式计算. 将第 2 块砖平放在第一块砖上人至少需克服重力做功为mgdW2将第 3、4、 n 块砖依次叠放起来，人克服重力至少所需做的功分别为dnmgWdmgWdmgWdmgWn) 1(432543所以将 n 块砖叠放起来，至少做的总功为W=W1+
8、W2+W3+Wn2) 1()1(32nnmgddnmgdmgdmgmgd例 6如图 63 所示，有六个完全相同的长条薄片1(iBAii、2、 6）依次架在水平碗口上，一端搁在碗口，另一端架在另一薄片的正中位置（不计薄片的质量）. 将质量为m 的质点置于A1A6 的中点处，试求：A1B1薄片对 A6B6的压力 . 解析本题共有六个物体，通过观察会发现，A1B1、 A2B2、A5B5的受力情况完全相同，因此将A1B1、A2B2、 A5B5作为一类，对其中一个进行受力分析，找出规律，求出通式即可求解. 以第 i 个薄片 AB 为研究对象，受力情况如图63 甲所示，第i 个薄片受到前一个薄片向上的支持
9、力Ni、碗边向上的支持力和后一个薄片向下的压力Ni+1.选碗边 B 点为轴，根据力矩平衡有2,211iiiiNNLNLN得所以65321)21(212121NNNN再以 A6B6为研究对象，受力情况如图63 乙所示， A6B6受到薄片A5B5向上的支持力N6、碗向上的支持力和后一个薄片A1B1向下的压力N1、质点向下的压力mg. 选 B6点为轴，根据力矩平衡有LNLmgLN61432精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页学习必备欢迎下载由、联立，解得421mgN所以， A1B1薄片对 A6B6的压力为.42mg例 7用
10、 20 块质量均匀分布的相同光滑积木块，在光滑水平面上一块叠一块地搭成单孔桥，已知每一积木块长度为L，横截面是边长为)4/(Lhh的正方形， 要求此桥具有最大的跨度（即桥孔底宽） ，计算跨度与桥孔高度的比值. 解析为了使搭成的单孔桥平衡，桥孔两侧应有相同的积木块，从上往下计算，使积木块均能保证平衡，要满足合力矩为零，平衡时，每块积木块都有最大伸出量，则单孔桥就有最大跨度，又由于每块积木块都有厚度，所以最大跨度与桥孔高度存在一比值. 将从上到下的积木块依次计为1、2、 n，显然第 1 块相对第2 块的最大伸出量为21Lx第 2 块相对第3 块的最大伸出量为2x（如图 64 所示） ，则224)2
11、(222LLxGxLxG同理可得第3 块的最大伸出量323Lx最后归纳得出nLxn2所以总跨度hxknn32.11291跨度与桥孔高的比值为2 5 8. 1932.11hhHk例 8 如图 65 所示，一排人站在沿x 轴的水平轨道旁， 原点 O 两侧的人的序号都记为3 ,2, 1(nn） . 每人只有一个沙袋，0 x一侧的每个沙袋质量为m=14kg，0 x一侧的每个沙袋质量kgm10. 一质量为M=48kg 的小车以某初速度v0从原点出发向正x 轴方向滑行 . 不计轨道阻力. 当车每经过一人身旁时，此人就把沙袋以水平速度v 朝与车速相反的方向沿车面扔到车上，v 的大小等于扔此袋之前的瞬间车速大
12、小的2n 倍.（n 是此人的序号数）（1）空车出发后，车上堆积了几个沙袋时车就反向滑行？（2）车上最终有大小沙袋共多少个？解析当人把沙袋以一定的速度朝与车速相反的方向沿车面扔到车上时，由动量守恒定精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页学习必备欢迎下载律知，车速要减小，可见，当人不断地把沙袋以一定的速度扔到车上，总有一时刻使车速反向或减小到零，如车能反向运动，则另一边的人还能将沙袋扔到车上，直到车速为零，则不能再扔，否则还能扔. 小车以初速0v沿正x 轴方向运动，经过第1 个（ n=1）人的身旁时，此人将沙袋以0022v
