2022年近世代数题库 .pdf

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1、1 群一、填空题1. 设4)(xxf是复数集到复数集的一个映射, 则) 1(1f=_. 2. 设=(134),=(13)(24), 则=_. 3. 群G的元素 a的阶是 m ，b的阶是 n，baab，则 ab，如果),(mn = 1 ，则 ab _. 4. 设是任意一个循环群. 假设 | a |=，则 与_ 同构；假设| a|=n ，则与_ 同构. 5. 设=14 235 ，=153 24 ，则| = _ ，1 =_. 6. 设群G的阶为 m，Ga，则ma . 7. 设“”是集合A的一个关系，如果“”满足_ ，则称“”是A的元素间的一个等价关系 . 8. 设 (23)(35) ，(1243)(

2、235) S5，那么 _(表示成假设干个没有公共数字的循环置换之积) ，是 (奇、偶 ) 置换. 9. 设群G中元素 a的阶为 m，如果ean，那么 m与 n存在整除关系为 . 10. 一个群G的非空子集H做成一个子群的充分必要条件是 . 11. 设G为群，假设对于任意的元Gba,，都有baab，则称群G为群. 12. n次对称群nS 的阶是 _. 13.设G=是10 阶 循 环 群 ， 则G的 全 部 生 成 元 有，G的 子群 有个 ， 分 别 是 . 14. 设H是 群G的 子 群 ，Gba,，则HbHa . 15. 设G=是 循 环 群 ， 则G与 整 数 加 群 同 构 的 充 要

3、条 件 是 . 16 在 3 次对称群3S 中，H(1),(123),(132)是3S 的一个正规子群， 则商群HS3中的元素 (12)H. 17如果f是A与A间的一一映射， a是A的一个元，则aff1 . 18. 设 集 合A有 一 个 分 类 ， 其 中iA 与jA 是A的 两 个 类 ， 如 果jiAA， 那 么jiAA . 19. 凯莱定理说：任一个群都与一个同构. 20. 设G=是 12阶循环群 , 则G的生成元集合为. 21. 一个群G的一个子群H的右陪集或左陪集的个数叫做H在G中的 . 22. 设G是一个pq阶群，其中qp,是素数，则G的子群的一切可能的阶数是 _ . 23. 写

4、出 S3的一个非平凡的正规子群_. 24. 已知群G中的元素 a的阶等于 50，则4a的阶等于 . 25. 一个有限非可换群至少含有_ 个元素 . 26. 设G是p阶群p是素数 ，则G的生成元有 _ 个. 27. 一个有限群中元素的个数叫做这个群的 . 28. 设R是 实 数 集 ， 规 定R的 一 个 代 数 运 算abba2:， 右 边 的 乘 法 是 普通 乘 法 ， 就 结 合 律 、 交 换 律 而 言 ， “” 适 合 如 下 运 算 律 ： . 29. 设H是群G的子群，Gba,，则bHaH . 30. 写出三次对称群3S 的子群13,1H的一切左陪集 . 31. 如果G是一个含

5、有 15 个元素的群，那么，G有个 5 阶子群，对于aG，则元素 a的阶只可能是 _. 32. 设G是 一 个pq阶 群 ，其 中qp,都 是 素 数 ，则G的 真 子 群 的 一 切 可 能的 阶数 是，G的子 群 的 一 切 可 能 的 阶 数 是 . 33. 已知群G中的元素a的阶等于 n，则ka的阶等于 n的充分必要条件是 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页2 34. 设(G， ) 是一个群，那么对于ba,G，(ab)1_. 35. 群中元素 a的阶为n3，ka的阶为 n，则)3,(nk= .36假设一

6、个群G的每一个元都是G的某一个固定元a的方幂，则G称为 . 375-循环置换)31425(，那么1 . 38设G为群，GN，且对于任意的Ga，有，则N叫做G的正规子群. 39. 设G为乘群，Ga，则能够使得eam的最小正整数 m，叫做 a的_. 设G为加群，Ga，则能够使得的最小正整数 m，叫做a的阶. 40设 (1243)(235)5S ，那么1_ _.是(奇、偶 )置换. 41. 设是集合A的元间的一个等价关系，它决定A的一个分类：则 a所在的等价类a= . 42. 设A=dcba, ，则A到A的映射共有_个，A到A的一一映射共有_个，AA到A的映射共有 _个A上可以定义个代数运算 . 4

