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1、学习必备欢迎下载关于三角形的“四心”与平面向量的结合关键字 高中 |数学 |平面向量 |内心 |外心 |重心 |垂心内容摘要 每年全国各地高考试卷中,都有不少习题与三角形的“四心”有关，学生在解决这些问题时错误率较高，甚至是无从下手.笔者搜集了部分资料，结合本人积累的一些高三知识，就高中新课标向量的相关知识进行阐述，对有关三角形的“四心”的相关知识进行复习 . 特别体现出它们之间的结合, 不当疏漏之处 , 恳请读者批评指正. 一、基础知识复习1. 定义：我们把三角形三个内角的角平分线的交点叫做三角形的内心, 即三角形内切圆圆心 ; 三角形三条边上的中垂线的交点叫做三角形的外心 , 即三角形外接
2、圆圆心 ; 三角形三条边上的中线的交点叫做三角形的重心 ; 三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心. 我们将三角形的“内心” 、 “外心” 、 “重心” 、 “垂心”合称为三角形的 “四心”. 2. 应用: 三角形的内心到三角形三边的距离相等; 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等; 三角形的重心到三角形的顶点的距离是相应中线长的三分之二; 三角形的垂心与顶点的连线垂直于该顶点的对边. 3. 注意点 : 三角形的“四心”与平面向量知识的结合. 二、典型例题分析 例 已知点G是ABC内任意一点 , 点M是ABC所在平面内一点 . 试根据下列条件判断G点可能通过ABC的_心.( 填“内心”或“外心
3、”或“重心”或“垂心”). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页学习必备欢迎下载 提出问题 (1) 若存在常数, 满足()(0)ABACMGMAABAC, 则点G可能通过ABC的_. (2) 若点D是ABC的底边BC上的中点 , 满足GD GBGD GC, 则点G可能通过ABC的_.(3) 若存在常数, 满足()(0)sinsinABACMGMAABBACC, 则点G可能通过ABC的_.(4) 若存在常数, 满足()(0)coscosABACMGMAABBACC, 则点G可能通过ABC的_. 思路分析 以上四个问题的解
4、决要求不同, 除了熟悉三角形的“四心”的性质 , 同时更要熟悉平面向量的性质, 对于平面向量与三角函数的结合也要相当熟悉 . 解答过程 (1) 记12,ABACeeABAC,则12()AGee. 由平面向量的平行四边形或三角形法则知 , 点G是角平分线上的点 ,故应填内心 . (2) 简单的变形后发现点G是BC边中垂线上的点 , 故应填外心 . (3)sinsin,ABBACC记sinsinABBACCh, 则()()AGABACh. 由平面向量的平行四边形或三角形法则知,点G是BC边的中线上的点 , 故应填重心 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
5、- - - -第 2 页，共 4 页学习必备欢迎下载(4) 分析后发现 , 本题学生难以找到解决问题的突破口, 主要在于平面向量的数量积的充分利用.由()(0)coscosABACMGMAABBACC, 得()(0)coscosABACAGABBACC, (关键点 ) ()(0)coscosABACAG BCBCABBACC于是()(0)coscos)()0AB BCAC BCAG BCABBACCBCBBCBBCBC（cos(-cos ）=. 从而AGBC, 点G是高线上的点 , 故应填垂心 . 教师点评 以上四个问题处理的方法各不相同, 注意到平面向量及三角形的“四心”的性质在解答问题时的
6、作用. 特别注意第四问两边同乘以某个表达式的技巧 . 三、综合运用 提出问题 若 O 点是ABC的外心, H 点是ABC的垂心, 且()OHm OAOBOC, 求实数 m 的值. 思路分析 许多学生在解答此类题时，只能用特殊值的方法解决.要求学生能够充分利用本节提到的一些基础知识及相关性质解题. 解答过程 由()OHm OAOBOC, 得()OHOAm OAOBOCOA, 于是(1)()HAmOAm OBOC, 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页学习必备欢迎下载(关键点 ) (1)()HA BCmOA BCm OBO
7、CBC即(1)() ()HA BCmOA BCm OBOCOCOB, 由题意, 知0HA BC, 及() ()0OBOCOCOB, 从而(1)0mOA BC, 其中0OA BC, 因此10,1mm即. 教师点评 请读者特别注意解题中的关键点, 解这类问题时的技巧也应熟练掌握 . 举一反三 通过上述例题及解答, 我们可以总结出关于三角形“四心”的向量表达式 . 若P点为ABC内任意一点，若P点满足 : 1(),0()0ABACAPABACPABCBABCBPttBABC为的内心，; 2.DE、两点分别是ABC的边BCCA、上的中点 , 且DP PBDP PCPABCEP PCEP PA为的外心; 3. 1(),31()3APABACPABCBPBABC为的重心，; 4. 00AP BCPABCBP AC为的垂心. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页