13、nvu的水平速度扔到车上，由动量守恒得,)(2100vmMvmMv当小车运动到第2 人身旁时，此人将沙袋以速度1142vnvu的水平速度扔到车上，同理有211)2(2)(vmMnvmvmM，所以，当第n 个沙袋抛上车后的车速为nv，根据动量守恒有111)1(,)(2) 1(nnnnnvnmMmnMvvnmMmvnvmnM即. 同理有nnvmnMmnMv)1()2(1， 若抛上（n+1） 包沙袋后车反向运动，则应有. 0, 01nnvv即.0)2(, 0)1(mnMmnM由此两式解得：nnn,1420,1438为整数取 3. 当车反向滑行时，根据上面同样推理可知，当向左运动到第n 个人身旁，抛上
14、第n 包沙袋后由动量守恒定律有：nnnvmnmMnvmvmnmM)3(2) 1(311解得：nnnnvmnmMmnmMvvmnmMmnmMv) 1(3)2(33)1(311同理设抛上 n+1 个沙袋后车速反向，要求0, 01nnvv即870)2(30) 1(3nnmnmMmnmM解得即抛上第8 个沙袋后车就停止，所以车上最终有11 个沙袋 . 例 9 如图 6 6 所示，一固定的斜面，倾角45，斜面长 L=2.00 米. 在斜面下端有一与斜面垂直的挡板. 一质量为m 的质点，从斜面的最高点沿斜面下滑，初速度为零. 下滑到最底端与挡板发生弹性碰撞. 已知质点与斜面间的动摩擦因数20.0，试求此质
15、点从开始到发生第 11 次碰撞的过程中运动的总路程. 解析因为质点每次下滑均要克服摩擦力做功，且每次做功又不相同，所以要想求质点从开始到发生n 次碰撞的过程中运动的总路程，需一次一次的求，推出通式即可求解. 设每次开始下滑时，小球距档板为s 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页学习必备欢迎下载则由功能关系：sin)()(cos2121ssmgssmgsin)()(cos3232ssmgssmg即有32cossincossin2312ssss由此可见每次碰撞后通过的路程是一等比数列，其公比为.32在发生第11 次碰撞过
16、程中的路程11321222sssss1111111321321)32(12)(2sssssss)(86.9)()32(121011mm例 10 如图 67 所示，一水平放置的圆环形刚性窄槽固定在桌面上，槽内嵌着三个大小相同的刚性小球，它们的质量分别是m1、m2 和 m3， m2=m3=2m1. 小球与槽的两壁刚好接触而它们之间的摩擦可忽略不计 . 开始时，三球处在槽中、的位置，彼此间距离相等，m2和 m3静止， m1以初速2/0Rv沿槽运动， R 为圆环的内半径和小球半径之和，设各球之间的碰撞皆为弹性碰撞，求此系统的运动周期T. 解析当 m1与 m2发生弹性碰撞时，由于m2=2m1，所以 m1
17、碰后弹回，m2向前与m3发生碰撞 . 而又由于m2=m3，所以m2与 m3碰后， m3能静止在m1的位置， m1又以 v 速度被反弹，可见碰撞又重复一次. 当 m1回到初始位置，则系统为一个周期. 以 m1、m2为研究对象，当m1与 m2发生弹性碰撞后，根据动量守恒定律，能量守恒定律可写出：221101vmvmvm222211201212121vmvmvm由、式得：002112002121132231)(vvmmmvvvmmmmv以 m2、m3为研究对象，当m2与 m3发生弹性碰撞后，得032203vvv以 m3、m1为研究对象，当m3与 m1发生弹性碰撞后，得0130vvv精选学习资料 -
18、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页学习必备欢迎下载由此可见，当m1运动到 m2处时与开始所处的状态相似. 所以碰撞使m1、m2、m3交换位置，当 m1再次回到原来位置时，所用的时间恰好就是系统的一个周期T，由此可得周期).(2021010)32232(3)(30000321sRRvRvRvRvRtttT例 11 有许多质量为m的木块相互靠着沿一直线排列于光滑的水平面上. 每相邻的两个木块均用长为L 的柔绳连接着. 现用大小为F 的恒力沿排列方向拉第一个木块，以后各木块依次被牵而运动，求第n个木块被牵动时的速度. 解析每一个木块被拉动