7、3. 设G是 6 阶循环群，则G的生成元有 _ 个. 44. 非零复数乘群C中由i生成的子群是 _. 45. )125(，)246(，则的阶数等于 . 46素数阶群G的非平凡子群个数等于 _. 47. 设G是一个 n阶交换群， a是G的一个 m nm阶元，则商群aG的阶等于 . 48. 设是集合A到集合B的一个映射, 则存在B到A的映射, 使A1为 ; 存在B到A的映射, 使B1为 . 49. 假设群G中的每个元素的阶都有限 , 则称G为群. 假设群G中除了单位元外 ,其余元素的阶都无限 , 则称G为群. 50. n阶循环群有个生成元 , 有且仅有个子群 . 51. 假设nk, 则 n阶循环群

8、aG必有k阶子群 , 其k阶子群为 . 52. 在同构意义下 ,4 阶群只有两个 , 一个是 4 阶循环群 , 另一个是 . 53. 在同构意义下 ,6 阶群只有两个 , 一个是 6 阶循环群 , 另一个是 . 54. 非交换群G的每个子群都是其正规子群, 则称G为群. 55. n元置换)(21kii i的阶为，12121)(mkjjjii i . 二、选择题1. 设RBA ( 实数集 ) ，如果A到B的映射Rxxx, 2:, 则是从A到B的. A) 满射而非单射 ; B) 单射而非满射 ;C) 一一映射 ; D) 既非单射也非满射 . 2.3S 中可以与 (123) 交换的所有元素有. A)

9、 (1),(123),(132); B) (12),(13),(23); C) (1),(123); D)3S 中的所有元素 . 3. 设15Z是以 15 为模的剩余类加群，那么15Z的子群共有个. A) 2 B) 4 C) 6 D) 8. 4. 设cba,和 x都是群G中的元素且xacacxbxcax,12，那么 x. A) 11abc B) 11ac C) 11bca D) cab1. 5. 设f是复数集到复数集的一个映射. 如果对任意的复数x ，有4)(xxf，则)1(1ff=( ). A) 1 ，-1; B) i，-i; C) 1， -1 ，i，-i; D) 空集. 6. 设A=所有实

10、数 ，A的代数运算是普通乘法， 则以下映射作成A到A的一个子集A的同态满射的是 ( ). A) xx10B) xx2 C) xxD) xx. 7. 设G是实数集，定义乘法kbaba:，这里k为G中固定的常数 , 那么群,G中的单位元 e和元 x的逆元分别是. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页3 A) 1 和x； B) 1和 0； C) -k和kx2； D)k和)2(kx. 8. 下面的集合对于给定的代数运算不能成为群的是( ). A) 全体整数对于普通减法 ; B) 全体不为零的有理数对于普通乘法; C) 全体整

11、数对于普通加法 ; D) 1的 3 次单位根的全体对于普通乘法. 9. 设G是群 ,cba,是群G中的任意三个元素, 则下面阶数可能不相等的元素对为( ). A)baab, B) bacabc, C) 1,baba D) 1,aa. 10. 设R是实数集合 , 规定R的元素间的四个关系如下 ,( )是R的等价关系 . A)baaRb; B) 0abaRb; C) 022baaRb; D) abaRb0. 11.设G是一个半群，则下面的哪一个不是做成群的充要条件( ). A) G中有左单位元，同时G中的每个元素都有左逆元；B) 对于G中任意元素 a和b，G中恰好有一个元素x满足 a x=b；同时

