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1、学习必备欢迎下载高中数学经典易错题会诊与试题预测（十三）考点 13 概率与统计?求某事件的概率?离散型承受机变量的分存列、期望与方差?统计?与比赛有关的概率问题?以概率与统计为背景的数列题?利用期望与方差解决实际问题经典易错题会诊命题角度1 求某事件的概率1 （典型例题）从数字1，2，3，4，5 中，随机抽取3 个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9 的概率为（）12519.12518.12516.12513.DCBA考场错解 基本事件总数为53=125，而各位数字之和等于9 的情况有：（1）这三个数字为1，3，5； （2）这三个数字为2， 3，4； （ 3）这三个数字都为3。
2、第（ 1）种情况有A33 个，第（ 2）种情况有A33 个，第（3）种情况只有1 个。各位数字之各等于9 的概率为12513。选 A 专家把脉 考虑问题不全面，各位数字之和等于9 的情况不只三种情况，应该有五种情况，考虑问题的分类情况，应有一个标准，本题应这样来划分：（1）三人数字都不相同； （2）三个数字有两个相同；（3）三个数字都相同。这样就不会出现错解中考虑不全面的错误。对症下药 基本事件总数为5 55=125，而各位数字之和等于9 分三类： （1）三个数字都不相同，有（1，3，5） ， （2，3，4） ；共 2A33=12 个； （2）三个数字有两个相同，有（2，2， 5） ， （4，
3、4，1） ，共 2C13个三位数；（3）三个数字都相同，有（3， 3，3） ，共 1 个三位数。所求概率为125191251612。选 D。2 （典型例题）甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10 道试题中，甲能答对其中的6 题，乙能答对其中的8 题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3 题进行测试，至少答对2 题才算合格。（1）分别求甲、乙两人考试合格的概率；（2）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率。考场错解 （1）由已知从10 道题中，任选一道，甲答对的概率为53, 那么选 3 道题甲至少答对2 道相当于三次独立重复试验发生两次或三次. 甲合格的概率为.125112)54(52)5
4、3(333232CC 专家把脉 相互独立事件的概念理解错误, 只有当事件A发生与否对事伯B没有任何影响时, 才能说 A与 B相互独立 . 而错解中 , 答对第一题这个事件发生与不发生对“答对第二题”这人事件有影响。所以它们之间不独立。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 15 页学习必备欢迎下载 对症下药 （1）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，那么对于A：基本事件总数为C310，而考试合格的可能有： （1）答对 2题，共 C26C14； （2）答对 3 题，共 C36。.1514)(.32)(103416263BPCC
5、CCAP同理（2） 由 （1） 知 A与 B相互独立， 甲、乙两人考试均不合格的概率为P （BA） =,451)15141)(321()()(BPAP甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P=1-P)(BA=1-.45444513 （典型例题）某人有5 把钥匙，其中有1 把可以打开房门，但忘记了开门的是哪一把，于是他逐把不重复地试开，那么恰好第三次打开房门的概率是_. 考场错解 基本事件总数为A55=120，而恰好第三次打开房门的可能为A24=12，故所求概率为.101 专家把脉 在利用等可能事件的概率公式P（A）=nm时，分子、分母的标准不一致，分母是将五把钥匙全排列，而分子只考虑前三次，导致
6、错误。正确的想法是：要么分子分母都考虑5 次，要么都只考虑前三次，或者干脆都只考虑第三次。 对诊下药 （方法一） 5 把钥匙的次序共有A55 种等可能结果。第三次打开房门，看作正确的钥匙恰好放在第三的位置，有A44种，概率P=.515544AA（方法二）只考虑前3 把的次序，概率P=.515542AA（方法三）只考虑第3 把钥匙，概率P=.514 （典型例题）20 典型例题）甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是4332和。假设两人射击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响。（1）求甲射击4 次，至少1 次未击中目标的概率；（2）求两人各射击4 次，甲恰好击中目标