19、起来后，就和前面的木块成为一体，共同做匀加速运动一段距离 L 后，把绳拉紧，再牵动下一个木块. 在绳子绷紧时，有部分机械能转化为内能. 因此，如果列出221) 1(nnmvFLn这样的关系式是错误的. 设第) 1(n个木块刚被拉动时的速度为1nv，它即将拉动下一个木块时速度增至1nv，第 n个木块刚被拉动时速度为nv. 对第)1(n个木块开始运动到它把下一段绳子即将拉紧这一过程，由动能定理有：2121)1(21) 1(21nnmvnvmnFL对绳子把第n 个木块拉动这一短暂过程，由动量守恒定律，有nnnmvvmn1)1(得：nnvnnv11把式代入式得：212) 1(21)1() 1(21nn
20、mvnvnnmnFL整理后得：21222)1(2)1(nnvnvnmFLn式就是反映相邻两木块被拉动时速度关系的递推式，由式可知当 n=2 时有：2122222vvmFL当 n=3 时有：2222322322vvmFL当 n=4 时有：2322423423vvmFL一般地有21222) 1(2) 1(nnvnvnmFLn将以上) 1(n个等式相加，得：21222) 1321 (vvnmFLnn所以有212222) 1(vvnmFLnnn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页学习必备欢迎下载在本题中01v，所以.)1(n
21、mnFLvn例 12 如图 68 所示，质量m=2kg 的平板小车，后端放有质量 M=3kg 的铁块，它和车之间动摩擦因数.50.0开始时，车和铁块共同以smv/30的速度向右在光滑水平面上前进，并使车与墙发生正碰，设碰撞时间极短，碰撞无机械能损失，且车身足够长，使得铁块总不能和墙相碰，求小车走过的总路程. 解析小车与墙撞后，应以原速率弹回. 铁块由于惯性继续沿原来方向运动，由于铁块和车的相互摩擦力作用，过一段时间后， 它们就会相对静止，一起以相同的速度再向右运动，然后车与墙发生第二次碰撞，碰后，又重复第一次碰后的情况. 以后车与墙就这样一次次碰撞下去 . 车每与墙碰一次，铁块就相对于车向前滑
22、动一段距离，系统就有一部分机械能转化为内能，车每次与墙碰后，就左、右往返一次，车的总路程就是每次往返的路程之和. 设每次与墙碰后的速度分别为v1、v2、v3、 vn、车每次与墙碰后向左运动的最远距离分别为s1、 s2、 s3、 sn、 . 以铁块运动方向为正方向，在车与墙第) 1(n次碰后到发生第 n 次碰撞之前，对车和铁块组成的系统，由动量守恒定律有nnvmMvmM)()(1所以511nnnvvmMmMv由这一关系可得：,5,521312vvvv一般地，有,511nnvv由运动学公式可求出车与墙发生第n 次碰撞后向左运动的最远距离为2221215122nnavavs类似地，由这一关系可递推到
23、：222142132212211512,512,512,2nnavsavsavsavs所以车运动的总路程)(2321nsssss总精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页学习必备欢迎下载24255111)5151511(2221221224221avavavn因此201/215/3smmMgasmvv所以)(45ms总例 1310 个相同的扁长木块一个紧挨一个地放在水平地面上，如图6 9 所示，每个木块的质量,40.0kgm长度ml45.0，它们与地面间的静摩擦因数和动摩擦因数均为.10.02原来木块处于静止状态. 左方