12、G中恰好有一个元素 y 满足 ya=b；C) G中有单位元，同时G中的每个元素都有逆元；D) 在G中两个消去律成立 . 12.设H是群G的子群，且G有左陪集分类cHbHaHH,. 如果子群 H的阶是 6，那么G的阶 G. A) 6 B) 24 C) 10 D) 12 13. 三次对称群3S = (1),(12),(13),(23),(123),(132)，那么下面关于3S 的四个论述中，正确的个数是 ( ). (1) 3S 是交换群； (2) 3S 的 2 阶互异子群有三个； (3) 3S 的 3 阶互异子群有两个；(4) 3S 的元素 (123) 和(132) 生成相同的循环群 . A) 1

13、 B ) 2 C) 3 D) 4 14. 设 Z15是以 15 为模的剩余类加群，那么，Z15的子群共有个。A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 15.指出以下那些运算是二元运算A) 在整数集Z上，abbaba； B) 在有理数集Q上，abba；C) 在正实数集R上，babaln；D) 在集合0nZn上，baba. 16.设是整数集Z上的二元运算，其中baba,max即取 a与b中的最大者，那么 在Z中. A) 不适合交换律； B)适合结合律； C) 存在单位元； D)每个元都有逆元 . 17. 设21:GGf是一个群同态映射，那么以下错误的命题是. A) f的同态核是1G 的不变子群； B

14、) 2G 的不变子群的逆象是1G 的不变子群；C) 1G 的子群的象是2G 的子群； D) 1G 的不变子群的象是2G 的不变子群 . 18. 设GG,是两个带有乘法的非空集合，且GG，则以下结论不正确的选项是( ). A) G是群时，G也是一个群；B) G是群时，G也是一个群；C) G是交换群时，G也是交换群；D) G的单位元的象是G的单位元 . 19. 设A为实数集，B位正实数集，如果A到B的映射xx2:，xA，则是从A到B的. A满射而非单射 ; B) 单射而非满射 ; C) 一一映射 ; D)既非单射也非满射 . 20. 设G是实数集，定义乘法1:baba，那么群,G中的单位元 e和元

15、 x 的逆元分别是. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页4 A) 1 和 1x； B) 1和x2； C) 0和x2； D) -1和1x. 21. 设N是群G的正规子群，且G关于N的商群NG为五阶群 . 如果子群N的阶是 6，那么群G的阶 G. A) 6 B) 36 C) 30 D)25. 22. 设集合A含有 n个元素，那么A的子集共有 ( )个. A) n! B) 2n C) n2D) 2)1(nn . 23. 以下法则， ( )是集合A的代数运算 . A) A=babaN, B) A=2,abbaZC) A=b

16、abaQ, D) A=abaR,. 24. 设S=dcba, S中规定一个代数运算如下表，则S关于所给代数运算作成的代数系统中的单位元和可逆元素分别为( ). A) c，a与b B) c，b与 cC) b， c与d D) a，d与 a . 25. p( 素数)阶有限群的子群个数为 ( ). A) 0 B) 1 C) 2 D) p26. 6 元置换 23 1356的阶数为A) 2 B) 4 C) 5 D) 8 27. M是正有理数集合，以下规定不是M的关系的是A) baaRb是整数； B) 1cadbcdRab4 C) 1baaRb5 D) 0abaRb28. 设集合A含有 n个元素，那么A的代

17、数运算共有 ( )个. A) n! B) 2n C) nnD) 2nn三、判断题1. 设N是正整数集，Nba,规定baaRb，则R是N的元间的一个等价关系. 2. 如果群G中的每个元素都满足方程ex2，则G必是交换群 . 3. 一个非交换群至少要有6 个元素4. 群G的任意个子群的交仍是G的一个子群 . 5. 四次交代群中存在6 阶子群 . 6. 设M是非空集合，则MM到M的每个映射都叫作M上的二元运算 . 7. f是A到A的单射，则f有唯一的逆映射1f. 。abcdadaadbac bdcabcddddda精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