7、2 次且乙恰好击中目标3次的概率；（3）假设某人连续2 次未击中目标，则停止射击。问：乙恰好射击5 次后，被中止射击的概率是多少？ 考场错解 第（ 3）问，乙恰好射击5 次后，被中止，则乙前3 次都击中， 4、5 次未击中，所求概率为.1024274141)43(3 专家把脉 乙恰好射击5 次后，被中止射击，则4、5 次未击中，但前3 次不一定全部击中，可能有1 次未击中，也可能有2 次未击中。 对症下药 （ 1）甲射击4 次，全部击中的概率为4)32(，则至少1 次未击中的概率为.8165)32(14（2） 甲恰好击中目标2 次的概率为2224)31()32(C乙恰好击中目标3 次的概率为,
8、)41()43(134C甲恰好击中2次且乙恰好击中3 次的概率为.8141)43()31()32(3432224CC(3) 依题意，乙恰好射击5 次后，被中止射击，则4、5 两次一定未击中，前3 次若有 1 次未击中，则一定精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 15 页学习必备欢迎下载是 1、2 两次中的某一次；前3 次若有 2 次未击中，则一定是1、3 两次，但此时第4 次也未中，那么射击4 次后就被停止，这种情况不可能；前三次都击中也符合题意。所求事件的概率为.102445)43()43(41)41(32122C考场思维训
9、练1 （典型例题）掷三枚骰子，求所得点数中最大点数是最小点数两倍的概率是（）31.61.32.31.55DCBA答案： C 解析：基本事件总数是：63，而这数点数是最小数点数的两倍包括：(1 ，1，2) ，(1 ，2，2) ，(2 ，2，4) ，(2 ，3，4) ，(2 ，4,4) ，(3 ， 3，6) ， (3 ，4， 6) ，(3 ，5，6) ，(3 ， 6，6) 其中 (1，1，2) ，(1 ，2，2)，(2 ，2，4) ，(2， 4，4) ，(3 ，3， 6)，(3 ，6，6) 各包含13C种结果，共有613C种结果； (2 ，3，4) ，(3 ，4，6) ，(3， 5，6)各包含33
10、A种结果，共有333A种结果所求概率为6163633313AC选 C2 （典型例题）同时抛掷3 枚均匀硬币16 次，则这三枚硬币至少出现一次两个正面一个反而的概率_（用式子作答） 。答案： 1- （85）16解析：事件A：出现两个正面一个反面的概率为85)(,83)21(323ApC则，而事件B:“至少出现一次两个正面一个反面”的对立事件B： “没有一次出现两个正面一个反面”的概率P(B)=(85)16所求事件的概率为1-(85)16.3 （典型例题）设棋子在正四面体ABCD的表面从一个顶点向另外三个顶点移动是等可能的，现抛掷骰子根据其点数决定棋子是否移动，若抛出的点数是奇数，则棋子不动；若抛
11、出的点数是偶数，棋子移动到另一顶点，若棋子的初始位置为A ，则：（1）投掷 2 次骰子，棋子才到达顶点BA的概率；答案： “棋子才到达顶点B” 包括两种可能：(1) 第一次掷出奇数，第二次掷出偶数；(2) 第一次掷出偶数，第二次掷出偶数它们的概率分别为P1=.213132212,312121P所求事件的概率为P=Pl+P2=365. （2）投掷次骰子，棋子恰巧在顶点B的概率是多少？答案：设Pn表示掷 n 次骰子，棋子恰巧在顶点B的概率， Pn-1表示掷 n-1 次骰子，棋子恰巧在顶点B的概率，掷 n 次骰子，“棋子恰巧在顶点B”包括两种可能：掷n-1 次骰子，棋子恰巧在顶点B ，第 n 次掷出
12、奇数，棋子在B处不动；掷n-1 次骰子，棋子不在B，第 n 次掷出偶数，棋子从别的顶点移向BPn=21pn-1+(1-Pn-1) 613131211nP, 而 P1=613121. P2=5413,923P所求事件的概率为：5413. 专家会诊对于等可能性事件的概率，一定要注意分子分母算法要一致，如分母考虑了顺序，则分子也应考虑顺序等；将一个较复杂的事件进行分解时，一定要注意各事件之间是否互斥，还要注意有无考虑全面；有时正面情况较多，应考虑利用公式P（A）=1-P（A） ；对于 A、 B是否独立，应充分利用相互独立的定义，只有A、B相互独立，才能利用公式P（AB） =P（A） P（B） ，还应