24、第一个木块的左端上方放一个质量为M=1.0kg 的小铅块，它与木块间的静摩擦因数和动摩擦因数均为.20.01现突然给铅块一向右的初速度smv/3.40，使其在大木块上滑行 . 试确定铅块最后的位置在何处（落在地上还是停在哪块木块上）. 重力加速度g取2)/(10sm，设铅块的长度与木块相比可以忽略. 解析当铅块向右运动时，铅块与10 个相同的扁长木块中的第一块先发生摩擦力，若此摩擦力大于10 个扁长木块与地面间的最大静摩擦力，则10 个扁长木块开始运动，若此摩擦力小于10 个扁长木块与地面间的最大摩擦力，则10 个扁长木块先静止不动，随着铅块的运动，总有一个时刻扁长木块要运动，直到铅块与扁长木
25、块相对静止，后又一起匀减速运动到停止 . 铅块 M 在木块上滑行所受到的滑动摩擦力NMgf0 .211设 M 可以带动木块的数目为n，则 n 满足：0)1()(221mgngmMf即0)1(4.04.10 .2n上式中的n 只能取整数，所以n 只能取 2，也就是当M 滑行到倒数第二个木块时，剩下的两个木块将开始运动.设铅块刚离开第8 个木块时速度为v，则lMgMvMv821211202得：0)/(49.222smv由此可见木块还可以滑到第9 个木块上 . M 在第 9 个木块上运动如图69 甲所示，则对M 而言有：MMaMg1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
26、- - - - - -第 10 页，共 15 页学习必备欢迎下载得：2/0 .2smaM第 9 及第 10 个木块的动力学方程为：mmamggmMMg2)(221，得：./25.02smam设 M 刚离开第9 个木块上时速度为v，而第10 个木块运动的速度为V，并设木块运动的距离为s，则 M 运动的距离为ls，有：saVlsavvmM2)(2222taVtavvmM消去 s及 t 求出：smVsmvsmVsmv/23.0/26. 0/212.0/611.0或，显然后一解不合理应舍去. 因Vv，故 M 将运动到第10 个木块上 . 再设 M 运动到第10 个木块的边缘时速度为v，这时木块的速度为
27、V，则：)(222lsavvM解得：0463.12sv，故 M 不能滑离第10 个木块，只能停在它的表面上，最后和木块一起静止在地面上. 例 14 如图 610 所示，质量为m 的长方形箱子，放在光滑的水平地面上. 箱内有一质量也为m 的小滑块，滑块与箱底间无摩擦. 开始时箱子静止不动，滑块以恒定的速度v0从箱子的A 壁处向B 处运动，后与B 壁碰撞 . 假设滑块与箱壁每碰撞一次，两者相对速度的大小变为该次碰撞前相对速度的e倍，.214e（1）要使滑块与箱子这一系统消耗的总动能不超过其初始动能的40%，滑块与箱壁最多可碰撞几次？（2）从滑块开始运动到刚完成上述次数的碰撞期间，箱子的平均速度是多
28、少？解析由于滑块与箱子在水平方向不受外力，故碰撞时系统水平方向动量守恒. 根据题目给出的每次碰撞前后相对速度之比，可求出每一次碰撞过程中动能的损耗.滑块开始运动到完成题目要求的碰撞期间箱子的平均速度，应等于这期间运动的总位移与总时间的比值. （1）滑块与箱壁碰撞，碰后滑块对地速度为v，箱子对地速度为u. 由于题中每次碰撞的e 是一样的，故有：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页学习必备欢迎下载1111220011nnnnuvvuuvvuuvvue或1111220110nnnnuvuvuvuvvuve11112201
29、1)(nnnnnuvuvuvuvvuve即碰撞 n 次后0)(veuvnnn碰撞第 n 次的动量守恒式是0mvmumvnn、联立得00)(121)(121veuvevnnnn第 n 次碰撞后，系统损失的动能)(21212220nnknkknuvmmvEEEknnnEemveemvmv212121)1 (4121220222020下面分别讨论：当146.0221121,12eEEnkkl时25.0221121,242eEEnkk时323. 022121121,363eEEnkk时精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页学