18、 -第 4 页，共 12 页5 8. 如果循环群aG中生成元 a的阶是无限的，则G与整数加群同构 . 9. 如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群 . 10. 群G的子群H是正规子群的充要条件为HHggHhGg1;,. 11. 阶为两个互异素数乘积的交换群一定是循环群12. 集合A的一个关系可以决定A的一个分类13. 有限群G的任一元素的阶整除G的阶14. 整数集按照普通乘法可以构成一个群. 15. 循环群G a中生成元 a的阶是无限的，则G与整数加群同构16. 有限群G的任一子群N的阶都能整除G的阶17. G是一个群，N是G的正规子群，则Ga与N中元素相乘可交换18. 在一个群G中，消去

19、律不一定成立 . 19. 任何一个k循环置换的阶是k. 20. 集合A的一个分类决定A的元间的一个等价关系；反之，集合A的元间的一个等价关系也决定A的一个分类 . 21阶为素数的群一定是循环群，循环群的阶也一定是素数. 22群G的子群H在G中的指数为 2，则H一定是G的正规子群 . 23设为集合A到A的满射，则：假设S是 S的逆象, S一定是S的象; 假设S是S的象，S也一定是 S的逆象 . 24N是群G的正规子群，H是N的正规子群，则H是群G的正规子群 . 25一个群同它的每一个商群同态. 26一个群G的子群H的左陪集个数和右陪集个数不一定相同. 27群G的两个正规子群的交集还是正规子群.

20、28循环群的子群也一定是循环群. 29全体有理数作成的集合对于普通乘法来说做成一个群. 30. 设G为群，它的两个正规子群的交和乘积还是正规子群. 31. 一个循环群一定是一个交换群. 32. 一个群的两个不同的子集一定不会生成相同的子群. 33. 有理数加群与非零有理数乘群同构. 34. 无限循环群可与任何循环群同构. 35. 设是集合X到集合Y的任意一个映射 ,A为X的非空子集 , 则AA)(1. 36. 设是集合X到集合Y的任意一个映射 ,B为Y的非空子集 , 则BB)(1. 37. 设是集合X到集合Y的任意一个映射 ,A，B为X的两个非空子集 , 则)()()()2();()()()1

21、(BABABABA. 38. G为一个群 ,GbGa,为有限阶元 ,baab, 则baab. 39. G为交换群 , 且G中所有元素有最大阶m, 则Gx有exm. 40. G为一个群 , GbGa,为有限阶元 , 则ab为有限阶元 . 41. 在一个有限群里 , 阶大于 2 的元素个数必为偶数 . 42. 偶数阶群必有 2 阶元. 43. 设CBA,是群G的 3 个子群 , 则ACABCBA)(. 44. 设CBA,是群G的 3 个子群 , 则ACABCBA)(. 45. 交换群中所有有限阶元作成一个子群. 46. 群G中所有有限阶元作成一个子群. 47. 任何群都不能是两个真子群的并. 48

22、. 任何群都不能是三个真子群的并. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页6 49. 有限群的元素的阶都有限 . 50. 无限群至少有一个无限阶元. 51. 集合M的变换群G含有M的单射变换 , 则G必为双射变换群 . 52. 集合M的变换群G可能既含有M的双射变换 , 又含有M的非双射变换 . 53. 2M, 集合M的全体非双射变换关于变换的乘法作成一个变换群. 54. 互不同构的 n阶群只有有限个 . 55. 不相连的置换相乘可交换 . 97. 置换)(32121iiiii的阶为63 ,2. 56. 当3n时, n

23、次对称群nS 为无中心群 . 57.G为一个群 ,.,cbaAGH为G关于H的一个左陪集代表系, 则A也是G关于H的一个右陪集代表系 . 58. 设G为一个群 ,GKGH):(),:(KGHG有限，则).:)(:():(KGHGKHG59. 设G为一个有限群 ,eKHGKGH则KHHK. 60.G为 n阶群,nk, 则G必有k阶子群. 61.pq阶(qp,为互异素数 ) 交换群必为循环群 . 62. 设为群G到G 的同态满射 ,Ga与Ga)(有相同的阶 . 63. 设G与 G 各有一个代数运算 , 且GG , G 是群, 则G也是群 . 64. 素数阶群是单群 . 65. 设是群G到群 G 的