13、注意独立与互斥的区别，不要两者混淆。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 15 页学习必备欢迎下载命题角度 2 离散型随机变量的分布列、期望与方差1 （典型例题）盒子中有大小相同的球10 个，其中标号为1 的球 3 个，标号为2 的球 4 个，标号为5 的球 3 个。第一次从盒子中任取1 个球，放回后第二次再任取1 个球（假设取到每个球的可能性都相同）。记第一次与第二次取得球的标号之和为。（1）求随机变量的分布列；（2）求随机变量的期望。 考场错解 （1）依题意， 的取值是3，6，7，它们所对应的概率分别为0.24,0.18,
14、0.24,故随机变量的分布列如下：3 6 7 P 024 018 024 专家把脉 随机变量 的取值不正确， 当然随之概率之和不等于1，由于两次可能取到同标号的球，所以承受机变量 的取值应为2，3，4，6，7，10。 对症下药 （1）由题意可得， 随机变量 的取值是2，3，4，6，7，10。且 P （=2）=0.3 0.3=0.09,P(=3)=C12 0.3 0.4=0.24,P( =4)=0.4 0.4=0.16,P(=6)=2 0.3 0.3=0.18,P( =7)2 0.4 0.3=0.24,P(=10)=0.3 0.3=0.09.故随机变量 的分布列如下：2 3 4 5 7 10 P
15、 009 0 24 016 0 18 024 009 （2）随机变量 的数学期望E=20.09+3 0.24+4 0.16+6 0.18+7 0.24+10 0.09=5.2. 2 （典型例题）某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题竞赛规则规定：每题回答正确得100 分，回答不正确得 -100 分，假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8 ， 且各题回答正确与否相互之间没有影响。（1）求这名同学回答这三个问题的总得分的概率分布和数学期望；（2）求这名同学总得分不为负分（即0）的概率。 考场错解 （1）由于这名同学每题回答正确的概率均为0.8 ，且各题回答正确与否相互之间没有影响，服从二项分布。
16、E=1000.8 。 专家把脉 二项分布的概念理解错误，把n 次独立重复试验事件A 发生的次数作为随机变量，则这个随机变量服从二项分布，而本题中的得分不是这种随机变量，所以不服从二项分布，实际上本题中回答正确的个数服从二项分布。 对症下药 （1）设这名同学回答正确的个数为随机变量，则依题意 B（3，0.8 ）, E=2.4, 又=-300=180. =0 时， =-300; =1 时， =-100; =2 时, =100; =3 时， =300. 所以 的分布列如下表所示：-300 -100 100 300 P 0008 0096 0384 0512 （2）这名同学总得分不为负分的概率为P（0
17、）=0.384+0.512=0.986. 3 （典型例题）某电器商经过多年经验发现本店每个月售出的电冰箱的台数是一个随机变量，它的分布列如下：1 2 3 12 P 121121121121设每售出一台电冰箱，电器商获利300 元，如销售不出而囤积于仓库，则每台每月需花保养费100 元，问精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 15 页学习必备欢迎下载电器商月初购进多少台电冰箱才能使自己平均收益最大？ 考场错解 （解答 1）由题意， 的期望 E=121（1+2+12）=213，由期望的意义知：电器商月初购进6 台或 7 台电冰箱才
18、能使自己平均收益最大。（解答 2）设月初购进x 台电冰箱， 则获利也是随机变量，取值为 300-（x-1 ） 100，600-（x-2 ） 100, ，300 x，它们的概率均为121，获利的期望为),2(3251212)300100400(2xxxxx1 x2. x=12 时期望最大，月初购进12 台电冰箱。 专家把脉 解答 1，错把期望当作与实际等同，E=213表示平均能卖213台，不是一定能卖213台，总之是期望理解错误；解答2 中当获利的取值为300 x 时，概率也为121是错误的，错误认为只有x 台，卖出比x大的台数不可能。实际上获利的取值为300 x 时，概率应为1213x。 对症
