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1、1/5 共 5 页浙江大学 20 11 -20 12 学年 秋冬 学期 数学分析（ ）课程期末考试试卷（A）课程号： 061Z0010 ，开课学院： _理学部 _ 考试形式：闭卷，允许带 _笔_入场考试日期： 2012 年 1 月 11 日，考试时间： 120 分钟. 考生姓名：学号：所属院系： _ 题序一二三四五六总 分得分评卷人一、0251lim( )lim3.1xxxxf xAx叙述 “”的定义并用 “”语言证明（6分）00002( )()00013214( )( ).lim( ).0min100251251322.lim3.111xxxf xU xAxxxxxxxxf xAf xxxx
2、AfxxxAo设在内有定义，如果存在常数，对，当时，不妨令，则：对，当，有；则称在处有极限，记作：因此二、计算下列极限：（每题 6 分，共 18 分）1.21limcos.xxx21211cos12cos101limcoslim 1(cos1).xuxuuuxuuex令2.200arctanlimarcsinxxtdtxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页2/5 共 5 页22230003330003322200arctanarctanarctanlimlimlimarcsin()()662 arctan26 lim
3、6 lim4.33xxxxxxxxtdttdttdtxxxxxxxo xxo xxxxxx3.tan0.xxnxeexn设当时，与为等价无穷小量，求：常数、的值tantan3330000(1)tan1limlimlimlim1313.3xxxxxnnnnxxxxeee exxxxxxxxxn，因此，三、导数及应用：（每题 7 分，共 21分）1.1arctan.12xyxx设，求：该曲线在处的切线方程2121111(1)2(1)1211111.242xyxxxxxxxyxyx，则：故，在处的切线方程为2.222024cos( ).sintxu dudyd yyy xdxdxyt设函数是由参数方
4、程所确定，求：，342242444 cos42(1)2 . (2).2 cos2 coscosdydydyttd ytdtdttdxdxdxttdxtttdtdt3.2(2012)0(2 ).xxyxx ey设，计算：(2012)2(2012)12(2011)22(2010)2012201220122201120102(2012)0(2 )()(2 ) ()(2 ) ()( 1)(2 )( 1)2012(22)( 1)2012 2011(2 )2012(22)20122011.=20122xxxxxxxxxxyxx eCxxeCxxexx exeexx exeey因此，013=4050156.
5、四、计算下列积分：（每题 7分，共 28分）1.ln(1)xxdx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页3/5 共 5 页222222111ln(1)ln(1)ln(1)2221111ln(1)1221111ln(1)(1)ln(1).242xxxdxxdxxxdxxxxxdxxxxxxC2.620(21) 6.xxx dx662200332233(21) 6(21) 9(3)(3)63(27) 979.2xxx dxxxdxxuuu duu du令3.10.1xxdxx22222tan14222200021242200
6、02(1).11(1)2=2sin11(1)3 132.4 228(2)sin2sincos.3sintan2sincos2sin.18utxuuuxdxduxuuxuuxdxudutdtxuuxudxuuduxxdxuuuuduudux令：，则：，则：令：，则：则：4.2110( )( ).xtf xedtf x dx设，计算：22111111000001( )( )( ).22xxeef x dxxf xxfx dxxedx五、:1.CyxlClxD从原点引曲线的切线 ，曲线、切线 及 轴所围平面图形为(1)(2)2.DDx计算：的面积；绕直线旋转一周所得立体的体积（9 分）精选学习资料
7、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页4/5 共 5 页2132222111122 2001(1)(21).211(2)2 11.23144(3)212(2)121(1).335444(2)(1).335lyxADSxdxVxxdxxxdxVxdyydy切线 的方程为，切点，的面积或：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页5/5 共 5 页六、证明题：（每题 6分，共 18分）1.113lim11().41nnnnnxxxnNxx设存在并计算，证明：其极限，21
8、121111311(1)( )( )0.( ).41(41)11111(2).1()( ).22222(3).2()().3.(4nnnnnnnnnnnnnxf xfxf xxxxxxxfxfxxxxxxf xfxxxx【方法一】：令，则：则：单调递增下面证明：显然；假设，则：下面证明：单调递减，假设，则：由此可得，单调递减且有下界，因此，数列收敛11121113111)lim.lim.41221(1).21113112110.2224122(41)11.222(2).3nnnnnnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxnNxxxxxxxxxxxxxxxx?设，则：故，【方法二】：数列有下界
9、：对，；假设，则：因此，即：数列有下界数列单调递减，假设，则：111131310.4141(41)(41)(3)(1) (2).3111lim.lim.4122nnnnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxx因此，单调递减由、可得，数列单调递减有下界，因此，收敛令：，则：故，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页6/5 共 5 页2.( ).( )( )f xIf xag x叙述函数在区间上一致连续的定义设在，上一致连续，)lim( )( )0.( ).xaf xg xg xa在，上连续，且证明：在
10、，上一致连续(1)00()()( ).li(2)( )00()().300.m( )( )0( )(300)xxxIxxff xaxf xf xIf xg xf xg xxxf xf xGxGxx由于在，内一致连续，则对，当时，由于对，当时，则：对，对，当 、，且时，当，则称在区间 上一致连续，、1)()()()()()()()()()()()()()().( )1).( )1( ).Gxxg xg xg xf xf xf xf xg xg xf xf xf xf xg xg xGg xaGg xa，且时，因此，在，内一致连续而，在 ，上一致连续，因此，在，内一致连续3.2240( )0 2(0 2)( )2 (2).xf xef x dxf设在 ，上连续，在，内可导，且(0 2)( )2( ).ff证明：，使得2222242(1)( )( )( )( )2( ) .(2)(0 2)2( )2 (2)( )(2).( )(2).(3)( )2(2)(2)(0 2)( )0.( )2( ).xxF xef xFxefxxf xeffefefFFF xRolleFff令：，则：根据积分中值定理， 使得，即：又在，上连续，在，内可导，根据定理，使得即：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页