24、一个同态映射 ,GH, 则HH )(1. 66. 设是群G到群 G 的一个同态满射 , 则G的含ker的子群与 G 的子群之间存在一一对应关系 . 67. 任意一个无限集合可以与它的一个真子集之间建立一一对应关系. 68. 存在有限集合可以与它的一个真子集之间建立一一对应关系. 69. 两个有限集合之间存在双射的充要条件是它们的元素个数相等. 70. 设G为群，它的两个子群的交和乘积还是子群. 71. 有限群中每个元素的阶都有限，无限群中必有无限阶元. 72. 一个置换群中要么都是偶置换，要么奇偶置换各半. 73. 设GG,是两个群，且GG，如果G是有限群，则G必是有限群，而且G整除 G .

25、74. 整数加群和它的任意一个非零子群同构. 75. 在同构意义下 , 无限循环群只有一个 . 76. 在同构意义下 , n阶循环群只有一个 . 环与域复习题一、填空题1. 模 12 的剩余类环 Z12的特征是 _，它的全部单位为 _. 2. 设R是有单位元的环 , a是R中任一元素 , 则由 a生成的主理想 =_. 3. 模 8 的剩余类环8Z 上的二次多项式12x在8Z 内的所有根为 _. 4. 设R是交换环， a是R的任意一个元素，则由a所生成的主理想 的元素表达形式为_. 5. 设高斯整数环ZbabiaiZ,，其中2i1，则iZ中的所有单位 _. 6. 设 Z65,4,3, 2,1,0

26、 是模 6 的剩余类环，则 Z6中的所有零因子是 _. R是一个有单位元的交换环，I是R的一个理想，那么IR是一个域当且仅当I是 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页7 8. 设R是一个无零因子的环，其特征n是一个有限数，那么n是_. 9. 除环的理想共有 _ 个. 10一个无零因子的称为整环 . 11. 设xZ是整系数多项式环，x是由多项式 x生成的主理想，则x_ _. 12. 设F是 一 含 有 4 个 元 的 域 ， 则F的 特 征 是 . 13. 剩余类环 Z6的子环 S = 0 , 2, 4的单位元是

27、_. 14. 一个环R的一个不等于R的理想U叫做一个，假设除了R同U自己外，没有包含U的理想 . 15. 一个交换除环叫做一个 . 16. 实数域R的全部理想是 . 17. 一个环R的非空子集S做成一个子环的充分必要条件 . 18. 剩余类环 Z7的零因子个数等于 _ _， Z12的零因子个数等于 _. 19. 当R是有单位元的交换环时 ,Ra生成的主理想a .20整环R的一个元叫做R的一个，假设是一个有逆元的元 . 21一个整环I叫做一个，假设I的每一个理想都是一个主理想. 22设R为环，Rba,，0,0 ba，且0ab，则 a叫做环R的，b叫做环R的_. 25. 一个无零因子环R的非零元相

28、同的对于加法阶，叫做环R的. . 26. 设F是一个含有2p 个元的域，则F的特征是 . 27. 剩余类环6Z 的子环S=3, 0, 则S的单位元是 _. 28. R是一个特征为p的环，,a bR,则()pab_. 29.R是一个单环，则R有时，R是一个域 . 30. N是环R的理想，RN是单环的充分必要条件是 . 31. R是有单位元的整环, ， 则R有子环与整数环同构；， 则R有子环与模p剩余类环同构。32.R是一个无零因子环，2Rk，则R的特征必为_. 二、选择题1. 以下集合关于所给的运算不作成环的是. A整系数多项式全体xZ关于多项式的加法与乘法 ; B有理数域Q上的 n阶矩阵全体n

29、nQ关于矩阵的加法与乘法 ; C 整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“” ：0,nmZnm; D 整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“” ：1,nmZnm. 2. 设21:RRf是环同态满射，baf)(，那么以下结论错误的为. A) 假设 a是零元，则b是零元； B) 假设 a是单位元，则b是单位元；C) 假设 a不是零因子，则b不是零因子； D) 假设2R 是不交换的，则1R 不交换. 3. 整数环 Z中，可逆元的个数是 ( ). A) 1 个B) 2 个C) 4 个D) 无限个 .4. 设F是一个四元域 , 则域F的特征为 ( ). A) 1 B) 2 C) 4 D) 0. 5. 下面的四