19、下药 设月初进x 台，则获利 是一个随机变量取值为300-（x-1 ） 100，600-（x-2 ） 100，300 x，共 x 个值，它的分布列如下：300- （x-1 ） 100 600-(x-2) 100 300 x P 1211211213xE =121 (400-100 x+800-100 x+300 x-400)+300 x 1213x=350(x2-19x).当 x=9 或 x=10 时， E最大，即月平均收益最大。月初购进9 台或 10 台电冰箱才能使月平均收益最大。4 （典型例题）一接等中心有A、B、C、D 四部热线电话，已知某一时刻电话A 、B 占线的概率为0.5 ，电话
20、C、D战线的概率为0.4 ，各部电话是否占线相互之间没有影响，假设该时刻有部电话占线，试求随机变量 的概率分布和它的期望。 考 场 错 解 由 已 知 得 ， 的 取 值 为0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4。 且P（ =0 ） =0.52 0.62=0.09,P(=1)=0.52 0.62+0.52 0.4 0.6=0.15,P(=2)=0.52 0.62+0.52 0.4 0.6+0.52 0.42=0.23,P(=4)=0.52 0.42=0.04,P( =3)1-0.09-0.15-0.23-0.04=0.49. E=1 0.15+2 0.23+4 0.04+3 0.49=2.4 专家
21、把脉 P （=1） ，P （ =2） ， P（ =3）的计算有错误。P（=1）表示一部电话占线的概率，它有两种情况：（1）A 、B当中有一部占线，C、D都不占线；（2）A、B都不占线， C、D当中有一部占线，而对于（1） ，A 、B当中有一部占线应为两次独立重复试验发生一次的概率，（1）的概率应为C12 0.520.62; 同理（ 2）的概率应为C120.52 0.4 0.6. P(=1)=C1+ 0.52 0.62+C12 0.52 0.4 0.6=0.3.同理可求P（=2） ，P （ =3） 。 对症下药 由题意知 的取值为0，1，2，3，4，它们的概率分别是：P（=0）=0.52 0.6
22、2=0.09, P(=1)=C12 0.52 0.62+C12 0.52 0.4 0.6=0.3, P(=2)=0.52 0.62+C12C12 0.52 0.4 0.6+0.52 0.42=0.37, P(=3)=C12 0.52 0.4 0.6+C12 0.52 0.42=0.2, P(=4)=0.52 0.42=0.04 。的概率分布如下：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 15 页学习必备欢迎下载0 1 2 3 4 P 009 03 037 02 004 E =00.09+1 0.3+2 0.37+3 0.2+4 0
23、.04=1.8. 5 （典型例题）某城市有甲、乙、丙3 个旅游景点，一位客人浏览这三个景点的概率分别为0.4,0.5,0.6,且客人是否浏览哪个景点互不影响，设表示客人离开该城市时浏览的景点数与没有浏览的景点数之差的绝对值。（1）求 的分布及数学期望；（2）记“函数f(x)=x2-3 x+1, 在区间 2 ，+ 上单调递增”为事件A，求事件A的概率。 考场错解 （1）的取值为1， 3，=3 表示客人浏览了3 个景点， P(=3)=0.4 0.5 0.6=0.12. P（ =1）=1-0.12=0.88,E=0.36+0.88=1.24. 专家把脉 =3 表示的事件应为两个互斥事件，而错解中的=
24、3 表示一个事件，所以错误，这是很容易出现的错误，所以在做概率分布的题目时，特别应分析随机变量取某个值，对应哪些事件。 对症下药 （1）客人浏览的景点数的可能取值为0，1，2，3，相应地，客人没有浏览的景点数的可能取值为 3，2，1，0，所以 的取值为1，3.P（=3）=0.4 0.5 0.6+0.6 0.5 0.4=0.24,P(=1)=1-0.24, E =10.76+3 0.24=1.48. (2) 当 =1 时，函数f(x)=x2-3x+1 在区间上单调递增；当=2 时，函数f(x)=x2-9x+1 在区间 2 ，+ 上不单调递增。P（A）=P（ =1）=0.76 。考场思维训练1某商
25、店搞促销活动规则如下：木箱内放有5 枚白棋子和5 枚黑棋子，顾客从中一次性任意取出5 枚棋子，如果取出的5 枚棋子中恰有5 枚白棋子或4 枚白棋子或3 枚白棋子，则有奖品，奖励办法如下表：取出的棋子奖品5 枚白棋子价值 50 元的商品4 枚白棋子价值 30 元的商品3 枚白棋子价值 10 元的商品如果取出的不是上述三种情况，则顾客需用50 元购买商品。（1）求获得价值50 元的商品的概率；答案：解：（1）依题意，基本事件总数为510C，而取到5 枚白棋子的可能只有一种. 获得价值50 元的商品的概率为.25211510C（2）求获得奖品的概率；答案：获得奖品有三种情况：摸到5 枚白棋子，概率为