30、习必备欢迎下载3 7 5.0241121,484eEEnkk时4 1 2.022141121,5105eEEnkk时因为要求的动能损失不超过40%，故 n=4. （2）设 A、B 两侧壁的距离为L，则滑块从开始运动到与箱壁发生第一次碰撞的时间00vLt. 在下一次发生碰撞的时间0111|evLvuLt，共碰撞四次，另两次碰撞的时间分别为022veLt、033veLt，所以总时间).1(32033210eeeveLttttt在这段时间中，箱子运动的距离是：3322110tututus)1(2222222)1 (21)1(21)1 (21323320303020200eeeeLLeLLeLLeLv
31、eLveveLveevLve所以平均速度为：2)1()1(203203323veeeveLeeeeLtsv例 15 一容积为1/4 升的抽气机，每分钟可完成8 次抽气动作 . 一容积为1 升的容器与此抽气筒相连通. 求抽气机工作多长时间才能使容器内的气体的压强由76mmmHg降为1.9mmHg.（在抽气过程中容器内的温度保持不变）解析根据玻一马定律，找出每抽气一次压强与容器容积和抽气机容积及原压强的关系，然后归纳递推出抽n次的压强表达式. 设气体原压强为p0， 抽气机的容积为V0， 容器的容积为V. 每抽一次压强分别为p1、 p2、 ，则由玻一马定律得：第一次抽气后：)(010VVpVp精选学
32、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 15 页学习必备欢迎下载第二次抽气后：)(021VVpVp依次递推有：)(032VVpVp)(01VVpVpnnn由以上n 式得：)lg(lg)(0000vVVppnpVVVpnnn所以代入已知得：2725.1lg400lgn（次）工作时间为：38.3827t分钟例 16 使一原来不带电的导体小球与一带电量为Q 的导体大球接触，分开之后，小球获得电量q. 今让小球与大球反复接触，在每次分开有后，都给大球补充电荷，使其带电量恢复到原来的值Q. 求小球可能获得的最大电量. 解析两个孤立导体相互接触
33、，相当于两个对地电容并联，设两个导体球带电Q1、Q2，由于两个导体球对地电压相等，故有kCCCQQQCCQQCQCQ21121121212211,亦即即，所以kQQkQ),(21为常量， 此式表明： 带电（或不带电） 的小球跟带电大球接触后，小球所获得的电量与总电量的比值不变，比值k 等于第一次带电量q 与总电量Q 的比值，即.Qqk根据此规律就可以求出小球可能获得的最大电量. 设第 1、2、 n 次接触后小球所带的电量分别为q1、q2、，有：qkqkkqqqQkqqkkqqkqkQqQkqkqqqQkqqkQqnnn1212223121)()()(由于1k，上式为无穷递减等比数列，根据求和公
34、式得：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 15 页学习必备欢迎下载qQqQQqqkqqn11即小球与大球多次接触后，获得的最大电量为.qQqQ例 17在如图 611 所示的电路中，S是一单刀双掷开关，A1和 A2为两个平行板电容器，S 掷向 a时， A1获电荷电量为Q，当 S再掷向 b 时， A2获电荷电量为q. 问经过很多次S掷向 a，再掷向 b后， A2将获得多少电量？解析S 掷向 a 时，电源给A1充电， S 再掷向b，A1给 A2充电，在经过很多次重复的过程中， A2的带电量越来越多，两板间电压越来越大. 当 A2的电压等于电源电压时，A2的带电量将不再增加. 由此可知A2最终将获得电量q2=C2E. 因为ECQ1所以EQC1当 S由 a 第一次掷向b 时，有：21CqCqQ所以EqQQqC)(2解得 A2最终获得的电量qQQqq2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 15 页