30、个群中 , 不是循环群的是 ( ). A) 模 12 的剩余类加群 ; B) 整数加群 ; C) U(Z17); D) U(Z8). 6. 下面哪一个环必定是域 ( ). A) 整数环 ; B) Z37; C) Z10; D) 四元数除环 . 7. 模 10 的剩余类环10Z上二阶全阵环)(102zM中以下元素可逆的是 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页8 A) 5375；B) 7857；C) 3327；D)23258. 以下命题中，正确的选项是( ). A) 任意一个环R，必含有单位元 ; B) 环R中至多有一个

31、单位元 ; C) 环R有单位元，则它的子环也有单位元; D) 一个环与其子环都有单位元，则两个单位元一定相同. R的素理想的是A)4; B)6; C)0; D) R. 10.以下命题正确的个数为A)1; B)2; C)3; D) 4. 整数环 Z 的非平凡素理想都是极大理想；整数环 Z 上的一元多项式环 Z x 的非平凡素理想都是极大理想；数域 F 上的一元多项式环F x 的主理想 x是极大理想；R是一个有单位元的交换环，N是R的理想，RN是域，则N是R的极大理想 . 三、判断题1. 除环是单环 . 2. 有限除环必为域 . 3. 一般的环R中以下运算规则成立：Rbabababa,2)(222

32、. 4. 域和其子域有相同的单位元. 5. 除环R是无零因子环 . 6. 如果环R的阶2，那么R的单位元01. 7. 假设环R满足左消去律，那么R必定没有右零因子 . 8一个环的理想必是一个子环，子环未必是理想. 9一个环没有零因子，则它的同态象也没有零因子10一个环R有单位元，则它的子环也有单位元11如果环R没有右零因子，则在环R上左消去律成立12N是环R的理想，I是N的理想，则I必是环R的理想13R是整数环，R的理想Rrr4等于由 4 生成的主理想 414如果环R没有左零因子，则在环R上右消去律成立15一个环R的两个子环S都有单位元，则它们的单位元必定一致16域QbabiaiQ,）（与域Q

33、babaQ,22）（同构17R是偶数环，R的理想Rrr4等于由 4 生成的主理想 4. 18设R是整数环，则 是xR的一个主理想19设R是有理数环，则 是xR的一个主理想20除环F的所有非零元集关于F的乘法构成一个群21. 设R为整数环，p为素数，则pR为域. 22. 假设无零因子环R的特征是有限整数 n，则 n一定是素数 . 23. 除环或域里一定没有零因子. 24. 一个除环一定是一个整环 . 25. 一个环R中可能没有单位元，但假设有单位元，则单位元必是唯一的. 26. 假设有单位元 (0) 的交换环R除了零理想同单位理想以外没有其它的理想，那么R一定是一个域精选学习资料 - - - -

34、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页9 27. x是xQ的极大理想 . 28. x是xZ的极大理想 . 29.R是有单位元的交换环 , 则nnR中方阵A在nnR中可逆的充要条件是A 在R中可逆 . 30.R是有单位元的环 ,1 是R的单位元 , 则 1 对加法的阶数就是R的特征 . 31. 设R是一个环 ,2R, 对0,aRba, 方程bax在R中有解 , 则R为一个除环 . 32. 设R是有单位元的环 , 且2R, 则R是单环的充要条件是全阵环nnR是单环. 33.R为偶数环 ,4是R的极大理想 , 从而4R是一个域 . 34.R为偶数环 ,