26、.2521；摸到4 枚白棋子、 1 枚黑棋子，概率为;252255101545CCC摸到3 枚白棋子， 2 枚黑棋子，概率为,2521005101535CCC由于互斥，所以获得奖品的概率为P=.2521+.2125210025225（3）如果顾客所买商品成本价为10 元，假设有10000 人次参加这项促销活动，同商家可以获得的利润大约是多少（精确到元） 。答案：设商家在某顾客处获得的利润为随机变量，则 的取值为： -50 ，-30 ，-10 ，40，它们所对应的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 15 页学习必备欢迎下载概率
27、分别为2521，25225，252100，21. 的分布列如下所示：-50 -30 -10 40 P 2521252125210021E =-522521+(-30) 2521+(-10) 252100+4021=790. 10000 人参加这项促销活动，则商家可以获得的利润大约为790 10000=128571元.2A、B两地之间有6 条网线并联，它们能通过的信息量分别为：1，1，2， 2，3， 3 ，现从中任取三条网线，设可通过的信息量为x，当可通过的信息量x6 时，则保证信息畅通。（1）求线路信息畅通的概率；答案：解：（1）线路信息畅通包括三种情况，且它们彼此互斥：x=6; x=7; x
28、=8. 由已知 P（x=6）= .101)8(,51)7(,52361236121236121212CCxpCCCxpCCCC线路信息畅通的概率P=.1071015152（2）求任取三条网线所通过信息量的数学期望。答案：任取三条网线所通过的信息量为随机变量x，且 x 的取值为： 4，5，6，7，8。它们所对应的概率分别为xCCCC,101,51,52,1022,10136123612的分布列如下：x 4 5 6 7 8 P 101515251101Ex=4101+551+652+751+8101=6. 任取三条网线所通过信息量的数学期望为6。3袋中放2 个白球和3 个黑球，每次从中取一个球，直
29、到取到白球为止，若每次取出的球不再放回去，求取球次数 的概率分布及数学期望。答案：解：袋中放2 个白球和3 个黑球，每次从中取一球，直至取到白球为止，取球次数的取值为1，2，3，4，它们所对应的概率分别为P（=1）=52，P（=2）,1034253P（ =3）=4253)4(,5132P=4253.101131故的分布列为：1 2 3 4 p 5210351101E =152+2103+351+4101=2.专家会诊离散型随机变量的分布列，期望与方差是概率统计的重点内容，对离散型随机变量及分布列，期望与方差的概念的关键。 求离散型随机变量的分布列的步骤是：（1）根据问题实际找出随机变量的所有可
30、能值xi;（2）求出各个取值的概率P（=xi）=Pi;(3) 画表填入相应数字，其中随机变量的取值很容易出现错误，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 15 页学习必备欢迎下载解题时应认真推敲，对于概率通常利用所有概率之和是否等于1 来进行检验。期望与方差的计算公式尤其是方差的计算公式较为复杂，要在理解的基础上进行记忆。命题角度 3 统计1 （典型例题）样本总体中有100 个个体，随机编号为0，1，2，99，依编号顺序平均分成10 个小组，组号依次为1，2，3， 10，现用系统抽样方法抽取一个容量为10 的样本，规定如果在第一
31、组抽取的号码为 m那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m+k的个位数字相同，若m=6 ，则在第7 组中抽取的号码是_. 考场错解 由于 m=6 ，k=7， m+k=13 ，它的个位数字是3，在经 7 组中抽取的号码是73。或这样解答：由于第一组抽取的为6 号，则第二组抽取的为16 号，第7 组抽取的为66 号。 专家把脉 答案为 73 的错因是：第7 组中个体的号码错误，第7 组应为 61，62， 69。答案为66 的错因是：死套课本上介绍的方法不管问题实际。 对症下药 m=6 ，k=7， m+k=13,它的个位为3，依题意第7 组的号码为61，62， 69。第 7 组抽取的号码应为63。2