35、R的极大理想只有pp,2为素数 . 35.R为偶数环 ,R的素理想只有R,0和4. 36. 整数环的每个理想都是主理想. 37. 域上的多项式环的每个理想都是主理想. 38. 整数环上的多项式环的每个理想都是主理想. 39. 一个环与它的子环都有单位元，则它们的单位元一致. 40. 一个域和他的子域有相同的单位元. 41. 一个环的同态象没有零因子，则这个环没有零因子. 42. 有限环的特征必有限，无限环的特征必无限. 43.R是一个有单位元的交换环，nnRA，当0A时，A可逆. 44. 整数环和它的任意一个非零子环同构. 45. 剩余类环6Z 的子环S=3, 0是有单位元的环 . 46. 在

36、16Zx 中, 因为24x(2)(2)xx, 所以24x只有两个根 2, 2. 47. 有单位元交换环的极大理想必为素理想. 48. 域F的所有非零元集合关于F的乘法构成一个交换群R的中心必是环R的理想 . 50一个域不一定是一个整环. 51域F的所有非零元集合关于F的乘法构成一个交换群52除环F的所有非零元集关于F的乘法构成一个群53. 当3n时, n次交代群nA 是一个2n重传递群 . 54. 循环群的同态象必为循环群，循环环的同态象必为循环环. 55. 设GG,是两个群，是G到G的同态满射，则G与G的子群之间可以建立保持包含关系的双射 .答复说明题以下题均需给出肯定或否认的答复，并说明理

37、由或给出反例X 、Y 都是有理数集合，法则:baba是否 X 到Y 的映射？2. X 是数域 F 上全体 n 阶方阵做成的集合，C为 F 上一个取定的可逆n阶方阵，法则1( )ACAC是否 X 的双射变换？3. X 是数域 F 上全体 n 1 阶方阵做成的集合， 法则: AA 是否 X 到Y 的满射？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页10 4. X 是数域 F 上全体 n阶方阵做成的集合，法则A BA B 是否 X 的满足结合律的代数运算？M 的变换的乘法是否满足交换律？(, ),(, )MM是两个代数系统且MM,

38、 当 满足交换律时，是否也满足交换律？(, ),(, )MM是两个代数系统且MM, 当满足交换律时，是否也满足交换律？8. 设 X 是有理数集合， X 的关系aRbabZ是否 X 的等价关系？9. 设 X 是实数集合， X 的关系0aRbab是否 X 的等价关系？10.是集合 X 到集合 Y 的映射，,A B分别是 X 、Y 的非空子集合，1( ()AA是否一定成立？11.是集合 X 到集合 Y 的映射，,A B分别是 X 、Y 的非空子集合，1( )BB 是否一定成立？12., 分别是集合A到 B 和集合 B 到C的映射，是满射，是否一定是满射？13., 分别是集合A到 B 和集合 B 到C

39、的映射，是单射，是否一定是单射？14.G为一个有限半群且在G两个消去律成立，G是不是一个群？15.G为一个群，它的每个元素都满足方程2xe，G是一个交换群吗？16.G为一个有限群，它的每个元的阶是否都有限？17.G为一个无限群，它是否必有无限阶元？18.G为一个群，G的中心()C G是否一定是一个子群？19.G为一个群，,A B C是G的三个子集合，()()()A BCABAB是否成立？20.G为一个群，,A B C是G的三个子集合，()()()A BCABAB是否成立？21.,a bG均为有限阶元，ab是否为有限阶元？22.G为一个偶数阶群，G是否一定有一个 2 阶元？23.G为一个群，它能

40、否表成它的两个真子群的并？24.G为一个群，,H K是它的两个子群，HK 是否G的子群？25.G为一个群，,H K是它的两个正规子群，HK 是否G的正规子群？26. 设N是G的 正 规 子 群 ，NnGa,， 是 否 一 定 有anna成 立 ？27. 设G的 阶 数 为 n，k为 n的 因 数 ，G是 否 一 定 存 在k阶 子 群 ？28.G为 集合 M 的变换群 ， 如 果G含 有 M 的 单 射 变 换 ， 它 是 否 必 为 双 射 变 换群 ？29.G为 集合 M 的变换群 ， 如 果G含 有 M 的 满 射 变 换 ， 它 是 否 必 为 双 射 变 换精选学习资料 - - -

41、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页11 群 ？30. 循环 群 的 子 群 是 否 循 环 群 ？31. 循环 群 的 商 群 是 否 循 环 群 ？32. 循环 群 的 同 态 象 是 否 循 环 群 ？33., , ,Aa b c是 群G关 于 子 群 H 的 左 陪 集 代 表 系 ， 它 是 否 也 是 群G关 于子 群 H 的 右 陪 集 代 表 系 ？34. 循环 置 换 乘 积 的 阶 是 否 为 各 因 子 的 阶 的 最 小 公 倍 数 ？35. 指数 为 2 的 子 群 是否 一 定 是 正 规 子 群 ？36.G为

42、一 个 群 ， H 是 它 的 子 群 ，baH， 是 否 一 定 有aHbH？37. 设,p q是两 个 素 数 且pq，pq阶 群 最 多 有 一 个q阶 子 群 吗 ？,p q是 两 个 素 数 且pq，pq阶 交 换 群 一 定 是 循 环 群 吗 ？39. 在群 的 同 态 映 射 下 ， 一 个 元 素 与 它 的 同 态 象 的 阶 数 是 否 一 定 相 等 ？G不 是 循 环 群 ， 它 一 定 与Klein四 元 群 同 构 吗 ？41. 正规 子 群 的 正 规 子 群 还 是 原 群 的 正 规 子 群 吗 ？42. 阶为 素 数 的 群 一 定 是 单 群 吗 ？43

43、.,G G 是两 个 有 限 群 ，GG,G的 阶数 是 否 一 定 是G的 阶 数 的 因 数 ？44. 一个 环 的 左 单 位 元 一 定 是 单 位 元 吗 ？45. 一个 环 没 有 单 位 元 ， 它 的 子 环 是 否 也 没 有 单 位 元 ？46. 一个 环 的 两 个 子 环 都 有 单 位 元 ， 它 们 的 单 位 元 是 否 一 定 相 等 ？R上 的 n阶 方 阵A的 行 列 式 不 为 零 ，A是 否 一 定 可 逆 ？49. 有限 无 零 因 子 环 的 特 征 一 定 是 素 数 吗 ？50. 一个 有 单 位 元 的 环 的 特 征 一 定 等 于 单 位

44、元 关 于 加 法 的 阶 数 吗 ？51. 除环 中 有 零 因 子 吗 ？R有 零 因 子 ， 它 的 同 态 象 一 定 有 零 因 子 吗 ？R没 有 零 因 子 ， 它 的 同 态 象 一 定 没 有 零 因 子 吗 ？54. 模 47 的剩余类环47Z有没有零因子？( ),Q iabi a bQ与域(2)2,Qaba bQ是否同构？56. 整数 环 与 偶 数 环 是 否 同 构 ？n阶 循 环 环 是 否 一 定 同 构 ？58.一 个 环 的 子 环 是 否 一 定 是 它 的 理 想 ？59.理 想 的 理 想 是 否 一 定 是 原 环 的 理 想 ？60.含 有 单 位

45、的 理 想 一 定 是 单 位 理 想 吗 ？61.整 数 环 是 主 理 想 环 吗 ？62.整 数 环 上 的 一 元 多 项 式 环 是 主 理 想 环 吗 ？63.数 域 上 的 一 元 多 项 式 环 是 主 理 想 环 吗 ？p生 成 的 理 想 是 整 数 环 的 素 理 想 吗 ？p生 成 的 理 想 是 整 数 环 的 极 大 理 想 吗 ？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页12 R是 一 个 有 单 位 元 的 可 换 环 ， 如 果 还 R是 单 环 ， 它 一 定 是 一 个 域 吗 ？67.设5, 4, 3,2, 1, 06Z是模 6 的剩余类环， 且xZxgxf6)(),(. 如果)(xf的次数记作)(xf，)()(xgxf)()(xgxf是否成立？68.设 Z 是整数环， 是 Z 的理想吗？69.环 R上的 n 次多项式的根的个数不超过n 吗？,Z iabi a bZ的单位只有1, i吗？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页