32、（典型例题）某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50 名学生得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用图 13-1 所示的条形图表示，根据条形图可得这 50 名学生这一天平均每人的课外阅读时间为（）A06 B 09 C10 D15 考场错解 由图可以盾出用时间为05 的人数最多，选A。 专家把脉 对条形图理解错误，实际上条形图应是一个离散型随机变量的期望的问题。 对症下药 设每人阅读的时间为，则 =0,0.5,1.0,1.5,2.0.且 P（=0）=101，P（=0.5 ）=52,P( =1.0)=51,P( =1.5)=51,P( =2.0)=101. E=09 .05050
33、.250105 .150100 .150205 .0505. 这 50 名学生这一天平均每人的课外阅读时间为0.9 小时。选B。3 （典型例题）若随机变量、都服从正态分布，并且N （ 3，2） ，=23，则随机变量 的期望是_。 考场错解 N （ 3，2） ， =3，2=2，=,2E =3，又 =23， E=（23）=21（E-3）=0。的期望为0。4 （典型例题）设随机变量服从正态分布N （0，1） ，记 （x）=P(x), 则下列结论不正确的是（）A （0）21B （x）=1- (-x) CP(| |0) DP(| |a)=1- (a)(a0) 精选学习资料 - - - - - - - -
34、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 15 页学习必备欢迎下载 考场错解 由于 （a）可能小于21，即 2（a）-1 可能小于 0，选 C。 专家把脉 对正态分布不熟悉导致错误，实际上（ a）(0)=21. 对症下药 由玤态函数的图像知；（0）=21， （x） =1- (-x),P(|a)=P(-aa)=P( a)+P( Ac), 则 c 等于A0 B6 C- D答案： D 解析：由正态分布的知识知：C应为正态函数的对称轴，C=，选 D. 3 从某社区家庭中按分层抽样的方法，抽取100 户高、中、低收入家庭调查社会购买力的某项指标，若抽出的家庭中有56 户中等收入户和1
35、9 户低收入户，已知该社区高收入家庭有125 户，则该社区家庭总户数为_. 答案： 3.500 解析：分层抽样是按比例抽取，而高收入家庭有125 户，抽取了100-（56+19）=25 户，所以抽取的比例为51，中等收入家庭有280 户，低收入家庭有95 户，该社区家庭总户数为280+95+125=500. 专家会诊对抽样方法，总体分布的估计，正态分布及线性回归近几年高考要求都不高，有的尚未考查，但作为新的知识点，高考也不会完全放弃，所以平时学习应以基础知识为主，重点学习抽样方法，正态分布的基础知识。抽样方法主要是概念的理解，正态分布主要是图像的性质。探究开放题预测预测角度 1 与比赛有关的概
36、率问题1甲、乙两个围棋队各5 名队员按事先排好的顺序进行擂台赛，双方1 号队员选赛，负者被淘汰，然后负方的 2 号队员再与对方的获胜队员再赛，负者又被淘汰，一直这样进行下去，直到有一方队员全被淘汰时， 另一方获胜。 假设每个队员实力相当，则甲方有 4名队员被淘汰且最后占胜乙方的概率是_。 解题思路 假设第一个被淘汰的队员站在第一个位置，第二个被淘汰的队员站在第二个位置，依此类推，最后获胜队员站在第十个位置，考虑双方队员的位置可得解。 解答 基本事件总数为：从10 个位置中选5 个位置给甲方队员，剩下5 个给乙方队员，基本事件总数为 C510，依题意甲方有4 名队员被淘汰且最后战胜乙方就是说甲方
37、前4 个人应排在前8 个位置中的4 个，原因是第9应是乙方的第5人， 第 10 应是甲方的第5 人，事件包含的可能有C48，且每种可能等可能性。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 15 页学习必备欢迎下载所求事件的概率为.18510584CC2某种比赛的规则是5 局 3 胜制，甲、乙两人在比赛中获胜的概率分别是3132和。（1）若有 3 局中乙以2： 1领先，求乙获胜的概率；（2）若胜一局得2分，负一局得分，求甲得分的数学期望。 解题思路 乙获胜的可能有两种： （1）3：1，乙只需用胜第4 场即可；（2）3： 2，乙需第 4
38、 场失败，第5场获胜，第（2）问先分析 的取值，注意在计算各种情况的得分时要将正分加上负分。 解答 （1）依题意，前三局乙以2：1 领先，乙获用的可能有两种：（1）乙在第4 局获胜，概率为31；（2）乙在第4 局失败，在第5 局获胜，概率为,923132而这两种情况互斥，乙获胜的概率为.959231（2）将甲获胜的场数写在前面，则比赛结果有以下几种：（1）0：3； （2）1：3； （3）2：3； （4）3：0； （5）3：1； （6）3：2。（1）中 =-3， （2）中 =-1， （3）中 =1， （4）中 =6， ） （5）中 =5， （6）中 =4。 的取值为 -3 ，-1 ，1，4，5，
39、6。 P（=-3）=271)31(3P（ =-1）=C13272)31(322，P（ =1）=C24,818)31()32(32P（=4）=C24 8116)32()31(32， P （=5）=C13278)32(313， P（=6）=.278)32(3的分布列如下所示：-3 -1 1 4 5 6 P 2712728188116278278E =-3271+（-1）272+1818+48116+5278+6278。甲得分 的数学期望为.27107预测角度 2 以概率与统计为背景的数列题1从原点出发的某质点M ，按向量 a=(0,1) 移动的概率为32，按向量b=（0，2）移动的概率为31，设
40、M到达点（ 0，n）的概率为Pn, 求 Pn 解题思路 引进数列 Pn ，再根据题意，找到递推关系，再求Pn，注意 Pn的实际意义，M到达点（ 0，n）的概率为Pn，那么到达（ 0，n-1 ）的概率为Pn-1。 解答 依题意， M 到达点（ 0，n）有两种情形： （1）从点（ 0，n-1 ）按向量a=(0,1) 移动到点（ 0，n） ，由于 M到达点（ 0，n-1 ）的概率为Pn-1, 按 a=(0,1) 移动的概率为32。这种情形的概率为132nP； （2）从点（0， n-2 ）按向量b=(0,2) 移动到点（ 0， n） ，依（ 1）同样想法，得这种情形的概率为.312nP由于（1）、（2
41、）两种情形互斥。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 15 页学习必备欢迎下载Pn=.97313232,32),3)(31).3(31322121121PPnPPPPnPPnnnnnn又易得Pn-Pn-1 是以 P2-P1=91为首项， -31为公比的等比数列，于是Pn-Pn-1=91 （-31）n-2=(-31)n(n 2). Pn=P1+(P2-P1)+(P3-P2)+(Pn-Pn-1)=.)31(4143)31(112132)31(1)31(1 )31(32)31()31()31(3211232nnnn质点能达（0，n
42、）的概率为.)31(4143n2一个口袋中放有若干个球，每一球上标有1 至 n 中某一个整数，设标有数k 的球有 k 个，现从中任取一球。 为取的球上所标数字，求的期望与方差。 解题思路 先求 的分布列，再利用数列求和的知识求E和 D。 解答 依题意袋中共有球1+2+ +n=2) 1(nn个。 由于标有数字k 的球有 k 个， P （ =k） =,) 1(22)1(nnknnk的分布列如下所示1 2 k n P ) 1(2nn)1(4nn) 1(2nnk12nE =).2(181)312(2) 1()(.2) 1()21() 1(2) 1(2)1(2.3126)12)(1() 1(2)21()
43、 1(2) 1(2) 1(2)1(42) 1(2122223332222222nnnnnEEDnnnnnnnnnnnkknnnnnnnnnnnnnnknnnn预测角度 3 利用期望与方差解决实际问题1四位母亲带领自己的孩子参加电视台“我爱妈妈”综艺节目，其中有一环节，先把四位小孩的眼睛蒙上，然后四位母亲分开站，而且站眘不许动、不许出声，最后让蒙上眼睛的小朋友找自己的妈妈，一位母亲的身边只许站一位小朋友，站对一对后亮起两盏红灯，站错不亮灯，求所亮灯数的期望值。 解题思路 先求灯数的分布列，再求期望。 解答 设所亮灯数为 ，则 的取值为 0，2，4，8，且 P （ =0）=,83441313ACC
44、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 15 页学习必备欢迎下载P（ =2）=,31441214ACCP（ =4）=,414442ACP（ =8）=.241144A亮灯数 的分布列如下：0 2 4 8 P 833141241E =.22418414312830（注意： 不可能等于6，因为有3 人站对后，第4 人一定站对） 。2某商场根据天气预报来决定节目节日在商场内还有在商场外开展促销活动，统计资料表明，每一年五一节商场内的促销活动可获得经济效益2.5 万元，商场外的促销活动如果不遇害到有雨天可获得经济效益12 万元，如果促销
45、活动遇到雨天则带来经济损失5 万元，4 月 30 日气象台报五一节当地有雨的概率是40% ，问商场应该采用哪种促销方式？ 解题思路 计算出商场外的促销活动可获得经济效益的期望值，将这个值与2.5 万元比较。 解答 设五一节商场外促销收益为（万元），则依题意， 的分布列如下：12 -5 P 06 0 4 E =120.6+(-0.4 5)=5.2万元，又5.22.5, 商场应采用在商场外的促销活动。考点高分解题综合训练1 一个盒子里装有相同大小的黑球10 个，红球12 个，白球4 个，从中任取两个，其中白球的个数记为，则下列算式中等于22622214122CCCC的是（）AP（02） BP( 1
46、) CE DD B 解析： P（1）=P（=0）+P（=1）=.2262221412222614122226222CCCCCCCCC选 B. 2 袋中有红、黄、绿色球各1 个，每次任取一球，又放回地抽取三次，球颜色全不相同的概率是（）272.92.91.271.DCBA答案： C 解析：基本事件总数为33=27，而球颜色全不相同的可能有33A种，所求概率为.,923333CA选3 在独立重复的射击试验中，某射手击中目标的概率为0.4 ，则他在射击时击中目标所需要的射击次数的数学期望，方差分别为（ ） A25，4 B2.5,3.75 C0.24,3.75 D25,37.5 精选学习资料 - -
47、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 15 页学习必备欢迎下载答案： B 解析：依题意他射击中目标所需要的射击次数服从几何分布，P=0.4,q=1-P=0.6, E=BDP选,75.3pq, 5. 24.01124 袋中有红球3 个，白球3 个，任抽取一球确认颜色后放入袋中，最多可以取3 次，但是取到红球后就不能再取了，若每取一次可以得到10 元，那么可得金额的期望值为（） A 30 元 B20 元C 175 元 D13.75 元答 案 ：C 解 析 ： 依 题 意 摸 球 次 数 的 取 值 为1 ， 2 ， 3 ， 且P （ =1 ）=可,4
48、7413412211,4141211)3(,412121EP得金额的期望值为470=17.5 元. 5 若 N （2，2） ，且 P（24） =0.4, 则 P(0) 的值为 _. 答案： 0.1 解析：由正态分布的密度函数图像的意义及其对称性知P （4)= 211-P(0 4)= 211-2P(2 4)= 21(1-2 0.4)=0.1, 填 0.16 甲、乙二人各拿两骰子做抛掷游戏，规则如下：若掷出的点数之和为3 的倍数，该掷骰子的人再继续掷；若掷出的点数之和不是3 的倍数时，就由对方接着掷，第一次由A掷，若第n 次由 A掷的概率为Pn, 则 Pn=_. 答案：21+ 21 (-31)n-
49、1 解析：第 n 次由 A掷的概率为P ，则第 n 次由 B搓的概率为1-Pn则第 n+1次由 A掷的可能有两种： （1）第 n 次由 A掷，掷出的点数和为3 倍数，第n+1次由 A掷，概率为;31nP（2）第 n 次 B掷，掷出的点数和不为3 的倍数，第n+1 次由 A掷，概率为32（1-Pn） , 由于上面两种情况互斥，Pn+1=1,)31()21(),21(3121,3231)1 (3231111PPPnPPPPPnnnnnn又Pn=.)31(21211n7 某电路图如图13-2 所示，在某段时间内，开关A、B、C、D能合（接通）的概率为P，且互不影响，计算这段时间内电灯不亮的概率。答案
50、：解析：先求电灯亮的概率，电灯亮包括以下几种情形：（ 1） ADBC； （2）ABCD； （ 3）ABCD.(其中D 表示D 能合，D表示D 不能合 ) 。且三种情形互斥。P(ADBC)=P(A) P(D) 1-P(B)P(C)=P P(1-P2)P(ABCD)=P(A) P(B) P(C) (1-P(D)=P P P(1-P),P(ABCD)=P4, 灯亮的概率为P2+P3-P4。灯不亮的概率为1-P2+P4-P38 美国 DBA总决赛采用七局四胜制，预计20XX年比赛，两队实力相当，且每场比赛组织者可获得200 万美元，问：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -